高中數(shù)學(xué)易錯點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法2

高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

開學(xué)已經(jīng)有一段時間了，那么你是否適應(yīng)了新的學(xué)習(xí)環(huán)境呢？也許好多同學(xué)認(rèn)為剛進(jìn)

入高中，離高考還有三年，時間還早就放松自己.其實(shí)高一是高中階段的基礎(chǔ)階段，許多

初中階段數(shù)學(xué)成績很好的學(xué)生，進(jìn)入高中階段，數(shù)學(xué)成績卻不理想，在加上不了解高中數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，學(xué)不得法，從而造成成績滑坡.那么如何盡快適應(yīng)高中生活，學(xué)好高中數(shù)學(xué)

呢？下面介紹幾點(diǎn)方法.

(-)適應(yīng)高中生活

首先要認(rèn)識自己，合理定位.每個同學(xué)要給自己一個合理的定位，根據(jù)原有的水平，

確定自己的發(fā)展目標(biāo)，并明確具體步驟，分階段實(shí)施.特別需要強(qiáng)調(diào)的是，在目標(biāo)的制訂

上必須符合自身的實(shí)際情況，不可好高鷲遠(yuǎn).

其次是揚(yáng)長避短，建立自信.在認(rèn)清自己的基礎(chǔ)上，做到揚(yáng)長避短，努力發(fā)揮自己的

優(yōu)勢.切忌以自己之短比他人之長，看不到自己的優(yōu)點(diǎn)，越比越感到慚愧.

(二)培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

我們要正視高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，適當(dāng)改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)方法，在高i階段養(yǎng)成

良好的學(xué)習(xí)方法，會使今后的學(xué)習(xí)都受益.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能照搬照抄初中階段的學(xué)習(xí)方法,

同忖要轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)觀念，努力從“要我學(xué)”向“我要學(xué)”轉(zhuǎn)變.課前要充分預(yù)習(xí)，課堂上要注

意搞清難點(diǎn)疑點(diǎn)，課后要及時復(fù)習(xí)與整理，逐步養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)，獨(dú)立思考的習(xí)慣.下面介紹

如何培養(yǎng)這些良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

所謂預(yù)習(xí)，就是對要學(xué)習(xí)的課程事先有一定的了解，可以使自己在聽課時抓住要點(diǎn)和難

點(diǎn).預(yù)習(xí)有許多辦法，你可以在上課的前一天把要學(xué)的內(nèi)容仔細(xì)看一遍，或者在即將上課時,

你利用1到3分鐘的時間，把這堂課將要講的內(nèi)容瀏覽一下.發(fā)現(xiàn)自己不很清楚的問題，要

標(biāo)注出來，這可是你上課要著重解決的問題?。?/p>

課堂40分鐘也非常關(guān)鍵，一個學(xué)生大部分時間是在課堂上度過，所以要向課堂40分鐘

要質(zhì)量，如果忽視了這個環(huán)節(jié)就是撿了芝麻丟了西瓜，得不償失.聽課要注意力集中，緊跟

老師的思路，積極主動動腦，長期有意識的訓(xùn)練自己的思維，大膽聯(lián)想.如果在課堂上有弄

不明白的知識點(diǎn)可以不必馬上弄懂，因?yàn)樵谀闼妓鲉栴}的時候，新的問題接踵而至反而使問

題成堆，得不償失，應(yīng)該做好記錄，課后解決.俗話說，好記性不如爛筆頭，記筆可以彌補(bǔ)

記憶的不足，留下永恒記錄，為課后復(fù)習(xí)提供幫助.

然后是基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，應(yīng)注意基本概念、基本公式、基本定律和法則的比較和靈活運(yùn)

用，做到“溫故而知新”.尤其要注意課堂筆記的整理.

再者是解題，通過解題鞏固基礎(chǔ)知識提升解題能力.學(xué)好數(shù)學(xué)就一定要做一定量的習(xí)題,

但并不等于簡單的去做題.的確，有相當(dāng)?shù)牧?xí)題是靠簡單的知識點(diǎn)就能解決的，這些習(xí)題是

可以通過做一定量的習(xí)題而熟悉的.但是，現(xiàn)在高考已把考查的重點(diǎn)放在對創(chuàng)造型、能力型

問題的考查上.因此在解題中尤其要注意知識的理解和靈活應(yīng)用，當(dāng)做完一道習(xí)題后要弄清

楚本題考查了什么知識點(diǎn),我從中得到了什么解題方法，這類習(xí)題在解題方法上有什么共性.

最后就是階段復(fù)習(xí)，將不同單元、不同時間所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行提煉加工，建立知識之

間的縱橫聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化、條理化、網(wǎng)絡(luò)化，便于記憶，便于提取和應(yīng)用.

我相信，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，注意抓好基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)、解題和階段復(fù)習(xí)這三個重要環(huán)節(jié)，

一定能取得很好的學(xué)習(xí)效果的.

在高一盡快適應(yīng)新環(huán)境，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣就可以輕裝前行，邁向高考！

【易錯點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面.

例1、設(shè)4=1,—8x+15=o},B={x\ax-\=o},若=求實(shí)數(shù)a組成的集

合的子集有多少個？

【易錯點(diǎn)分析】此題由條件=8易知由于空集是任何非空集合的子集，但

在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的。值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象.

【解析】集合A化簡得A={3,5},由4nB=8知8cA

故（1）當(dāng)B=0時，即方程ax-l=O無解，此時a=0符合已知條件

（2）當(dāng)BW0時，即方程以一1=0的解為3或5,代入得a='或a=L.

35

綜上所述，滿足條件的a組成的集合為{o,g,g},故其子集共有r=8個.

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

（1）在應(yīng)用條件AU8=5=An8=A=Aq3時，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將

集合A是0的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.

（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對

集合元素的限制.有時需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個性質(zhì)，此外，解題

過程中要注意集合語言（數(shù)學(xué)語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)化，如：

4={卜），）|/+丫2=4},B={x,y）|（x-3）2+（y-4）2='},其中r>0,若4口8=0.求

，?的取值范圍.

將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半

徑的圓，集合3表示以（3,4）為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含

時，求半徑r的取值范圍.思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答.此外如不等式的解集

等也要注意集合語言的應(yīng)用.

【練習(xí)1】已知集合A={X|X2+4X=O}、B={X\X2+2（a+\）x+a2-\=O},若3=則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】"1或。4一1.

【易錯點(diǎn)2】應(yīng)用重要不等式確定最值時，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得

等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi).

例2、已知：a>O,h<O,a+b=\,求他+工產(chǎn)+3+,)2的最小值.

ab

【錯解】(?+-)2+(fe+-)2=a2+/?2+-V+-^+4>2?/?+—+4>4JaZ7--+4=8

aba"babVab

，(a+-)2+3+-)2的最小值是8

ab

【易錯點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式第一次等號成立的

條件是a=b=L；第二次等號成立的條件"=_L,顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因

2ab

此，8不是最小值.

【解析】

1

原式="+62+4+4+4=(/+/)+(_?+二)+4=[(4+與2_2砌+[(工+%-2]+4

abababab

=(1-2^)(1+

山Wl-2^>l--=-，且3216,1+工217

2422a2b2a2b2

原式N±1xl7+4=2X5(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1上時，等號成立)

222

(a+-)2+(b+-)2的最小值是—

ab2

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】

在應(yīng)用基本不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相

等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍

內(nèi).

【練習(xí)2】甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c(km/h),

已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v

(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為。元.

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

【答案】⑴y-—(bv2+a)(0<v<c)；

(2)使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)?shù)?c時，行駛速度v=J;當(dāng)J>c忖,行駛速度丫=c.

【易錯點(diǎn)3】含參分式不等式的解法.易對分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，分類討論達(dá)不到不重

不漏的目的.

例3、解關(guān)于尤的不等式巡a>1(“ri).

x—2

【易錯點(diǎn)分析】將不等式化為關(guān)于X的一元二次不等式后，忽視對二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)的討論,

導(dǎo)致錯解.

【解析】原不等式可化為：("l)x+(2q)>0,即[(a_i)x+(2-a)](x-2)>0.

x-2

(1)當(dāng)a>l時，原不等式與匚)(x-2)>0同解.

a-\

若已匚22,即04a<1時，原不等式無解；

a-\

若佇工＜2,即。＜0或。＞1,于是。＞1時，原不等式的解為（一汽土2）U（2,+8）.

a-\a-\

（2）當(dāng)。＜1時，若。＜0,解集為（巴心,2）；若0＜4＜1,解集為（2,火2）；若4=0,

a-la-\

解集為0.

綜上所述：當(dāng)。＞1時，解集為（-oo,g）U（2,+8）；當(dāng)0＜a＜l時，解集為（2,佇2）；

a-\a-\

當(dāng)。=0時，解集為0；當(dāng)。＜0時，解集為（火三,2）.

a-\

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

解不等式對學(xué)生的運(yùn)算化簡等價轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對解不等式的考查將會更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面兒個問題：

（1）熟練習(xí)掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）的解法；

（2）掌握用序軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法；

（3）掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數(shù)和對數(shù)不等式的幾種基本類型的解法；

（4）掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法；

（5）在解不等式的過程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價地轉(zhuǎn)化為易解的

不等式；

（6）對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論.

【練習(xí)3】已知函數(shù)=—（。力為常數(shù)），且方程/（x）-x+12=0有兩個實(shí)根為

ax+b

玉=3,12=4.

（1）求函數(shù)/Xx）的解析式；（2）設(shè)k＞l,解關(guān)于x的不等式：〃x）＜（k+l）xj.

2-x

2

【答案】⑴=⑵①當(dāng)1〈女＜2時，解集為（l,k）U（2,+8）；

2-x

②當(dāng)k=2時，解集為（1,2）11（2,+8）；③當(dāng)女＞2時，解集為（l,2）U（h+8）.

【易錯點(diǎn)4]不等式的證明方法.學(xué)生不能據(jù)已知條件選擇相應(yīng)的證明方法，達(dá)不到對各

種證明方法的靈活應(yīng)用程度.

]125

例4、已知a＞0,b＞0,SLa+b=1.求證：（?+—）（/?+—）＞—.

ab4

【易錯點(diǎn)分析】此題若直接應(yīng)用重要不等式證明，顯然4和b+,不能同時取得等號.

ab

【解析】本題可有如下證明方法.

證法一：（分析綜合法）欲證原式，即證4（岫）2+4（/+/）-25帥+420,

即證4（ob）2-33ab+8＞0,即證ab4,或n8.

*.*?＞0,/?＞0,且=，出?28不可能成立.

*.*!=?+/?>2y[ab,從而得證.

4

證法二：(均值代換法)設(shè)。=；+4，。=；+/2.

?a+/?=l,Q>0,b>0,??/]+[)=(),|/]|<一，|^21^一?

(；+fJ2+l(；+f2>+l

(?+，)S+7)=滔+1"+1

abab11

—FZ<—F

2122

；+4+4+1)2(；+/2+1)2（*）-25325

匕+——+-r.2+r4

_162'1>五=竺

112~14

-一片

414

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)4=0,即°=b=2>時,

等號成立.

2

證法三：（比較法）'：a+b=\,a>0,b>0,a+b>2y[ab,：.ab<~.

4

1、〃1、25/+]/+]4a2b2-33ab+8(l-4ab)(8-ab)

..(a+—)(b+-)----=----------------2-5=----------------=-------------->0n

ab4ab44ab4ab

?/1口1、、25

ab4

證法四：(綜合法)?：a+b^\,a>0,b>0,：.a+b>2y[ab,：.ab<~.

4

13^-ab)2+\>—

(l-aZ?)2+l25

l-ab>\=,16,0ab匕

44±>4

.ab.

1125

即3+!）@+±）之'.

ab4

2

證法五：（三角代換法）???。+。=〃>0,b>09故令Q=sin?a,b=cosa,

aef0,yj，則

sin4acos4a-2sin2acos2a+2

(〃+—)(Z?+—)=(sin2a+—)(cos2a+------)=

?~27

absin-acosasin~acos~a

(4-2sin22a)2+16>25'

(4-sii?2a)2+16

sin22a<I,.,.4-sin22at>4-1=3.ii

4sin22a-------->—

4sin22a-4J

22

(4-sin2?)+16^250n,a.1、〃1、、25

=4sin22a。即得入/入產(chǎn)7

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的

方法.

(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、

配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式,

則考慮用判別式法證.

(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充

分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.

2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式

法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，要注意代

換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以

從要證的結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含

有“至少”“惟?”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、

題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相

應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).

【練習(xí)4】若a、beR,且44a2+/49,則//的最大值與最小值之和是

【答案】—

2

【易錯點(diǎn)5】忽視是否應(yīng)該包含區(qū)間端點(diǎn).

例5、已知集合A,函數(shù)/(x)=45畝2(?+犬]一2j5cos2x-l，x&A.

(1)求/(x)的取值范圍；

(2)若不等式"(x)-〃力<2在xwA上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【易錯點(diǎn)分析】第(2)問，容易在區(qū)間的端點(diǎn)的包含上出現(xiàn)問題.

【解析】(1)

；/(x)=21-cos《+2x)-2V3cos2x-1=2sin2x-2V3cos2x+1=4sin^2x-y+1.

又,:三<土，：.H<2x-±<生,即3<4sin(2x-工1+145,3</(x)<5.

42633

(2)錯解：||<2,/(x)-2<m</(x)+2恒成立，>5-2JIzn<3+2,

mG[3,5]?

正解：若/(九)-2<加恒成立，則團(tuán)應(yīng)大于/(x)-2的最大值，而/(幻-2的最大值為3,

故機(jī)〉3；若m</(%)+2恒成立，則m應(yīng)小于/(x)+2的最小值，而/(x)+2>5,無最小

值，故只需加<5即可..??正確的答案為團(tuán)e(3,5].

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

不等式之間的包含關(guān)系，是否包含端點(diǎn)，要根據(jù)條件仔細(xì)確定，必要時可畫數(shù)軸，利用

數(shù)形結(jié)合幫助解題.

【練習(xí)5］設(shè)集合A={X|X2-3X+2<O}>B={x\m<x<2m+1},若Au8,求實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍.

【答案】

2

【易錯點(diǎn)6】抽象函數(shù)的定義域問題.

例6、(1)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,1),求/(x+1),/(/)的定義域；

(2)已知函數(shù)/(l-j?)的定義域?yàn)?-1,1),求/(x)的定義域.

【易錯點(diǎn)分析】容易對定義域的概念的理解出現(xiàn)混淆.

【解析】(1)錯解：：0<x<l,l<x+l<2,0<x2<1

即/(x+1)的定義域?yàn)?1,2),/(x2)的定義域?yàn)?0,1).

正解：???/(X)的定義域?yàn)?0,1),...0<%+1<1=-1<》<0,故/(苫+1)的定義域?yàn)?一1,0)；

E1JO<X2<1=>XG(-1,0)U(0,1).

(2)錯解：*.?-1<1-x"<ln0<x2<2nxe(—■\/2,0)U(0,V2)；

正解：V-l<x<l,.,.0<x2<l=>0<l-x2<l,即的定義域?yàn)?0』.

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

(1)已知“X)的定義域?yàn)锳,求f［g(x)］的定義域，則由g(x)eA解出x即為所求.

(2)已知y=/［g(x)］的定義域?yàn)閤e￡),若要求/位(幻］定義域4,則先求出/*)的定義

域8="|r=g(x),xe。}(即g(x)的值域是/(x)的定義域)，那么A={x|eB}.

注意：上述各個式子中的的意義是不同的，即此x非彼x,不能理解為同一個x的值.

【練習(xí)6］(1)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋郇D1J,則y=/(log,x)的定義域?yàn)椋?/p>

(2)若函數(shù)〃/+1)的定義域?yàn)椋邸?,1),則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?

【答案】⑴1,2；(2)[1,5].

【易錯點(diǎn)7］求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則.

例7、已知*+2了+匕=1，求/+的取值范圍.

【易錯點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解,

但極易忽略X、y滿足(x+2)2+}=1這個條件中的兩個變量的約束關(guān)系而造成定義域范

圍的擴(kuò)大.

v22

【解析】由于(x+2/+匕=1得(x+2>=l—L,,.?.一34x4—1.

44

從而—+y2=x2+4[l-(x+2)2]=-3x2-16x-12=+g

.?.當(dāng)x=-l時，/+/有最小值]:當(dāng)x=-號時，x?+y2有最大值空.故x?+y2的取

3-3'

一

值范圍是1,—.

L3J

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來理解條件(x+2>+?=l對X、y的限制，顯然方程

表示以(-2,0)為中心的橢圓，貝IJ易知一34x4-1,-2<y<2.此外本題還可通過三角換

元轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解.

22

【練習(xí)7】若動點(diǎn)(x,y)在曲線3+2=1S>0)上變化，則丁+2》的最大值為()

>2>2

(A).y+4(0<&<4)(B)+4(0<^<2)(C)2+4(D)2b

2b(b>4)[2b(b>2)4

【答案】A

【易錯點(diǎn)8】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域.

例8、是」上的奇函數(shù)，(1)求。的值；(2)求的反函數(shù)/T(X).

【易錯點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而

出錯.

【解析】(1)利用f(x)+/(—x)=0(或/(0)=0)求得a=l；

(2)由。=1即/1(x)="2~工-1設(shè)y=/(x),則2%1-y)=l+y.

2X+1

由于ywl,i%T=,x=log,>

1-y'l-y

而=二|=1-J：e(TJ)，所以廣i(x)=log2罟(一

2+12+1I—x

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

(1)在求解函數(shù)的反函數(shù)時，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的

解析式后表明(若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略).

(2)應(yīng)用/T(A)=a=/(a)=8可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意

其自變量和函數(shù)值要互換.

【練習(xí)8】函數(shù)/(%)=41+1*21)的反函數(shù)是().

A、y=x2-2x+2(x<1)B、y=x~-2x+2(x>1)

C、y=x2-2x(x<1)D^y=x2-2x(x>1)

【答案】B

【易錯點(diǎn)9】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位.

例9、已知函數(shù)=L1-上7r，函數(shù)y=g(x)的圖像與y=/T(x-l)的圖象關(guān)于直線y=x

1+x

對稱，則y=g(x)的解析式為().

3—2x2—x1—x3

A、g(x)=——B、=--C、g(x)=LD、g(x)=L

x1+x2+x2+x

［易錯點(diǎn)分析】解答時易由y=g(x)與y=fT(X-1)互為反函數(shù)，而認(rèn)為y=尸(x-1)的

反函數(shù)是y=f(x-l),則y=g(x)=/(I)=fl)=三生而錯選A.

l+(x-l)X

【解析】由/(x)=上立得/T(x)=上三，從而尸(D=l-(xT)再求

1+x2+x2+(x—1)1+x

y=/T(X—1)的反函數(shù)得g(X)=Z±.正確答案：B

1+X

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

函數(shù)y=—1)與函數(shù)y=/(x—1)并不互為反函數(shù)，它只是表示了T(x)中的X用

x-1替代后的反函數(shù)值.這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè)y=/(x-1),則

/T(y)=x-1,x=再將x、y互換即得y=/(x—l)的反函數(shù)為y=/T(x)+l,

故y=/(X-l)的反函數(shù)不是y=/T(X-l),因此在今后求解此題問題時一定要謹(jǐn)慎.

【練習(xí)9】已知函數(shù))，=唾2%的反函數(shù)是y=/T(x),則函數(shù)y=/T(l-x)的圖象是()

【答案】B

【易錯點(diǎn)10】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

例10、判斷函數(shù)f(x)=皿一廠)的奇偶性.

\x-2\-2

【易錯點(diǎn)分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解:

lg(l-馬

/(-x)

|x+2|-2

從而得出函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論.

【解析】由函數(shù)的解析式知X滿足|1一月>°,即函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0)U(0,1).定義

|x-2|-2w0

域關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域下/1)=吧=2,易證/(-x)=-/(x),即函數(shù)為奇函數(shù).

-X

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要非充分條件，因此在判斷函數(shù)的

奇偶性時一定要先研究函數(shù)的定義域.

(2)函數(shù)f(x)具有奇偶性,則f(x)=-/(-x)或/(x)=/(-%)是對定義域內(nèi)x的恒等式.常

常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值.

【練習(xí)10］判斷下列函數(shù)的奇偶性:

26-4；②/*)=(x7)手；③/3)1+sinx+cosx

①/(x)=A/4-X+

V1-X1+sinx-cosx

【答案】①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；②非奇非偶函數(shù)；③非奇非偶函數(shù).

【易錯點(diǎn)11】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系，從而導(dǎo)致解題過程繁鎖.

例11、函數(shù)"x)=log2|^(x<—g或的反函數(shù)為/T(X)，證明/T(X)是奇函數(shù)

且在其定義域上是增函數(shù).

【易錯點(diǎn)分析】可求/T(X)的表達(dá)式，再證明.若注意到了T(X)與/(X)具有相同的單調(diào)

性和奇偶性，只需研究原函數(shù)/(X)的單調(diào)性和奇偶性即可.

—2x—12r+12x—1

【解析】/（-X）=iog2-^4=iog2"=-iog2=-/*），

-2x+l2x-l2x+l

故/(x)為奇函數(shù)，從而/T(x)也為奇函數(shù).

又令f=羨三=1_5占在和(；,+00)上均為增函數(shù)，且y=log2f為增函數(shù),

故/(X)在1-8,-g)和(g,+8)上分別為增函數(shù).故廣&)分別在(-8,0)和(0,+8)上分

別為增函數(shù).

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

對于反函數(shù)有如下重要結(jié)論：

(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù).

(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性.

(3)定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù).

(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù).

(5)原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換.即/7(勿=ao/(4)=〃.

e*--x

【練習(xí)11](1)已知〃尤)=個Je，則如下結(jié)論正確的是().

A、f(x)是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、f(x)是奇函數(shù)且為減函數(shù)

C、/(x)是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、“X)是偶函數(shù)且為減函數(shù)

(2)設(shè)fT(x)是函數(shù)/(幻=；(優(yōu)-4-*)5>1)的反函數(shù)，則使廣十對>1成立的x的取

值范圍為()

212121

一1、/。一1、二。一1、c/\

A、(—―,+oo)B、(-00,——)C、(—―,a)D、(a,+oo)

2a2a2a

【答案】(1)A；(2)A(〃〉1時，/(x)單調(diào)增函數(shù)，

所以f-'(x)〉1。/(/-'(x))>/⑴=X>/(1)=%)

2a

【易錯點(diǎn)12]求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯位.

例12、已知函數(shù)"X)=愴[(川—3陽+2)公+2(加一l)x+5].

(1)如果函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)如果函數(shù)/(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

【易錯點(diǎn)分析】此題學(xué)生易忽視對加2—3m+2是否為零的討論，而導(dǎo)致思維不全面而漏

解.另一方面對兩個問題中定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽的含義理解不透徹導(dǎo)致錯解.

【解析】(1)由題意知，若函數(shù)的定義域?yàn)镽,

即對任意的x值，(〃/一3加+2)/+2(7?I-1)X4-5>0恒成立，

令g(x)=("2—3〃2+2)/+2(m—l)x+5.當(dāng)m?—3m+2=0時，即〃z=1或2.

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)機(jī)=1時適合；

當(dāng)〃22一3加+2。0時，由二次函數(shù)知識，若對任意的x值函數(shù)值大于零恒成立，

只需?“癡+2>0,解之得加<1或心2.

A<04

o

綜上所述，滿足題意的機(jī)的取值范圍為〃2W1或〃2〉2.

4

(2)如果函數(shù)/(x)的值域?yàn)镽,即對數(shù)的真數(shù)(加2-3加+2)爐+2(加-1)工+5能取到任

意的正數(shù),令g(x)=(〃?2-3m+2)/+2(/n-l)x+5.

當(dāng)加2-3m+2=0=0時，即加=1或2.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m=2時適合；

當(dāng)根2一3加+2工0時，由二次函數(shù)知識知要使得函數(shù)值取得所有正值，

□王m+2>0版丹殂。,9

只需〈，解，得2<mW—.

A>04

Q

綜上所述，滿足題意的機(jī)的取值范圍為24加42.

4

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

對于二次型函數(shù)或二次型不等式若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，要注意對字母是否為零進(jìn)行

討論即函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)；不等式是一次不等式還是二次不等式.同時通過本

題的解析同學(xué)們要認(rèn)真體會這種函數(shù)與不等式二者在解題中的結(jié)合要通過二者的相互轉(zhuǎn)化

而獲得解題的突破口.再者本題中函數(shù)的定義域和值域?yàn)镽是兩個不同的概念，前者是對

任意的自變量x的值函數(shù)值恒正，后者是函數(shù)值必須取遍所有的正值，二者有本質(zhì)上的區(qū)

別.

【練習(xí)12］已知函數(shù)/(x)=J(a2-i)/+2(a-i)x+2的定義域和值域分別為R和及卡,

試分別確定滿足條件的。的取值范圍.

【答案】(1)a<-3^a>\(2)—或a=—1.

【易錯點(diǎn)13】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)

先的原則.

例13、試判斷函數(shù)/(口="+25>0力>0)的單調(diào)性并給出證明.

【易錯點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答.特別注意定

義：對于任意為有〃不）＞/。2）（/（%）＜/。2））中的內(nèi)的任意性；以

及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識.

【解析】由于“T）＞-/（X）即函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)/（X）在（0,+O0）上的

單調(diào)性即可.設(shè)匹＞々＞0,/（再）-/（々）=（玉_々嚴(yán)

中2

由于王一々＞0，時，,f（$）—/（%）＞0,此時函數(shù)/（X）在

上為增函數(shù),同理可證,函數(shù)“X）在上為減函數(shù).

乂由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù).

綜上所述:函數(shù)/（X）在

上分別為減函數(shù).

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】

（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引

起足夠重視.

（2）單調(diào)性的定義等價于如下形式：/（X）在［應(yīng)口上是增函數(shù)。幺止笈）＞0；/（x）

苞一起

在［a/］上是減函數(shù)=7（土）二/（?。?,這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖

玉-x2

象上任意兩點(diǎn)區(qū),/區(qū)））,（尤2，/（々））連線的斜率都大于（小于）零?

（3）/（x）=ax+2（a＞0,b＞0）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用.但注意

X

本題中不能說/（X）在U產(chǎn),+8在-J5,0）U0,'上為減

上為增函數(shù),

函數(shù)，在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時不能在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“U”和“或”.

1—V

【練習(xí)13］（1）f（）=ax+—（a＞0）

xax

①用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)“X）在（0,+8）上的單調(diào)性.

②設(shè)/（1）在0cx的最小值為g（a）,求y=g（。）的解析式.

【答案】①函數(shù)在j」,+oo］為增函數(shù)；在(0,為減函數(shù).②y=g(a)=,2—￡伍之1)

("JI"Ja{0<a<\)

(2)設(shè)a>0且/*)=《+巴為R上的偶函數(shù).

aex

①求a的值；②試判斷函數(shù)在(0,+8)上的單調(diào)性并給出證明.

【答案】①a=\；②函數(shù)在(0,+8)上為增函數(shù)(證明略)

【易錯點(diǎn)14］在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時.，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識

和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件.

例14、是否存在實(shí)數(shù)。使函數(shù)/(x)=log?(ax2-x)在［2,4］上是增函數(shù)？若存在求出a的值,

若不存在，說明理由.

【易錯點(diǎn)分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程

中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大.

【解析】函數(shù)/(X)是由0(X)=4x2—x和y=Iog“°(x)復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

的判斷方法

(1)當(dāng)時，若使/(x)=log”(a——x)在［2,4］上是增函數(shù)，則。(》)=4/一工在［2,4］上

是增函數(shù)且大于零.故有2,解得

。(2)=4“一2>0

(2)當(dāng)a<1時，若使/(x)=log”(a/-x)在［2,4］上是增函數(shù)，貝U0(x)=af一了在［2,4］上

是減函數(shù)且大于零.故有,524,不等式組無解.

4(4)=16a-4〉0

綜上所述,存在實(shí)數(shù)使得/(幻=108〃("2一口在［2,4］上是增函數(shù).

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】

要熟練習(xí)掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號，二次

函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定

于其底數(shù)的范圍(大于1還是小于1),特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時要

樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想(對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制).

【練習(xí)14］(1)設(shè)a>0,月.awl,試求函數(shù)y=log"(4+3x——)的的單調(diào)區(qū)間.

(2)若函數(shù)〃x)=log“(x3-ax)(a>0〃Hl)在區(qū)間(―g,0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍

是()

A、B、C、(―,+co)D、(L；)

【答案】(1)當(dāng)0<。<1時，函數(shù)在1-上單調(diào)遞減，在1，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)。>1時,

函數(shù)在1一1,|上單調(diào)遞增，在g,4)上單調(diào)遞減；(2)B.

【易錯點(diǎn)151分段函數(shù)的單調(diào)性.

[

例15、已知函數(shù)/")=](，-1"+4。,'"1'是/?上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

[log”X,X>1

【易錯點(diǎn)分析】容易忽視分段函數(shù)存在單調(diào)性時，臨界點(diǎn)處函數(shù)值需要滿足的條件.

3a—1<0,

【解析】=>—<d；<—?

73

3a-1+4。Nlogq1,

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

分段函數(shù)的單調(diào)性：

若函數(shù)/(x)=[g")'XE^，b\a<b<c<d)，g(x)在區(qū)間上是增函數(shù),

―),xe[c,d],

〃(x)在區(qū)間xe[c,d]上是增函數(shù)，則“X)在區(qū)間[a,UU匕川上不一定是增函數(shù)，若使得

/(x)在區(qū)間[a/]U[c,d]上一-定是增函數(shù)，需補(bǔ)充條件：g(/?)</?(c).

【練習(xí)15]已知函數(shù)/(x)=1則滿足不等式〃1一/)>/(2口的x的范圍

1,x<0

是.

【答案】xe(-l,V2-l).

【易錯點(diǎn)16]用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性.

例16、已知sinx+siny=；,求siny-cos?x的最大值.

【易錯點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件sinx+siny=g將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，進(jìn)

而利用換元的思想令f=sinx將問題變?yōu)殛P(guān)于f的二次函數(shù)最值求解.但極易忽略換元前后

變量的等價性而造成錯解.

【解析】由已知條件有siny=；-sinx且siny=；-sinxe(結(jié)合sinxw[-l,l])得

--<sinx<l,而siny-cos2x=--sin2x-(l-sin2x)=sinx-sinx——,

令.=sinx(_|'〈tWl),則原式=產(chǎn)<1

當(dāng)，=一42,即sinx=—24時，原式取得最大值4色.

339

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，‘'思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)

學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看

成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,

關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知

識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理.換元法又

稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件

顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來.或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡化.

【練習(xí)16](1)設(shè)。>0,求/(x)=2a(sinx+cosx)-sinx-cosx-2a2的最大值和最小值.

(2)不等式石'〉ax+3解集是(4,6),則°=,b=.

2

-(0<6Z<—)

【答案】(1)/(x)的最小值為一2a2_2缶-；,最大值為.22.

1萬，

-2a2+2y/2a一(a>—)

(2)a=-,b=36(提示令=則原不等式變?yōu)殛P(guān)于f的一元二次不等式的解集為

8

(2,而)

【易錯點(diǎn)17】函數(shù)與方程及不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.學(xué)生不能明確和利用三者的關(guān)系在解題

中相互轉(zhuǎn)化尋找解題思路.

例17、已知二次函數(shù)“X)滿足〃-1)=0,且對一切實(shí)數(shù)x恒成立.

(1)求/⑴；(2)求的解析式.

【易錯點(diǎn)分析】對條件中的不等關(guān)系向等式關(guān)系的轉(zhuǎn)化不知如何下手，沒有將二次不等式

與二次函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的意識，解題找不到思路.

【解析】(1)由已知令x=l,得=⑴=1.

"_卜I「—

(2)令/(x)=a/+/?x+c(〃工0),由=⑴=1,得：4

a+h+c=\

：.b=-,c=--a即/(x)=ax2+—九+!一。，

2222

則X</(x)<-(x2+1)時任意實(shí)數(shù)X恒成立，

(ix~—xH---a20.,,,,,

就是22對任意實(shí)數(shù)恒成",

(12tz)x"—x+2a20

a>0,1-2a>0

即—(2(7——)"<0cz=—,c=—>貝?。?(幻=112+5》+1

4=(4a—Ip<0

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】

函數(shù)與方程的思想方法是高中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性

質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語

言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過

解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.有時，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌,

達(dá)到解決問題的目的.對于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化