重慶江津幾江中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析

重慶江津幾江中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.已知角。的終邊上有一點(diǎn)P（-4,3）,則cos。的值是（）

4_43_3

A.5B.5C.5D.§

參考答案：

C

略

2.（5分）若向半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒米，則它落到此圓的內(nèi)接正方形的概率是（.）

12V21

A.兀B.兀C.而D.2冗

參考答案：

考點(diǎn)：幾何概型.

專(zhuān)題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì).

分析：首先確定正方形的面積在整個(gè)圓中占的比例，根據(jù)這個(gè)比例即可求出豆子落到圓內(nèi)

接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率.

解答：由題意，圓的面積為口，由勾股定理得圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)血，其面積為2,故

2

豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是五.

故選:B.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何概率、圓的面積求法以及正方形的特殊性質(zhì)，求出兩圖形的面

積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

371

3.過(guò)點(diǎn)A（2,b）和點(diǎn)8（3,-2）的直線的傾斜角為4,則6的值是（）

A.-lB.lC.-5D.5

參考答案：

A

略

石A一3所

qsina——,CS

4.已知銳角戊、戶(hù)滿(mǎn)足5°10,則尸等于（，）

--2k7r+-,keZ

A.4B.4C.4或4D.4

參考答案：

A

5.設(shè)。＞1＞》＞一1,則下列不等式中恒成立的是（）

一1<—11—>1一

A.abB.a3C.a>

6D.a>2b

參考答案：

C

6.已知等差數(shù)列｛斯｝的公差d＞0,則下列四個(gè)命題:

①數(shù)列｛的｝是遞增數(shù)列；

②數(shù)列是遞增數(shù)列；

③數(shù)列｛2是遞增數(shù)歹U；

④數(shù)列｛,+3聞是遞增數(shù)列;

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

參考答案:

B

【分析】

對(duì)于各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列，計(jì)算第”+1項(xiàng)與第〃項(xiàng)的差，看此差的符號(hào)，再根據(jù)遞增數(shù)列的

定義得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列,二4+^-1）”,d>0

?.?對(duì)于①，4+1-"n=d>0,二數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列成立，是真命題.

對(duì)于②，數(shù)列｛叫3,得

所以4不一定是正實(shí)數(shù)，即數(shù)列｛叫）不一定是遞增數(shù)列，是假命題.

~%yitd壯一、

對(duì)于③，數(shù)列得”+1??+1?域"D,

d—a^

域“+D不一定是正實(shí)數(shù)，故是假命題.

對(duì)于④，數(shù)列?+35+1）4-（/+3回=~-/+冥=蟲(chóng)>0故數(shù)列｛%+3回是

遞增數(shù)列成立，是真命題.

故選：B.

7.若不等式3x-log,xVO對(duì)任意京）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A號(hào)，1）B（表’1）C（°，*）D⑹專(zhuān)］

參考答案:

A

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題.

1

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=3xz,g(x)=-log?x.h(x)=f(x)+g(x)(0<x<3),

Yf(Q—工—

根據(jù)不等式3x2-log?x<0對(duì)任意'3'恒成立，可得f(3)Wg(3),從而可得

1

0<a<l且a2藥，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1

2

【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=3x,g(x)=-logaxf(0<x<3)

?.?不等式3(-logax<0對(duì)任意KE石)恒成立，

：.f(3)Wg(后)

二3?6-log,5W0.

1

，0<2<1且心27,

1

???實(shí)數(shù)a的取值范圍為［藥，1).

故選:A.

l+2cos2a_

8.已知?jiǎng)tsin2a()

A.2B.-2C.3D.-3

參考答案：

A

【分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，先化為正弦余弦，再轉(zhuǎn)化為正切，代入求值即可.

1+2COS3<Z_3cos3a4-an2a_3+tan3a_4_

［詳解】因?yàn)閍n2a2smacosa2tana2,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題.

9.點(diǎn)(2。，0一1)在圓x，/一2y—4=0的內(nèi)部，則a的取值范圍是()

A.B..0<?<lC.-

J1

1<?<5D.-5<a<1

參考答案：

D

10.在△4SC中，若sin4sinB:sinC=3:2:4,則cosC的值為()

2_21_

A.4B.3c.W

2

D.3

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.(4分)若f(x)=2sin3x(0<?<1)在區(qū)間互1上的最大值是血,貝U

參考答案：

3

4

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值.

專(zhuān)題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想.

分析：根據(jù)已知區(qū)間，確定3X的范圍，求出它的最大值，結(jié)合0<3<1,求出3的

值.

解答：xso,爭(zhēng)，y,o<3x4等<5,

fGH爸*si號(hào)當(dāng)?shù)扰c嗚

3

故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

12.下列函數(shù)：y=lg"；丁=2；y=x2;y=|x|-1；其中有2個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)的序號(hào)是

參考答案：

略

13.cos(27°+x)cos(x-18°)+sin(27°+x)sin(x-18°)=.

參考答案：

在

2

cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°)

=cos(x+27°-x+18°)

=cos45°

故答案為2.

x+l,x>0

<2,x=0

14.已知f(x)=1°?x<°,則f{f[f(-1)]}=

參考答案:

3

【考點(diǎn)】函數(shù)的值.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】直接利用分段函數(shù)由里及外逐步求解即可.

'x+1,x>0

<2,x=0

【解答】解：f(x)=[0>x<0,貝I]f{f[f(-1)]}=f{f[o]}=f{2}=2+l=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題.

15.設(shè)/")是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)工之0時(shí)，/(x)=〃.若對(duì)任意的

xe[以,4+2],不等式/@+a)之2/(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.

參考答案：

【點(diǎn),例)

略

16.已知數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意〃WN*都有Sn="n3,

若1<S&<9(AGN"),則％的值為.

參考答案：

4

略

17.已知函數(shù)f(x)=x2+ax,若f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等，則a的取

值范圍是—.

參考答案：

{a!a22或aWO}

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】首先這個(gè)函數(shù)f(x)的圖象是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，也就是說(shuō)它的值域就是大

于等于它的最小值.y=f(f(x))它的圖象只能是函數(shù)f(x)上的一段，而要這兩個(gè)函

數(shù)的值域相同，則函數(shù)y必須要能夠取到最小值，這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)單了，就只需要f

a

(x)的最小值小于-2.

2

aa

2

【解答】解：由于f(x)=x+ax,xGR.則當(dāng)x=-2時(shí)，f(x).in=-4,

又函數(shù)y=f(f(x))的最小值與函數(shù)y=f(x)的最小值相等，

2

aa

則函數(shù)y必須要能夠取到最小值，即-丁W-2,

得到aWO或a?2,

故答案為：{a|a22或aWO}.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

府=但)怎力=鵬1"

18.已知函數(shù)12J,函數(shù)2

(1)若g(mx2+2x+m)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)1］時(shí)，求函數(shù)y=［f(x)Y-2af(x)+3的最小值h(a)；

J=k?giAx)

(3)是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)m、n,使得函數(shù)2的定義域?yàn)椋踡,n］,值域?yàn)椋?m,

2nL若存在，求出m、n的值；若不存在，則說(shuō)明理由.

參考答案：

g(x)=logjX

解：⑴???2,

產(chǎn)gx2+2x+in)=log?(mx^+2x+m)

y=logp

令u=mx2+2x+m,則2,

y=lo2x

當(dāng)m=0時(shí)，u=2x,2的定義域?yàn)?0,+8),不滿(mǎn)足題意；

y=log]U

當(dāng)m￥0時(shí)，若2的定義域?yàn)镽,

'm>0

則[△=4-4in2<0,

解得m>l,

綜上所述，m>1

(2)

2X

y=[f(x)]-2af(x)+3=*)2x-2a(|)+3J.產(chǎn)2a(1)^+3

4乙一乙Z

xG[-1,1],

令,砂x,則轉(zhuǎn)序2]-at+3,任助力

?.?函數(shù)y=--2at+3的圖象是開(kāi)口朝上，且以t=a為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線,

故當(dāng)&<如，嗔?xí)r，hJXyms，/

2

當(dāng)齊&42時(shí)，t=a時(shí),h(a)=ymin=3-a.

當(dāng)a>2時(shí),t=2時(shí)，h(a)=yrnin=7-4a.

f13/1

T-a-a<2

h(a)=3T，卜<2

綜上所述，[7-4a,a>2...

y=log[f(x2)=log[x2=x2

(3)22,

fo

m-2m

假設(shè)存在，由題意，知[n2=2n

[in=O

解得in=2,

y=log[f(x2)

???存在m=0,n=2,使得函數(shù)2的定義域?yàn)閇0,2],值域?yàn)閇0,4]...

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).

專(zhuān)題：分類(lèi)討論；轉(zhuǎn)化思想；分類(lèi)法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

尸g(mx2+Zx+m)=logj(inx^+2x+m)

分析：(1)若2的定義域?yàn)镽,則真數(shù)大于0恒

成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍，綜合討論結(jié)

果，可得答案；

t=(―)x

(2)令2，則函數(shù)y=[f(x)]J2af(x)+3可化為：y=t-2at+3,

[2121,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論各種情況下h(a)的表達(dá)式，綜合

討論結(jié)果，可得答案；

(0

m=2m

(3)假設(shè)存在，由題意，知ln"=2n解得答案.

g(x)=log]X

解答：解：(1)2,

產(chǎn)gx2+2x+m)=logj(mx^+2x+m)

/.2,

y=logju

令u=mx2+2x+m,則2,

y=log]2x

當(dāng)m=0時(shí)，u=2x,2的定義域?yàn)?0,+8),不滿(mǎn)足題意；

y=logp

當(dāng)mWO時(shí)，若2的定義域?yàn)镽,

'm>0

則[△=4-4m2<0,

解得m>l,

綜上所述，m>l…

(2)

y=[f(x)]2-2af(x)+3=(-^)2x-2a(幻、+3[3)學(xué)一左(￡)*+3

ZZ二NZ,

XG[-1,1],

x

t=(-^)t€[4>2]2t€[4>2]

令幺，貝U,y=t-2at+3,，

?.?函數(shù)y=t2-2at+3的圖象是開(kāi)口朝上，且以t=a為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線,

&<工h(a)=y.-a

故當(dāng)2時(shí)，i2時(shí)，—in4.

2

當(dāng)齊a<2時(shí),t=a時(shí)，h⑺=y>in=3-a.

當(dāng)a>2時(shí)，t=2時(shí)，h(a)=yrain=7-4a.

綜上所述，[7-4a,a>2...

2xZ2

y=log1f(x)=logt(-1)=x

(3)22,

’0

m=2m

9

假設(shè)存在，由題意，知ln"=2n

(itFO

解得in=2,

y=logjf(x2)

，存在m=0,n=2,使得函數(shù)2的定義域?yàn)閇0,2],值域?yàn)閇0,4]…

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是

解答的關(guān)鍵

19.(本小題12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，CD〃AB,AD±AB,BC±PC,

AD=DC=-AB

2

(1)求證：PA±BC

(2)試在線段PB上找一點(diǎn)M,使CM〃平面PAD,并說(shuō)明理由.

]

參考答案：

1.連接AC,過(guò)C作CELAB,垂足為E,

AD=DC,所以四邊形ADCE是正方形。

所以NACD=NACE=45°因?yàn)锳E=CD=2AB,所以BE=AE=CE

所以ZBCE==45°所以ZACB=ZACE+ZBCE=90°

所以ACLBC,................................................3分

UU又因?yàn)锽C_LPC,ACDPC=C,AC平面PAC,PC平面PAC

所以BC_L平面PAC,而R4U平面PAC,所以PA_LBC...............6分

2.當(dāng)M為PB中點(diǎn)時(shí),CM〃平面PAD,...........................8分

證明：取AP中點(diǎn)為F,連接CM,FM,DF.

JJ

則FM//AB,FM=2AB,因?yàn)镃D〃AB,CD=2AB,所以FM//CD,FM=CD.......9分

所以四邊形CDFM為平行四邊形,所以CM〃DF,..................10分

因?yàn)镈FU平面PAD,CM@平面PAD,所以,CM〃平面PAD.............12分

20已知全集口=3三4，集合4=口|-2<工<等5={x|-3<x<3}求：

Ar\B；G(dcB)；(qd)cA.

參考答案：

C^={x|3<x<45gX<-2}.^n5={x|-2<x<3}_q(dcA)={x|3WxV4成

五4一21；(qd)cA=3一3<工4一2或”=3}

【分析】

根據(jù)全集"與集合z和3,先求出“1、dDB.再結(jié)合集合的交集與補(bǔ)集的定義即可求

解.

【詳解】(1)；全集"=任1*<4上集合4=任|一2〈工〈等

-3=任|34工44或工？2)；

(2)；集合4={工|-2。<等3=任|-3<—3}

:.Ar\B={x|-2<x<3}.

(3)?:全集。=3Ar,S={x|-2<JC<3)

一G(dcB)={R3M無(wú)W4或工？騫

(4);%=任|3《工44或工？215={x|-3<x<3}

={x|-3<x<-2^x=3}

【點(diǎn)睛】本題考查交并補(bǔ)集的混合運(yùn)算，通過(guò)已知的集合的全集，按照補(bǔ)集的運(yùn)算法則分別

求解,屬于基礎(chǔ)題.

21已知方=(-L3)松=風(fēng)電,歷=。磯萬(wàn)〃記

(1)求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)若公_1■而，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

參考答案：

(1)"=一3；(2)m=+l.

試題分析：(1)利用向量7萬(wàn)〃記，建立關(guān)于”的方程，即可求解”的值；(2)寫(xiě)出

向量幺C,皿的坐標(biāo)，利用/訪得出關(guān)于e的方程，即可求解實(shí)數(shù)府的值.

試題解析：⑴-"=(-mC=(Xw?),CD=Qii),

j.AD+BC+CD

"ADUBC

.■,30+m+ji)-3m=O

/_JI=-3

(2)由(1)得

CD=a-3),AC=JB+BC=(2,3+m)jBD=RC^CD=(4,E-3)

AC±BD所以8+。+??X3f)=0...m=±l

考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

22.有n個(gè)首項(xiàng)都是1的等差數(shù)列，設(shè)第m個(gè)數(shù)列的第k項(xiàng)為amk(m,k=l,2,3,…，

n,n>3)，公差為dm,并且ain,a2n,a3n，…，ann成等差數(shù)列.

(I)證明dm=pidi+p2d2(3<m<n,pi,p2是m的多項(xiàng)式)，并求pi+p2的值;

(II)當(dāng)di=l,d2=3時(shí),將數(shù)列dm分組如下：(di),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,

d8,d9),…(每組數(shù)的個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列).設(shè)前m組中所有數(shù)之和為(Cm)4(Cm>

0),求數(shù)列12"dm)的前n項(xiàng)和Sn.

(Ill)設(shè)N是不超過(guò)20的正整數(shù)，當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)于(II)中的Sn,求使得不等式

1(q_6)〉d

50?nn成立的所有N的值.

參考答案:

考等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與不等式的綜合.

點(diǎn):

專(zhuān)綜合題；壓軸題.

題：

分(I)先根據(jù)首項(xiàng)和公差寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式表示出數(shù)列a“

析：a2n,a3n,...?ann中的第項(xiàng)減第2項(xiàng)，第3項(xiàng)減第4項(xiàng)，…，第n項(xiàng)減第n-1項(xiàng)，

山此數(shù)列也為等差數(shù)列，得到表示出的差都相等，進(jìn)而得到dn是首項(xiàng)dl,公差為d2

-di的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出dm的通項(xiàng)，令pi=2-m,P2=m

-1,得證，求出PI+P2即可；

(II)由5=1,d2=3,代入dm中，確定出dm的通項(xiàng)，根據(jù)題意的分組規(guī)律，得到

第m組中有2m-1個(gè)奇數(shù)，所以得到第1組到第m組共有從1加到2m-1個(gè)奇

數(shù)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出之和，從而表示出前n?個(gè)奇數(shù)的和，又前

C

m組中所有數(shù)之和為(Cm)4(Cm>0),即可得至ljcm=m,代入？"4中確定出數(shù)列

12"dJ的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式列舉出數(shù)列12"{J的前門(mén)項(xiàng)和Sn,記作

①，兩邊乘以2得到另一個(gè)關(guān)系式，記作②，②-①即可得到前n項(xiàng)和Sn的通項(xiàng)公

式；

(III)由(1【)得到dn和Sn的通項(xiàng)公式代入已知的不等式中，右邊的式子移項(xiàng)到

左邊，合并化簡(jiǎn)后左邊設(shè)成一個(gè)函數(shù)f(n),然后分別把n=l,2,3,4,5代入發(fā)

現(xiàn)其值小于0,當(dāng)n次時(shí)，其值大于0即原不等式成立，又N不超過(guò)20,所以得到

滿(mǎn)足題意的所有正整數(shù)N從5開(kāi)始到20的連續(xù)的正整數(shù).

解解：(I)由題意知amn=l+(n-1)dm.

答：則a2n-ain=[l+(n-1)d2]-[1+(n-1)di]=(n-1)(d2-di),

同理，H3n-a2n=(n-1)(ds-d2)，a4n-a3n=(n-1)(d4-d3),ann-a(n-

1)n=(n-1)(dll-dn-l).

又因?yàn)閍in,a2n,a3n,ann成等差數(shù)列,所以a2n-ain=a3n-a2n-..=ann-a(n-1)n.

故d2-dl=d3-d2=...=dn-dn-1,即dn是公差為d2-di的等差數(shù)列.

所以，dm=di+(m-1)(d2-di)=(2-m)di+(m-1)d2.

令pi=2-m,p2=m-1,則dm=pidi+p2d2,此時(shí)pi+p2=l.(4分)

(II)當(dāng)di=l,d2=3時(shí)，dm=2m-1(mGN*).

數(shù)列dm分組如下：(di),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,ds,d9),.

按分組規(guī)律，第m組中有2m-1個(gè)奇數(shù)，

所以第1組到第m組共有1+3+5+...+(2m-1)=n?個(gè)奇數(shù).

注意到前k