第03講 二次根式的加減（原卷版）

第03講二次根式的加減1.3（2）【學習目標】1、理解并掌握二次根式的加減法法則，會合并含有被開方數(shù)相同的二次根式，進行簡單的二次根式加減運算；2、會利用運算律和運算法則進行二次根式的混合運算.【基礎知識】1.合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似)要點：(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；(2)二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要變成假分數(shù)的形式.即：；2.二次根式的加減二次根式的加減實質就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結果中.即：；要點：（1）在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用.（2）二次根式加減運算的步驟：1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結合為一組；3)合并同類二次根式.3.二次根式的混合運算二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.要點詮釋：(1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；(3)二次根式混合運算的結果要寫成最簡形式.4.二次根式的比較大小能化簡成同類二次根式的，化簡后比較系數(shù)，系數(shù)大的二次根式就大；不能化簡成同類二次根式的：正數(shù)大于負數(shù)；同為正數(shù)時，進行平方運算，結果大的二次根式就大；同為負數(shù)時，進行平方運算，結果大的二次根式反而??；【考點剖析】考點1：二次根式的加減法1-數(shù)字型例1．的計算結果是（

）A．5B．C． D．例2．化簡：______．例3．計算：______．考點2：二次根式的加減法2-字母型例4．計算：（1）________；

（2）_________．例5．計算；（1）________；（2）________．例6．計算二次根式5-3-7+9的最后結果是________．例7．的值一定是（

）A．正數(shù) B．非正數(shù) C．非負數(shù) D．負數(shù)考點3：二次根式的混合運算1-數(shù)字型例8．計算：_____________．例9．計算：（

）A．4 B．5 C．6 D．8例10．計算：________．例11．計算的結果是（

）A． B． C． D．例12．計算：______．例13．計算的結果是（

）A． B． C． D．例14．計算：______．例15．計算：．考點4：二次根式的大小比較例16．請用“，，”符號比較大?。篲_________．例17．比較大?。篲_____；化簡：＝______．例18．比較大?。海?）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．考點5：二次根式的混合運算2-字母型及復合型例19．若m，n為有理數(shù)，且，則mn=_____.例20．若a、b為有理數(shù)，且，則________，________．例21．已知，則（

）A． B． C． D．例22．已知：，，則的值為（

）A．5 B．-5 C．25 D．5或-5例23．已知，，則______．考點6：二次根式的混合運算與分式例24．先化簡，再求值：，其中．例25．已知，則的值．例26．先化簡，再求值：已知a＝，求的值．考點7：復雜的二次根式混合運算例27．計算：．例28．計算：(1)；(2)．例29．例30．計算：（1）；（2）．考點8：二次根式混合運算的應用例31．一個長方形的長和寬分別是和，這個長方形的長與寬的和=________．例32．解不等式：例33．如圖是一個簡單的數(shù)值運算程序，若輸入x的值為的小數(shù)部分，則輸出的數(shù)值為_________．例34．宋代數(shù)學家秦九韶，古希臘數(shù)字家海倫在探究三角形面積的求解過程中發(fā)現(xiàn)，若一個三角形的三邊長分別為，，，設，則這個三角形面積為：，并進行了嚴格證明，這個公式叫海倫秦九韶公式，當，，時，三角形邊上的高等于（

）A． B． C． D．例35．若＝2.5，則的值為_____．【真題演練】一、單選題1．（2021·廣西柳州·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021·重慶·中考真題）下列計算中，正確的是（

）A． B．C． D．3．（2020·廣東廣州·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題4．（2022·貴州六盤水·中考真題）計算：__________．5．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算的結果是___________．6．（2020·河北·中考真題）已知：，則_________．三、解答題7．（2021·福建·中考真題）計算：．8．（2019·遼寧鐵嶺·中考真題）先化簡，再求值：，其中，．【過關檢測】一、單選題1．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．2．下列計算正確的是（

）．A． B．C． D．3．若，則的值為（

）A．56 B．34 C．28 D．144．若，則x的值等于（

）A．4 B． C．2 D．5．﹣與﹣的關系是（）A．互為相反數(shù) B．互為倒數(shù)C．相等 D．乘積是有理式6．計算的值為()A． B． C． D．7．下列算式：（1）；（2）；（3）=；（4），其中正確的是（

）A．（1）和（3） B．（2）和（4） C．（3）和（4） D．（1）和（4）8．的值一定是（

）A．正數(shù) B．非正數(shù) C．非負數(shù) D．負數(shù)9．若a，b為有理數(shù)，且，那么的值是（

）A．0 B．2 C．8 D．1010．已知，，，那么a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．二、填空題11．計算的值等于________．12．比較大?。海?）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．13．數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2,將點A向右平移個單位長度得到點B,則點B表示的數(shù)是____.14．一個三角形的三邊長分別為，則它的周長是___________cm．15．若a、b均為有理數(shù)，且則a=______b=________.16．計算二次根式5-3-7+9的最后結果是________．17．不等式的解集是______．18．對于任意兩個正數(shù)m、n，定義運算※為：計算的結果為_____．19．若，則__________．20．觀察下列分母有理化的計算：，，……，從計算結果中找出規(guī)律并利用規(guī)律計算：____________．三、解答題21．計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．22．計算：(1)．(2)．(3)．23．計算：(1)；(2)．24．化簡與計算：(1)(2)(3)(4)25．計算：(1)(2)26．化簡二次根式：．27．解不等式：．28．先化筒．再求值：，其中，．29．計算：．30．請閱讀下列材料：問題：已知，求代數(shù)式的值．小敏的做法是：根據得，，得：．把作為整體代入：得．即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：(1)已知，求代數(shù)式的值；(2)已知，求代數(shù)式的值．31．閱讀下列解題過程：；；；……解答下列各題：(1)______；(2)觀察上面的解題過程，請計算.(3)利用這一規(guī)律計算：.32．在二次根式的計算和比較大小