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山東省臨沂市蘭山區(qū)2024年高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下邊程序框圖的算法源于我國(guó)古代的中國(guó)剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.192.設(shè)向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.3.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.4.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.35.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.66.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心7.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值等于()A.2 B. C.4 D.88.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則()A. B. C. D.10.已知x,y滿足不等式組,則點(diǎn)所在區(qū)域的面積是()A.1 B.2 C. D.11.若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.712.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題:“今有蒲生一日,長(zhǎng)三尺莞生一日,長(zhǎng)一尺蒲生日自半,莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)倍?”意思是:“今有蒲草第天長(zhǎng)高尺,蕪草第天長(zhǎng)高尺以后,蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半,蕪草每天長(zhǎng)高前一天的倍.問(wèn)第幾天莞草是蒲草的二倍?”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是()(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.命題“”的否定是______.14.一次考試后,某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù),若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來(lái)的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起,算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為,則_________.15.在面積為的中,,若點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)滿足,則的最大值是______.16.已知函數(shù)為偶函數(shù),則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l距離的最大值.18.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會(huì)上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個(gè)人擊中鼓則得積分100分,沒(méi)有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計(jì)分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過(guò)200分時(shí),這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī),問(wèn)張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BD⊥DC,△PCD為正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E為PC的中點(diǎn).(1)證明:AP∥平面EBD;(2)證明:BE⊥PC.20.(12分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(diǎn)(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn)(不與重合)求二面角的正切值的最小值21.(12分)改革開放40年,我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí),某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各50人,進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng),所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)(Ⅰ)求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人,求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82822.(10分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,模擬程序的運(yùn)行過(guò)程,代入四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時(shí),常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.2、B【解析】
由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】,當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,考查模長(zhǎng)公式,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.3、C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問(wèn)問(wèn)題求并集而不是交集.4、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
解出,計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.7、D【解析】
畫出可行域,計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離,由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,其中,由于,,所以,所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)?,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.9、C【解析】
根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,求得其通項(xiàng)公式,由此求得.【詳解】由于,所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,第二項(xiàng)為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
畫出不等式表示的平面區(qū)域,計(jì)算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖:直線的斜率為,直線的斜率為,所以兩直線垂直,故為直角三角形,易得,,,,所以陰影部分面積.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力,屬于??碱}.11、B【解析】
先化簡(jiǎn)的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng),然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng).令,則,∴,∴(舍)或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】
由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度,進(jìn)而可得:,解出即可得出.【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長(zhǎng)度分別為據(jù)題意得:,解得2n=12,∴n21.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、,【解析】
根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題,所以,命題,則該命題的否定是:,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】
根據(jù)均值的定義計(jì)算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|,再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化,最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①與②的平方和得:|AB||AC|=,又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即的最大值是為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量,進(jìn)而由重要不等式求最值,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程,化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù),所以,即,即,即,即,即,即,即,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】
試題分析:利用將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程:化簡(jiǎn)為ρcosθ+ρsinθ=1,即為x+y=1.再利用點(diǎn)到直線距離公式得:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosα,sinα),得P到直線l的距離試題解析:解:化簡(jiǎn)為ρcosθ+ρsinθ=1,則直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosα,sinα),得P到直線l的距離,dmax=.考點(diǎn):極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,點(diǎn)到直線距離公式18、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)要積分超過(guò)分,則需兩人共擊中次,或者擊中次,由此利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意,當(dāng)家庭最終積分超過(guò)200分時(shí),這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī),所以要想領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī),則需要這個(gè)家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件為“張明第次擊中”,事件為“王慧第次擊中”,,由事件的獨(dú)立性和互斥性可得(張明和王慧家庭至少擊中三次鼓),所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是.(2)的所有可能的取值為-200,-50,100,250,400.,,,,.∴的分布列為-200-50100250400∴(分)【點(diǎn)睛】本小題考查概率,分布列,數(shù)學(xué)期望等概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)據(jù)處理,應(yīng)用意識(shí).19、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OE,利用三角形中位線可得AP∥OE,從而可證AP∥平面EBD;(2)先證明BD⊥平面PCD,再證明PC⊥平面BDE,從而可證BE⊥PC.【詳解】證明:(1)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OE因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形∴O為AC中點(diǎn),又E為PC中點(diǎn),故AP∥OE,又AP平面EBD,OE平面EBD所以AP∥平面EBD
;(2)∵△PCD為正三角形,E為PC中點(diǎn)所以PC⊥DE因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,又BD平面ABCD,BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD,故PC⊥BD又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE,所以BE⊥PC.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,線面平行一般轉(zhuǎn)化為線線平行來(lái)證明,直線與直線垂直通常利用線面垂直來(lái)進(jìn)行證明,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).20、(1)見解析(2)【解析】
(1)推導(dǎo)出,,從而平面,由面面垂直的判定定理即可得證.(2)過(guò)作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間坐標(biāo)系,設(shè),利用空間向量法表示出二面角的余弦值,當(dāng)余弦值取得最大時(shí),正切值求得最小值;【詳解】(1)因?yàn)?,面,,平面,平面,平面,又平面,平面平面;?)過(guò)作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間坐標(biāo)系,則,設(shè),則平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為則,即,令,如圖二面角的平面角為銳角,設(shè)二面角為,則,時(shí)取得最大值,最大值為,則最
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