安徽省渦陽(yáng)縣第一中學(xué)2024年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

安徽省渦陽(yáng)縣第一中學(xué)2024年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．32．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．3．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個(gè)坐位的寬度()，每個(gè)座位寬度為，估計(jì)彎管的長(zhǎng)度，下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是（）A． B． C． D．4．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④5．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．6．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，，則（）A． B．C． D．7．已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．8．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．1 C．或1 D．或99．函數(shù)在的圖象大致為()A． B．C． D．10．已知函數(shù).設(shè)，若對(duì)任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．11．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．12．若時(shí)，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則______，______.14．已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝_____，|z|＝_____．15．能說(shuō)明“在數(shù)列中，若對(duì)于任意的，，則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.（寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式）16．如圖是一個(gè)算法的偽代碼，運(yùn)行后輸出的值為_(kāi)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐的底面中，，，平面，是的中點(diǎn)，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在指出點(diǎn)的位置，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng)的最小值.19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）已知拋物線與直線.（1）求拋物線C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值；（2）設(shè)點(diǎn)是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，是定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，求證A，Q，B共線；并在時(shí)求點(diǎn)P坐標(biāo).21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和.求證：.22．（10分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以公差，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)，在時(shí)，單調(diào)遞減，且；在時(shí)，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.2、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，該函?shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除C選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法得出結(jié)果，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.3、B【解析】

為彎管，為6個(gè)座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對(duì)的圓心角，再利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個(gè)座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認(rèn)為，即于是，長(zhǎng)所以是最接近的，其中選項(xiàng)A的長(zhǎng)度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長(zhǎng).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號(hào).【詳解】的定義域?yàn)?由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，且存在，使.所以當(dāng)時(shí)，；由于為偶函數(shù)，所以時(shí)，所以的最大值為，所以③錯(cuò)誤.依題意，，當(dāng)時(shí)，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個(gè)零點(diǎn).由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)為①④.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5、C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題，也是?？贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)所求問(wèn)題，通過(guò)確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問(wèn)題可得解.6、C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解，通常先求解模長(zhǎng)的平方，再開(kāi)平方求得結(jié)果；解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析，得到的最小值.8、C【解析】

由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，求的值.【詳解】解：由題意可得，求得，或，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結(jié)合特殊值即可排除D，即可得解.【詳解】函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，所以排除A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)；綜上可知，C為正確選項(xiàng)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對(duì)任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對(duì)任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價(jià)于在單調(diào)遞減，即，從而，因?yàn)椋詫?shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問(wèn)題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問(wèn)題，屬于一般性題目.11、D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為2,棱錐的高為2，所以，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.12、D【解析】

由題得對(duì)恒成立，令，然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對(duì)恒成立，令，在單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又在單調(diào)遞增，，的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問(wèn)題，可采用參變量分離法去求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，難度不大．14、11【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)公式計(jì)算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z，∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案為：1，1．【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計(jì)算模長(zhǎng)，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.15、答案不唯一，如【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知，不妨設(shè)，則，很明顯為遞減數(shù)列，說(shuō)明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列，還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.16、13【解析】根據(jù)題意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿足條件，故得到此時(shí)輸出的b值為13.故答案為13.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【解析】

（Ⅰ）連結(jié)，，，則四邊形為平行四邊形，得到證明.（Ⅱ）建立如圖所示坐標(biāo)系，平面法向量為，平面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.（Ⅲ）設(shè)，計(jì)算，，根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.【詳解】（Ⅰ）連結(jié)，，，則四邊形為平行四邊形.平面.（Ⅱ）平面，四邊形為正方形.所以，，兩兩垂直，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面法向量為，則，連結(jié)，可得，又所以，平面，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則.（Ⅲ）線段上存在點(diǎn)使得，設(shè)，，，，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，二面角，根據(jù)垂直關(guān)系確定位置，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18、（1）（2）【解析】

（1）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，化?jiǎn)得，可得，解得，又因?yàn)?，所?（6分）（2）因?yàn)椋?，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）.由（1）得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），解得.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以的周長(zhǎng)的最小值為.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，結(jié)合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，設(shè)平面的法向量為，由可得:，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則，，故二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，或【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)，，，，表示出直線，的方程，利用表示出，，即可求定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，時(shí)取等號(hào)），則拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值；（2）設(shè)，，，，，，直線，的方程為分別為，，由兩條直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)得，為方程的兩根，，直線的方程為，，，，，共線．又，，，解，，點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，，時(shí)，，，或．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力．21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）先將縮小即，由此結(jié)合裂項(xiàng)求和法、放縮法