第二講 圖形的對稱、平移、旋轉與位似含圖形的運動與坐標（考點精析+真題精講）（解析版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習第2講圖形的對稱、平移、旋轉與位似(含圖形的運動與坐標）№考向解讀第2講圖形的對稱、平移、旋轉與位似(含圖形的運動與坐標）№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第七章圖形的變換第2講圖形的對稱、平移、旋轉與位似(含圖形的運動與坐標）該板塊知識以考查平面幾何的三大變換的基本運用為主.年年都有考查，分值在8-10分左右。預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識點，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結合出現(xiàn)。這三大變換貫穿于初中所學的平面幾何之中，利用平移、旋轉、對稱能解決三角形、四邊形、圓、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質等問題,利用變換在解決問題時往往能起到化繁為簡的功效，激活思維，讓人茅塞頓開.→?考點精析←→?真題精講←考向一平移考向二對稱考向三旋轉考向四位似第2講圖形的對稱、平移、旋轉與位似(含圖形的運動與坐標）→?考點精析←一、軸對稱圖形與軸對稱軸對稱圖形軸對稱圖形定義如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸性質對應線段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對應角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′對應點所連的線段被對稱軸垂直平分區(qū)別(1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言；(2)對稱軸不一定只有一條(1)軸對稱是指兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形；(2)只有一條對稱軸關系(1)沿對稱軸對折，兩部分重合；(2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關于這條直線成軸對稱(1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合；(2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形1．常見的軸對稱圖形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．2．折疊的性質:折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．【注意】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關系，借助勾股定理建立關系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討論的數(shù)學思想方法．3．作某點關于某直線的對稱點的一般步驟1）過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標出垂足；2）在這條直線另一側從垂足除法截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關于該直線的對稱點．4．作已知圖形關于某直線的對稱圖形的一般步驟1）作出圖形的關鍵點關于這條直線的對稱點；2）把這些對稱點順次連接起來，就形成了一個符合條件的對稱圖形．二、圖形的平移1．定義：在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?．三大要素：一是平移的起點，二是平移的方向，三是平移的距離．3．性質：1）平移前后，對應線段平行且相等、對應角相等；2）各對應點所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；3）平移前后的圖形全等．4．作圖步驟：1）根據題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關鍵點；3）按平移方向和平移距離平移各個關鍵點，得到各關鍵點的對應點；4）按原圖形依次連接對應點，得到平移后的圖形．三、圖形的旋轉1．定義：在平面內，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉．這個定點叫做旋轉中心，轉過的這個角叫做旋轉角．2．三大要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度．3．性質：1）對應點到旋轉中心的距離相等；2）每對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；3）旋轉前后的圖形全等．4．作圖步驟：1）根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；2）找出原圖形的關鍵點；3）連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形．【注意】旋轉是一種全等變換，旋轉改變的是圖形的位置，圖形的大小關系不發(fā)生改變，所以在解答有關旋轉的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質的運用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關系起著關鍵的作用．四、中心對稱圖形與中心對稱中心對稱圖形中心對稱圖形定義如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心如果一個圖形繞某點旋轉180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱性質對應點點A與點C，點B與點D點A與點A′，點B與點B′，點C與點C′對應線段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對應角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′區(qū)別中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形中心對稱是指兩個圖形的關系聯(lián)系把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖形”，則這“兩個圖形”成中心對稱把成中心對稱的兩個圖形看成一個“整體”，則“整體”成為中心對稱圖形常見的中心對稱圖形平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．注意：圖形的“對稱”“平移”“旋轉”這些變化,是圖形運動及延伸的重要途徑,研究這些變換中的圖形的“不變性”或“變化規(guī)律”.五、位似圖形1．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性質：1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關鍵點；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關鍵點的對應點；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點．→?真題精講←考向一平移1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（

）

A．2 B． C．3 D．5【答案】A【分析】利用平移的性質得到，即可得到的長．【詳解】解：∵沿方向平移至處．∴，故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或共線）且相等．2．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴在中，，，點F是中點∴∵，點F是中點∴，，∴點D是的中點，∴∵D是的中點，點F是中點，∴是的中位線，∴∴四邊形的周長為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點睛】本題考查平移的性質，平行四邊形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關鍵．考向二對稱3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，各點坐標分別為，，．先作關于x軸成軸對稱的，再把平移后得到．若，則點坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】三點，，的對稱點坐標為，，，結合，得到平移規(guī)律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，計算即可．【詳解】∵三點，，的對稱點坐標為，，，結合，∴得到平移規(guī)律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，故坐標為．故選：B．【點睛】本題考查了關于x軸對稱，平移規(guī)律，熟練掌握軸對稱的特點和平移規(guī)律是解題的關鍵．4．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點均為格點（網格線的交點）．

(1)畫出線段關于直線對稱的線段；(2)將線段向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段，畫出線段；(3)描出線段上的點及直線上的點，使得直線垂直平分．【答案】見解析【分析】（1）根據軸對稱的性質找到關于直線的對稱點，，連接，則線段即為所求；（2）根據平移的性質得到線段即為所求；（3）勾股定理求得，，則證明得出，則，則點即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求；

（2）解：如圖所示，線段即為所求；

（3）解：如圖所示，點即為所求

如圖所示，

∵，，∴，又，∴，∴，又，∴∴，∴垂直平分．【點睛】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，勾股定理與網格問題，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）將邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請在下列網格中畫出你拼成的四邊形（注：①網格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點都在格點上）．

【答案】見解析（答案不唯一，符合題意即可）【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質進行作圖即可．【詳解】解：①要求是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形即為所求；②要求是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形即為所求；③要求既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形即為所求；④要求既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形即為所求．

【點睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念及作圖，軸對稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個圖形重合；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某個點旋轉能夠和原圖形重合．考向三旋轉6．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）銀杏是著名的活化石植物，其葉有細長的葉柄，呈扇形．如圖是一片銀杏葉標本，葉片上兩點B，C的坐標分別為，將銀杏葉繞原點順時針旋轉后，葉柄上點A對應點的坐標為___________．

【答案】【分析】根據點的坐標，確定坐標系的位置，再根據旋轉的性質，進行求解即可．【詳解】解：∵B，C的坐標分別為，∴坐標系的位置如圖所示：

∴點的坐標為：，連接，將繞點順時針旋轉后，如圖，葉柄上點A對應點的坐標為；故答案為：【點睛】本題考查坐標與旋轉．解題的關鍵是確定原點的位置，熟練掌握旋轉的性質．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將逆時針旋轉得到，交于F．當時，點D恰好落在上，此時等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據旋轉可得，再結合旋轉角即可求解．【詳解】解：由旋轉性質可得：，，∵，∴，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了幾何—旋轉問題，掌握旋轉的性質是關鍵．8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，把以為中心順時針旋轉，點為射線、的交點．若，．以下結論：①；②；③當點在的延長線上時，；④在旋轉過程中，當線段最短時，的面積為．其中正確結論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】證明即可判斷①，根據三角形的外角的性質得出②，證明得出，即可判斷③；以為圓心，為半徑畫圓，當在的下方與相切時，的值最小，可得四邊形是正方形，在中，然后根據三角形的面積公式即可判斷④．【詳解】解：∵和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正確；設，∴,∴，∴，故②正確；當點在的延長線上時，如圖所示

∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正確；④如圖所示，以為圓心，為半徑畫圓，

∵，∴當在的下方與相切時，的值最小，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值時，∴故④正確，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的性質，勾股定理，切線的性質，垂線段最短，全等三角形的性質與判定，正方形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）以正五邊形的頂點C為旋轉中心，按順時針方向旋轉，使得新五邊形的頂點落在直線上，則正五邊旋轉的度數(shù)至少為______°．【答案】【分析】依據正五邊形的外角性質，即可得到的度數(shù)，進而得出旋轉的角度．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∴新五邊形的頂點落在直線上，則旋轉的最小角度是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形、旋轉性質，關鍵是掌握正多邊形的外角和公式的運用．10．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的平分線，且，將四邊形繞點逆時針方向旋轉后，得到四邊形，且，則四邊形旋轉的角度是______．

【答案】【分析】根據角平分線的性質可得，根據旋轉的性質可得，，求得，即可求得旋轉的角度．【詳解】∵為的平分線，，∴，∵將四邊形繞點逆時針方向旋轉后，得到四邊形，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質，旋轉的性質，熟練掌握以上性質是解題的關鍵．11．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉角（）得到，連接，．當為直角三角形時，旋轉角的度數(shù)為_______．

【答案】或或【分析】連接，根據已知條件可得，進而分類討論即可求解．【詳解】解：連接，取的中點，連接，如圖所示，

∵在中，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴∴，∴∴，如圖所示，當點在上時，此時，則旋轉角的度數(shù)為，

當點在的延長線上時，如圖所示，則

當在的延長線上時，則旋轉角的度數(shù)為，如圖所示，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是矩形，∴即是直角三角形，

綜上所述，旋轉角的度數(shù)為或或故答案為：或或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，矩形的性質與判定，旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．12．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點逆時針旋轉，得到，若點的對應點恰好落在線段上，則點的運動路徑長是___________cm（結果用含的式子表示）．

【答案】【分析】由于旋轉到，故C的運動路徑長是的圓弧長度，根據弧長公式求解即可．【詳解】以A為圓心作圓弧，如圖所示．

在直角中，，則，則．∴．由旋轉性質可知，，又，∴是等邊三角形．∴．由旋轉性質知，．故弧的長度為：；故答案為：【點睛】本題考查了含角直角三角形的性質、勾股定理、旋轉的性質、弧長公式等知識點，解題的關鍵是明確C點的運動軌跡．13．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點M，D是線段上的動點（不與點M，C重合），將線段繞點D順時針旋轉得到線段．

(1)如圖1，當點E在線段上時，求證：D是的中點；(2)如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由旋轉的性質得，，利用三角形外角的性質求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設，，求出，證明，得到，再根據等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉的性質得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點；（2）；證明：如圖2，延長到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉的性質得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，旋轉的性質，三角形外角的性質，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質等知識，作出合適的輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．考向四位似14．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點成位似關系，則位似中心的坐標為（

）

A． B