第02講 全等三角形的概念、性質(zhì)、判定（3大考點5種解題方法）（原卷版）

第02講全等三角形的概念、性質(zhì)、判定（3大考點5種解題方法）考點考點考向一．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．（4）對應頂點、對應邊、對應角把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角．二．全等三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應邊相等性質(zhì)2：全等三角形的對應角相等說明：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應注意①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應用時要會找對應角和對應邊．②要正確區(qū)分對應邊與對邊，對應角與對角的概念，一般地：對應邊、對應角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．四．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．五．全等三角形的應用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應用一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．考點精講考點精講一．全等圖形（共3小題）1．（2021秋?襄州區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等 C．完全重合的兩個三角形全等 D．所有的等邊三角形全等2．（2021秋?義烏市期中）如圖，方格紙中是9個完全相同的正方形，則∠1+∠2的值為．3．（2021秋?余杭區(qū)期中）如圖是單位長度為1的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3＝°．二．全等三角形的性質(zhì)（共9小題）4．（2021秋?諸暨市期末）如圖，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，點A，D，E在同一條直線上，∠ACB＝25°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．70°5．（2021秋?溫州期末）如圖，△ABC≌△DEF，點A，B分別對應點D，E．若∠A＝70°，∠B＝50°，則∠1等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．（2021秋?北侖區(qū)期中）如圖，△ABC≌△ADE，下列說法錯誤的是（）A．BC＝DE B．AB⊥DE C．∠CAE＝∠BAD D．∠B＝∠D7．（2021秋?承德縣期末）如圖，已知△ABC與△BDE全等，其中點D在邊AB上，AB＞BC，BD＝CA，DE∥AC，BC與DE交于點F，下列與AD+AC相等的是（）A．DE B．BE C．BF D．DF8．（2021秋?長興縣月考）如圖，已知△ABC≌△EBD．（1）若BE＝6，BD＝4，求線段AD的長；（2）若∠E＝30°，∠B＝48°，求∠ACE的度數(shù)．9．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm．求：（1）∠1的度數(shù)；（2）AC的長．10．（2021秋?大化縣期中）如圖所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求證：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．11．（2021秋?青田縣期末）如圖，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．若BF＝8cm，BE＝2cm，則CE的長度（）cm．A．5 B．4 C．3 D．212．（2021秋?諸暨市校級月考）如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度數(shù)．三．全等三角形的判定（共8小題）13．（2021?普陀區(qū)校級開學）如圖，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC．求證：△ACD≌△AEB．14．（2021秋?湖州期末）我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊含著數(shù)學知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE＝AF，GE＝GF，則△AEG≌△AFG的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS15．（2021秋?上城區(qū)期末）如圖，已知∠DBC＝∠ACB，添加一個條件不能證明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠ABD＝∠ACD D．∠A＝∠D16．（2021秋?越城區(qū)期末）△ABC與三邊長分別為3，4，5的三角形全等，滿足條件的△ABC的邊角可以是（）A．∠A＝90°，AB＝3，BC＝5 B．∠B＝90°，AB＝5，BC＝3 C．∠C＝90°，AC＝3，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝4，BC＝317．（2021秋?柯橋區(qū)期末）如圖，已知AB＝AD，AC＝AE，若要判定△ABC≌△ADE，則下列添加的條件中正確的是（）A．∠1＝∠DAC B．∠B＝∠D C．∠1＝∠2 D．∠C＝∠E18．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，AB＝AC，請你添加一個條件，使△ABE≌△ACD，（1）你添加的條件是；（2）根據(jù)上述添加的條件證明△ABE≌△ACD．19．（2021秋?溫州期中）看圖填空：已知：如圖，BC∥EF，AD＝BE，BC＝EF，試說明△ABC≌△DEF．解：∵BC∥EF∴∠ABC＝∠（兩直線平行，同位角相等）∵AD＝BE∴＝BE+DB即＝DE在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（）20．（2021秋?仙桃校級月考）如圖，點C在線段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，點P以2cm/s的速度沿A→C→E向終點E運動，同時點Q以3cm/s的速度從E開始，在線段EC上往返運動（即沿E→C→E→C→…運動），當點P到達終點時，P，Q同時停止運動．過P，Q分別作BD的垂線，垂足為M，N．設(shè)運動時間為ts，當以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等時，求t的值．四．全等三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）21．（2021秋?龍泉市期末）如圖，點D，E分別在AC，AB上，AD＝AE，BE＝CD．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠COD的度數(shù)．22．（2021秋?瑞安市校級期中）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC與EF交于點H．求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）FH＝CH．23．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，則△ABC的周長為（）A．21 B．24 C．27 D．3024．（2021秋?開化縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在BC上，BD＝CE．（1）求證：△ABD≌△ACE．（2）若∠DAE＝∠B＝28°，求∠BAD的度數(shù)．25．（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，點A，D在線段FC上，F(xiàn)A＝CD，AB＝DE，BC＝EF．求證：AB∥DE．26．（2021秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，則∠B與∠ADC滿足的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°27．（2021秋?諸暨市月考）如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點D，連接EB．下列結(jié)論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正確的個數(shù)為（）個．A．1 B．2 C．3 D．428．（2021秋?高邑縣期末）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F(xiàn)是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，則AD的長為（）A．3 B．5 C．6 D．729．（2021秋?柯橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，CD與BE相交于點F．（1）求證：△ACD≌△FBD；（2）若AD＝3，BF＝5，求△ABC的面積．五．全等三角形的應用（共6小題）30．（2021秋?肇源縣期末）王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．31．（2021秋?臨海市期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平長度DF相等，那么判定△ABC與△DEF全等的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS32．（2021秋?椒江區(qū)期末）小明在學習了全等三角形的相關(guān)知識后，發(fā)現(xiàn)了一種測量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對岸的A處，然后轉(zhuǎn)過身，保持和剛才完全一樣的姿勢，這時視線落在水平地面的B處（A，O，B三點在同一水平直線上），小明通過測量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL33．（2021秋?慈溪市期末）如圖，為測量池塘兩端AB的距離，學校課外實踐小組在池塘旁的開闊地上選了一點C，測得∠ACB的度數(shù)，在AC的另一側(cè)測得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再測得AD的長，就是AB的長．其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS34．（2021秋?金華期中）如圖，一塊玻璃碎成三片，小智只帶了第③塊去玻璃店，就能配一塊一模一樣的玻璃，你能用三角形的知識解釋，這是為什么？（）A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS35．（2021秋?金華期末）如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明通過構(gòu)造△ABC與△BCD來測量A，B間的距離，其中AC＝CD，∠ACB＝∠BCD．那么量出的BD的長度就是AB的距離．請你判斷小明這個方法正確與否，并給出相應理由．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·土默特左旗教育局教研室八年級月考）如圖，已知，，欲證，不可補充的條件是（）A． B． C． D．2．（2021·全國八年級課前預習）如圖，△ABC≌△BAD，如果AB＝6cm，BD＝4cm，AD＝5cm，那么BC的長是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．無法確定3．（2021·通道侗族自治縣教育科學研究室八年級期中）下列條件中，不能使兩個直角三角形全等的條件是A．一銳角和斜邊對應相等 B．斜邊和一直角邊對應相等C．有三條邊對應相等 D．兩個銳角對應相等4．（2021·通道侗族自治縣教育科學研究室八年級期中）在中，，的平分線交于D，若，則點D到的距離是A． B． C． D．5．（2020·南京市金陵匯文學校八年級開學考試）下列各條件中，不能作出唯一三角形的是（）A．已知兩邊和夾角B．已知兩角和夾邊C．已知兩邊和其中一邊的對角D．已知三邊6．（2021·河北秦皇島市·八年級期中）如圖，在方格紙中，以為一邊作，使之與全等，從，，，四個點中找出符合條件的點，則點有（）A．個 B．個 C．個 D．個7．（2021·全國八年級專題練習）如圖，點在同一直線上，，則等于（）A．4 B．5 C．6 D．78．（2021·大連市第三十四中學八年級月考）如圖，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．9．（2021·大連市第三十四中學八年級月考）如圖，，其中，，則（）A． B． C． D．10．（2020·南京市金陵匯文學校八年級開學考試）下列命題中正確的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中線相等C．全等三角形的角平分線相等D．全等三角形的對應角平分線相等二、填空題11．（2021·寧夏八年級期末）如圖，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠DCB＝43°，則∠ABC＝______．12．（2021·全國八年級課前預習）如圖，長方形ABCD沿AM折疊，使D點落在BC上的N點處，AD＝7cm，DM＝5cm，∠DAM＝39°，則△ANM≌△ADM，AN＝_____cm，NM＝_____cm，∠NAB＝_______．13．（2021·全國八年級課前預習）能夠完全重合的兩個三角形叫做_______．14．（2021·河北唐山市·八年級期中）已知：如圖，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，根據(jù)圖中所標注的數(shù)據(jù)，可求得陰影部分的面積為_______．15．（2021·嵩縣教育局基礎(chǔ)教育教學研究室八年級期末）如圖，已知，和，，則度數(shù)為__________．16．（2021·廣南縣教學研究室八年級期末）如圖，在中，，AD是的一條角平分線．若，則點D到AB的距離為___________．17．（2021·北京市第五中學朝陽雙合分校八年級期中）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），在圖中，要測量工件內(nèi)槽寬AB，只要測量A'B'的長度即可，該做法的依據(jù)是___．18．（2021·全國八年級單元測試）已知△ADF≌△CBE，∠A=20°，∠B=120°，則∠CEB=______．19．（2020·南京市金陵匯文學校八年級開學考試）如圖，已知∠B=∠DEF，AB=DE，要證明△ABC≌△DEF．（1）若以“ASA”為依據(jù)，還需要添加一個條件為___________；（2）若以“AAS”為依據(jù)，還需要添加一個條件為___________．20．（2021·全國八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C，BC＝16厘米，點D為AB的中點，點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．當點Q的運動速度為________厘米/秒時，能夠在某一時刻使△BPD與△CQP全等．三、解答題21．（2021·山東日照市·海曲中學八年級期中）如圖所示，ABCD中，AE⊥BD，,垂足分別為E，F(xiàn)．求證：AE＝CF．22．（2021·全國八年級課前預習）如圖△ABC與△ADC全等，請用數(shù)學符號表示出這兩個三角形全等，并寫出相等的邊和角．23．（2021·吉林長春市·長春外國語學校八年級開學考試）如圖，△ABC≌△DEF，點A對應點D，點B對應點E，點B、F、C、E在一條直線上，∠A=85°，∠E=50°，AB=4，E