2022-2023上海八年級數(shù)學(xué)上冊期末專題復(fù)習(xí)15 壓軸題精講-動點(diǎn)專題（教師版）

專題015壓軸題精講-動點(diǎn)專題【典例分析】1．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°中，∠A＝30°，AC＝，將一個(gè)30°角的頂點(diǎn)D放在邊AB上移動，使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC交于點(diǎn)E、F，且DE⊥AB．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求CD的長．（2）如圖2，設(shè)AD＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．（3）聯(lián)接EF，若△DEF是直角三角形，直接寫出AD的長．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【分析】（1）證明DA＝CD＝DB，可得結(jié)論；（2）證明等邊三角形BDF，求出BF＝BD＝y(tǒng)，可得x+y＝4，根據(jù)y＝x﹣4≤2，得出x≥2，根據(jù)一定與線段AC、BC相交，得出AD最大到M處，求出AM即可得出答案；（3）分為兩種情況：①E為直角頂點(diǎn)時(shí)．②F為直角頂點(diǎn)時(shí)，分別構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠EDF＝30°，∠A＝30°，∴∠ADC＝120°，∴∠ACD＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠A＝∠ACD＝30°，∴DA＝DC，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝∠DCB＝60°，∴CD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∵AC＝2，AB＝2BC，∴BC=2，AB＝4，∴CD＝AB＝2；（2）∵DE⊥AB，∠EDF＝30°，∴∠FDB＝∠B＝60°，∴△BDF是等邊三角形，∴BF＝BD，∴AD+BD＝4，∴x+y＝4，∴y＝4﹣x，∵y≤2，∴4﹣x≤2，∴x≥2，∵30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC交于點(diǎn)E、F，∴過C作CM⊥AB于M，最后D只能到M點(diǎn)，∴x此時(shí)是3，∴函數(shù)的定義域（即x的取值范圍）是：2≤x≤3；（3）如圖1中，當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，AD＝x，∴DE＝x，∵∠EDF＝30°，∴DF＝DB＝x，∴x+x＝4，解得：x＝，即AD＝；當(dāng)∠EFD＝90°時(shí)，（如圖2），∵∠FDE＝30°，∴DF＝DB＝x∴x+x＝4，解得：x＝，即AD＝；綜上所述：AD＝或AD＝．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了含30度角的直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．2．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知：如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，D為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），AD的垂直平分線EF分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．（1）當(dāng)a＝4時(shí)，如果D為邊BC的中點(diǎn)，求DE的長；（2）設(shè)BD＝x，用含有字母a和x的代數(shù)式表示△BDE的周長與△DFC的周長的比；（3）如果△BDE為直角三角形，求BE的長（用含有字母a的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AB＝BC＝AC＝4，AD⊥BC，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝DE，EF垂直平分AD，可得EF∥BC，AE＝BE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線即可求解；（2）求出△BDE的周長＝BE+DE+BD＝AB+BD＝a+x，得出△DFC的周長＝BC+AC﹣BD＝2a﹣x，即可求解；（3）設(shè)BE＝m，分兩種情況，①∠CEB＝90°時(shí)，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BD＝2BE＝2m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，根據(jù)勾股定理求解即可；②∠BDE＝90°時(shí)，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BD＝BE＝m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵等邊三角形ABC的邊長為a，a＝4，∴AB＝BC＝AC＝4，∵D為邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵EF是AD的垂直平分線，∴EF∥BC，AE＝BE，∴DE＝AB＝2；（2）∵EF是AD的垂直平分線，∴AE＝DE，AF＝DF，∵△BDE的周長＝BE+DE+BD＝AB+BD＝a+x，得出△DFC的周長＝CD+DF+CF＝BC+AC﹣BD＝2a﹣x，∴＝；（3）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，設(shè)BE＝m，分兩種情況：①當(dāng)∠CEB＝90°時(shí)，如圖所示：則∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，∴BD＝2BE＝2m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，∵BD2＝BE2+DE2，即（2m）2＝m2+（a﹣m）2，解得：m＝或m＝（負(fù)值不合題意，舍去），∴BE＝；②當(dāng)∠BDE＝90°時(shí)，如圖所示：則∠BED＝90°﹣∠B＝30°，∴BD＝BE＝m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，∵BE2＝BD2+DE2，即m2＝（m）2+（a﹣m）2，解得：m＝（4﹣2）a或m＝（4+2）a（不合題意，舍去），∴BE＝（4﹣2）a；綜上所述，當(dāng)△BDE為直角三角形，BE的長為或（4﹣2）a．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及三角形周長的計(jì)算等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．3．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）已知：三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AB＝12，BC＝6，B′是邊AC上一點(diǎn)，將三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與B′重合，折痕與BC、AB分別相交于E、F（1）求∠B的大小；（2）設(shè)BE＝x，B′C＝y(tǒng)，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；（3）當(dāng)△AFB′是直角三角形時(shí)，求出x的值．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】（1）先根據(jù)勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，再由AC＝BC即可得出答案；（2）作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．由直角三角形30°角所對邊等于斜邊一半知AD＝AB＝3，BE＝2EF＝2x，根據(jù)勾股定理知BF＝x，繼而由S△APE＝S△APB﹣S△EPB可得出答案．（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長線上時(shí)，由三角形的面積公式可得出答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AC＝2，BC＝4，AB＝6，∴AC2+AB2＝48，BC2＝48，∴AC2+AB2＝BC2．∴∠BAC＝90°．又∵AC＝2，BC＝4，∴AC＝BC，∴∠B＝30°．（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．在△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，同理，BE＝2EF＝2x．在Rt△EFB中，EF2+FB2＝EB2，∴BF＝x，∴BP＝2FB＝2x，∴S△EPB＝，S△APB＝x，∴S△APE＝S△APB﹣S△EPB＝3x﹣，所求的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+3x，函數(shù)的定義域?yàn)?＜x≤2．（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，由（2）可知，S△APE＝S△APB﹣S△EPB＝3x﹣＝3﹣＝2．②當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長線上時(shí)，S△APE＝S△APB+S△EPB＝3x+＝3+＝4．綜合以上可得，△APE的面積為2或4．【點(diǎn)評】本題是三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式和分類討論思想的運(yùn)用．4．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，連接BD（如圖a），點(diǎn)P沿梯形的邊，從點(diǎn)A→B→C→D→A移動，設(shè)點(diǎn)P移動的距離為x，BP＝y(tǒng)．（1）求證：∠A＝2∠CBD；（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)C時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中的折線MNQ所示，試求CD的長．（3）在（2）的情況下，點(diǎn)P從A→B→C→D→A移動的過程中，△BDP是否可能為等腰三角形？若能，請求出所有能使△BDP為等腰三角形的x的取值；若不能，請說明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；函數(shù)及其圖象；線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；梯形．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，得出∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，即可得出結(jié)論；（2）作DE⊥AB于E，則DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝＝4，得出CD＝BE＝AB﹣AE＝1；（3）分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)；②點(diǎn)P在BC上時(shí)；③點(diǎn)P在AD上時(shí)；由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，∴∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，∴∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，∴∠A＝2∠CBD；（2）解：由圖（b）得：AB＝5，AB+BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖1所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝1；（3）解：可能；理由如下：分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，當(dāng)PD＝PB時(shí)，P與A重合，x＝0或x＝14；當(dāng)DP＝DB時(shí)，BP＝2BE＝2，∴AP＝3，∴x＝3；當(dāng)BP＝BD＝＝時(shí)，AP＝5﹣，即x＝5﹣；②點(diǎn)P在BC上時(shí)，存在PD＝PB，此時(shí)，x＝5+＝；③點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)BP＝BD＝時(shí)，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，如圖2所示：則BH?AD＝DE?AB，即×BH×5＝×3×5，∴BH＝3，∴DH＝＝＝1，∴DP＝2，∴x＝5+3+1+2＝11；當(dāng)DP＝DB＝時(shí)，x＝5+3+1+＝9+；綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或14或3或5﹣或或11或9+．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題目，考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．5．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)PQ、CQ，PQ與邊AB交于點(diǎn)D．（1）求∠B的度數(shù)；（2）聯(lián)結(jié)BQ，當(dāng)∠BQC＝90°時(shí)，求CQ的長；（3）設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）求出∠BCQ＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出BQ＝BC＝3．由勾股定理可得出答案；（3）過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，證明△BPQ為等邊三角形，由勾定理得出+，則可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝2，AB＝4，BC＝6，∴AC2+BC2＝48，AB2＝48，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵AC＝AB，∴∠B＝30°；（2）∵點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴BD垂直平分PA，∴PB＝BQ，∴∠QBD＝∠PBD＝30°，∴∠PBQ＝60°，∵∠BQC＝90°，∴∠BCQ+∠PBQ＝90°，∴∠BCQ＝30°，∴BQ＝BC＝3．∴CQ＝＝3；（3）過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，∴△BPQ為等邊三角形，∵QH⊥BP，BP＝x，∴BH＝x，∴CH＝6﹣x，∴QH＝＝x，∵∠CHQ＝90°，CQ＝y(tǒng)，∴+，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝（0＜x＜6）．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?徐匯區(qū)期末）如圖1所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，點(diǎn)D在射線BC上，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑畫弧交AB邊AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交邊AC于點(diǎn)F，射線ED交射線AC于點(diǎn)G．（1）求證：EA＝EG；（2）若點(diǎn)G在線段AC延長線上時(shí)，設(shè)BD＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)DF，當(dāng)△DFG是等腰三角形時(shí)，請直接寫出BD的長度．7．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，點(diǎn)P是邊AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），D是邊AB上的動點(diǎn)，且PA＝PD，ED⊥DP，交邊BC于點(diǎn)E．（1）求證：BE＝DE；（2）若BE＝x，AD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；（3）延長ED交CA的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BP，若△BDP與△DAF全等，求線段PE的長．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PDA＝∠A＝60°，證明∠BDE＝∠B，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EH⊥BD垂足為點(diǎn)H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，得到BD＝6﹣y，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BH＝（6﹣y），根據(jù)勾股定理得到BH＝x，計(jì)算即可；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BD＝3，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∵PA＝PD，∴∠PDA＝∠A＝60°，∵ED⊥DP，∴∠EDP＝90°，∴∠BDE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠BDE＝∠B，∴BE＝DE；（2）解：如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥BD垂足為點(diǎn)H，在Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∵AD＝y(tǒng)，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣y，∵BE＝DE，EH⊥BD，∴BH＝BD＝（6﹣y），在Rt△EHB中，∠B＝30°，∴EH＝BE＝x，根據(jù)勾股定理得，BH＝EH＝x，∴（6﹣y）＝x，∴y＝6﹣x，∵y≥0，∴6﹣x≥0，解得：x≤2，∴y＝6﹣2x（0＜x≤2）；（3）解：∵△BDP≌△DAF，∴AD＝BD＝AB＝3，∴點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，∴PD＝3，在Rt△PDE中，∠DPE＝30°，∴DE＝PE，由勾股定理得：PE2＝DE2+PD2，即PE2＝（PE）2+32，解得：PE＝2，答：線段PE的長為2．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．8．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．（1）如圖1，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，求證：EF＝AB；（2）如圖2，設(shè)CD＝x，CF＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)BE＝BF時(shí)，求線段CD的長．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)求出BC，AD，證明△AED是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出DE＝AD＝，則可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FN⊥AC于N，由直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出結(jié)論；（3）證明△BED≌△BFD（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠EBD＝∠FBD＝∠ABC＝45°，則∠FDB＝45°，設(shè)BF＝DF＝n，求出n的值可得出答案．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，∴AC＝2，BC＝＝，∠A＝60°，∵BD⊥AC，BD⊥EF，∴EF∥AC，∠ABD＝30°，∴∠EFB＝∠C＝30°，∴AD＝＝，∵EF是BD的垂直平分線，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴∠AED＝30°+30°＝60°，∴△AED是等邊三角形，∴DE＝AD＝，∴BE＝DE＝，又∵∠EFB＝30°，∴EF＝2BE＝1，∴AB＝EF；（2）解：如圖，EF過點(diǎn)A，EF是BD的垂直平分線，∴AD＝AB＝1，CD＝x＝1，如圖，EF過點(diǎn)C，∴CD＝CB＝x＝，∴E，F(xiàn)分別在AB，BC上，∴1≤x≤，過點(diǎn)F作FN⊥AC于N，∵CD＝x，CF＝y(tǒng)，則BF＝y(tǒng)，∴FN＝y(tǒng)，CN＝＝，同理FD＝FB＝﹣y，∴DN＝，∵CD＝DN+CN＝x，∴+，∴y＝（1≤x≤）．（3）當(dāng)BE＝BF時(shí)，同理ED＝EB，F(xiàn)B＝FD，∴BE＝ED＝DF＝BF，∵BD＝BD，∴△BED≌△BFD（SSS），∴∠EBD＝∠FBD＝∠ABC＝45°，∴∠FDB＝45°，∴∠BFD＝90°，設(shè)BF＝DF＝n，∴n+n＝，∴n＝，∴CD＝2n＝3﹣．【點(diǎn)評】此題是三角形綜合題，本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的掌握以上知識是解本題的關(guān)鍵．9．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠A＝30°，D是邊AC上不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，M是BD的中點(diǎn)．（1）求證：CM＝EM；（2）如果設(shè)AD＝x，CM＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△CME的面積為5時(shí)，求x的值．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；（2）根據(jù)CM＝BD，可得BD＝2y，根據(jù)勾股定理又可得出BD用x表示的形式，換成等式即可得出y與x的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)（1）可知，∠MBC＝∠MCB，∠MEB＝∠MBE，易得出∠CMD＝2∠CBM，∠DME＝2∠MBE，即∠CME＝2∠CBA是定值，又知CM＝ME，即可證明∠MCE＝∠MEC＝30°，再利用三角形的面積公式求出y，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BD的中點(diǎn)，∴CM＝BD，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°∴ME＝BD，∴CM＝ME；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8．由勾股定理得AC＝12，∵AD＝x，∴CD＝12﹣x，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∴BD2＝BC2+CD2，∴BD＝＝，∵CM＝BD，CM＝y(tǒng)，∴y＝（0＜x＜12）；（3）解：∵M(jìn)是Rt△BCD斜邊BD的中點(diǎn)，∴MB＝MC，∴∠MBC＝∠MCB．∴∠CMD＝∠MBC+∠MCB＝2∠MBC，∵M(jìn)是Rt△BED斜邊BD的中點(diǎn)，同理可得：∠EMD＝2∠MBE，∠CMD+∠EMD＝2∠MBC+2∠MBE＝2（∠MBC+∠MBE）＝2∠ABC，即∠CME＝2∠ABC＝120°，∵M(jìn)C＝ME，∴∠MCE＝∠MEC＝30°，∵×y×y＝5，∴y＝2，∴BD＝2y＝4，∴CD＝＝＝4，∴x＝AD＝AC﹣CD＝12﹣4．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了直角三角形斜邊上的中線，含30°角的直角三角形以及勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半．10．（2020秋?寶山區(qū)校級期末）如圖，已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，P是AB上不與A、B重合的一動點(diǎn)，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R．（1）求證：PQ＝BQ；（2）設(shè)BP的長為x，QR的長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）PR能否平行于BC？如果能，試求出x的值；若不能，請簡述理由．【考點(diǎn)】勾股定理；平行線的性質(zhì)．【專題】動點(diǎn)型．【分析】（1）若證明PQ＝BQ，則問題可轉(zhuǎn)化為證明∠B＝∠BPQ即可，（2）利用勾股定理得到BQ和PQ的長，又因?yàn)锽Q2+PQ2＝BP2，BP＝x，把BQ和PQ代入等式化簡即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，（3）PR能平行于BC，只要證明AP＝AR，即可求出x的值．【解答】（1）證明：∵∠A＝90°，AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝45°，，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠BPQ＝45°，∴∠B＝∠BPQ，∴PQ＝BQ；（2）∵QR⊥AC，∴∠QRC＝90°，∵∠C＝45°，∴∠RQC＝45°，∴∠C＝∠RQC，∴RQ＝RC＝y(tǒng)，∴，∴，∴，∵BQ2+PQ2＝BP2，BP＝x，∴，∴（0＜x＜6）；（3）PR能平行于BC．理由如下：∵PR∥BC，∴∠APR＝∠ARP，∴AP＝AR，∴6﹣x＝6﹣y∴，∴x＝4．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及列函數(shù)關(guān)系式，題目的難度中等．11．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D、E在線段AB上．（1）如圖1，若CD＝CE，求證：AD＝BE；（2）如圖2，若∠DCE＝45°，求證：DE2＝AD2+BE2；（3）如圖3，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，∠BPC＝135°，設(shè)AP＝a、BP＝b、CP＝c，請直接寫出a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，則△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可轉(zhuǎn)化為AD＝BE；（2）將△ACD繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，聯(lián)結(jié)EF，則BF＝AD，證明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再證明∠EBF＝90°，則FE2＝BF2+BE2，即可證得DE2＝AD2+BE2；（3）將△CAP繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG，聯(lián)結(jié)PG，則BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再證明∠BPG＝90°，則BG2＝BP2+PG2，可證得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．【解答】（1）證明：如圖1，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∵CD＝CE，∴∠CEA＝∠CDB，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，∴AE﹣DE＝BD﹣DE，∴AD＝BE．（2）證明：如圖2，將△ACD繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，聯(lián)結(jié)EF，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠CBA＝∠A＝45°，由旋轉(zhuǎn)得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，∵∠DCE＝45°，∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FCE＝∠DCE，∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE（SAS），∴FE＝DE，∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝90°，∴FE2＝BF2+BE2，∵BF＝AD，∴DE2＝AD2+BE2.（3）a2＝b2+2c2，理由如下：如圖3，將△CAP繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG，聯(lián)結(jié)PG，由旋轉(zhuǎn)得GC＝PC，∠PCG＝90°，∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，∵∠BPC＝135°，∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，∴BG2＝BP2+PG2，∵BG＝AP，∴AP2＝BP2+2PC2，∴a2＝b2+2c2．【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線是解題的關(guān)鍵．【課后練習(xí)】1．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6，點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），EF為PB的垂直平分線，交PB于點(diǎn)F，交射線AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)PE、AP．（1）求∠B的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，設(shè)BE＝x，AP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APB為等腰三角形時(shí)，請直接寫出AE的值．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】（1）先根據(jù)勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，再由AC＝BC即可得出答案；（2）作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．由直角三角形30°角所對邊等于斜邊一半知AD＝AB＝3，EF＝BE＝x，求出CP和AD的長，由勾股定理可得出答案；（3）分三種情況畫出圖形，由等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AC＝2，BC＝4，AB＝6，∴AC2+AB2＝48，BC2＝48，∴AC2+AB2＝BC2．∴∠BAC＝90°．又∵AC＝2，BC＝4，∴AC＝BC，∴∠B＝30°．（2）如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．在△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，同理，EF＝BE＝x．在Rt△EFB中，EF2+FB2＝EB2，即（x）2+BF2＝x2，∴BF＝x，又∵BP＝2BF，∴BP＝x．∴CP＝CB﹣PB＝4﹣x，∵CD＝AC＝，∴DP＝4﹣x﹣＝3﹣x，∴AP＝＝＝（0＜x≤4），∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝（0＜x≤4）；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，AP＝PB，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，則BM＝＝3，∴PB＝2，由（2）可知2＝x，∴BE＝2，∴AE＝4；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，且AB＝PB＝6，∴BF＝PB＝3，∴BE＝2，∴AE＝6﹣2；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在射線CB上時(shí)，BA＝BP＝6，同理可求出BE＝2，∴AE＝6+2．綜合以上可得，AE的長為4或6﹣2或6+2．【點(diǎn)評】本題是三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)和分類討論思想的運(yùn)用．2．（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，且有AD＝BD，點(diǎn)E是線段AB上的動點(diǎn)（與A、B不重合），聯(lián)結(jié)DE，設(shè)AE＝x，DE＝y(tǒng)．（1）求∠A的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（無需寫出定義域）；（3）當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A；（2）作DF⊥AB于F，根據(jù)勾股定理求出DF，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）分BE＝BD、BE＝DE兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，∵∠C＝90°，∴∠A＝30°；（2）如圖，作DF⊥AB于F，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，∵DA＝DB，DF⊥AB，∴AF＝AB＝6，∴EF＝|6﹣x|，在Rt△AFD中，∠A＝30°，∴DF＝AF＝2，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2，即y2＝（6﹣x）2+（2）2，解得：y＝；（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，∴AD＝BD＝4，當(dāng)BE＝BD＝4時(shí)，AE＝12﹣4；當(dāng)BE＝DE時(shí)，12﹣x＝，解得：x＝8，即AE＝8，∵點(diǎn)E與A、B不重合，∴DB≠DE，綜上所述：當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，AE的長為12﹣4或8．【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想、勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按圖所示的方法將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊AB上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動點(diǎn)．（1）求折痕AD長．（2）點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時(shí)，設(shè)AP＝x，DP＝y(tǒng)．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．（3）當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求AP的長．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】（1）由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝3，設(shè)CD＝DC′＝x，在Rt△BDC中，根據(jù)BD2＝C′D2+C′B2，構(gòu)建方程即可解決問題．（2）利用勾股定理即可解決問題．（3）分三種情形：①PA＝PD，②AP＝AD，③當(dāng)PD＝AD時(shí)，分別求解即可．【解答】解：（1）如圖1中，由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝3，設(shè)CD＝DC′＝x，在Rt△BDC中，∵BD2＝C′D2+C′B2，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∴AD＝＝＝．（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在C'D左側(cè)，AC＝AC'＝3，則PC'＝3﹣x，∵，∴y＝＝（0≤x≤10）．當(dāng)點(diǎn)P在C'D右側(cè)，同理可得y＝（0≤x≤10）．∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝（0≤x≤10）．（3）如圖3中，①當(dāng)PA＝PD時(shí)，設(shè)PA＝PD＝m，在Rt△PCD中，∵PD2＝DC′2+C′P2，∴m2＝（）2+（3﹣m）2，解得m＝，∴PA＝．②當(dāng)AD＝AP′＝時(shí)，△ADP′是等腰三角形，③當(dāng)PD＝AD時(shí)，點(diǎn)P在AB的延長線上．如圖4，AP＝2AC'＝6．綜上所述，滿足條件的PA的值為或或6．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會由分類討論的思想思考問題．4．（2021秋?浦東新區(qū)期末）如圖，△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6．點(diǎn)P是射線CB上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），EF是線段PB的垂直平分線，交PB與點(diǎn)F，交射線AB與點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)PE、AP．（1）求∠B的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，設(shè)EF＝x，△APE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域；（3）如果EF＝1，請直接寫出△APE的面積．5．（2020秋?靜安區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，AD平分∠CAB交BC于D，E為射線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，EF⊥AD交射線AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF．（1）求DB的長；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，設(shè)AE＝x，S△BDF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（S△BDF表示△BDF的面積）（3）當(dāng)AE為何值時(shí)，△BDF是等腰三角形．（請直接寫出答案，不必寫出過程）【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題．【分析】（1）在Rt△ABC中，求出BC，AB，再在Rt△ACD中，求出CD即可解決問題；（2）如圖1中，作DH⊥AB于H．首先證明AE＝AF＝x，推出BF＝12﹣x，再證明DH＝DC＝2，利用三角形的面積公式即可解決問題；（3）分三種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝12，BC＝AC＝6，∵AD平分∠CAB交BC于D，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴CD＝AC?tan30°＝2，∴BC＝BC﹣CD＝6﹣2＝4．（2）如圖1中，作DH⊥AB于H．∵DA平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DC＝DH＝2，∵EF⊥AD，∴∠AGE＝∠AGF＝90°，∵∠EAG＝∠FAG，∠AEG+∠EAG＝90°，∠AFG+∠FAG＝90°，∴∠AEG＝∠AFG，∴AE＝AF＝x，∴BF＝12﹣x，∴S△BDF＝?BF?DH＝（12﹣x）?2＝﹣x+12（0≤x≤6）．（3）①當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，△BDF是等腰三角形，此時(shí)x＝0，即AE＝0．②如圖2中，當(dāng)BD＝BF時(shí)，∵BD＝4，∴BF＝4，∴AE＝AF＝AB﹣BF＝12﹣4，③如圖2中，當(dāng)BF＝時(shí)，∴AE＝AF′＝AB+BF′＝12+4，④當(dāng)E，F(xiàn)，D共線時(shí)，△BDF是等腰三角形，此時(shí)AE＝8，綜上所述，當(dāng)AE的值為0或8或12﹣4或12+4時(shí)，△BDF是等腰三角形．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．6．（2020秋?閔行區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)D在邊CA的延長線上，點(diǎn)E在邊BC上（不與點(diǎn)C重合），且BE＝AD，聯(lián)結(jié)DE，交邊AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EM平行于CA，交邊AB于點(diǎn)M．（1）如圖1，求證：EN＝DN；（2）如圖2，過點(diǎn)N作NP垂直于DE，交邊AC于點(diǎn)P，設(shè)BE＝x，PC＝y(tǒng)．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（3）在（2）的條件下，當(dāng)CP＝PN時(shí)，求x的值．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】（1）證明△MNE≌△AND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）連接EP，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)求出∠D＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°，∵EM∥BC，∴∠BME＝∠BAC＝45°，∠MEN＝∠ADN，∴BE＝EM，∵BE＝AD，∴EM＝AD，在△MNE和△AND中，，∴△MNE≌△AND（AAS），∴EN＝DN；（2）解：連接EP，∵△MNE≌△AND，∴EN＝ND，∵PN⊥ED，∴EP＝DP，由題意得：EC＝2﹣x，EP＝PD＝2﹣y+x，在Rt△ECP中，EP2＝EC2+CP2，即（2﹣y+x）2＝（2﹣x）2+y2，整理得：y＝（0＜x＜2）；（3）解：∵PC＝PN，PC⊥EC，PN⊥EN，∴∠CEP＝∠DEP，∵PE＝PD，∴∠CDE＝∠DEP，∴∠D＝30°，∴ED＝2EC，∴CD＝EC，2+x＝（2﹣x），解得：x＝4﹣2．【點(diǎn)評】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠B＝60°，∠ACB＝90°，BC＝6，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC上的一個(gè)動點(diǎn)，且BD＝BE，過點(diǎn)D作DG⊥AB交射線BC于點(diǎn)G，交線段AC于點(diǎn)F，設(shè)BD＝x．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時(shí)，求△DCE的面積；（2）如圖2，設(shè)當(dāng)點(diǎn)G在BC的延長線上時(shí)，F(xiàn)C＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的解析式，并寫出定義域；（3）若△DEF為直角三角形，求x的值．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；分類討論；三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BD＝BC＝3，再由勾股定理得CD＝3，然后再證BE＝CE，最后由三角形面積關(guān)系即可