江西省南昌市高三第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

2024年HGT第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘一?單項(xiàng)選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（） A.3B.C.4D.103.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.51B.34C.17D.14.已知，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線在第一象限部分上一點(diǎn)，若，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程為（）A.B.C.D.6.已知，則（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.是奇函數(shù)B.C.在上遞增D.在上遞增8.木桶效應(yīng)，也可稱為短板效應(yīng)，是說(shuō)一只水桶能裝多少水取決于它最短的那塊木板.如果一只桶的木板中有一塊不齊或者某塊木板有破洞，這只桶就無(wú)法盛滿水，此時(shí)我們可以傾斜木桶，設(shè)法讓桶裝水更多.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體容器，在頂點(diǎn)和棱的中點(diǎn)處各有一個(gè)小洞（小洞面積忽略不計(jì)），為了保持平衡，以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)正方體，則用此容器裝水，最多能裝水的體積（）A.4B.C.6D.二?多項(xiàng)選擇題：共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間中兩條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則10.已知圓與直線交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.有最大值2B.無(wú)最小值C.若，則D.若，則11.某環(huán)保局對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲?乙兩個(gè)地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo)，若連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：）不超過(guò)100，則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，否則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).已知甲乙兩地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)特征是：甲地區(qū)平均數(shù)為80，方差為40，乙地區(qū)平均數(shù)為70，方差為90.則下列推斷一定正確的是（）A.甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是75B.甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個(gè)數(shù)據(jù)的方差是65C.甲地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo)D.乙地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo)12.已知直線是曲線上任一點(diǎn)處的切線，直線是曲線上點(diǎn)處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.存在，使得C.若與交于點(diǎn)時(shí)，且三角形為等邊三角形，則D.若與曲線相切，切點(diǎn)為，則三?填空題：共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量滿足，且，則向量夾角的余弦值為__________.14.的展開式中的系數(shù)是__________.15.“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時(shí)為世界第一高摩天輪，成為南昌地標(biāo)建筑之一.已知摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間為30分鐘，甲乙兩人相差10分鐘坐上摩天輪，那么在摩天輪上，他們離地面高度差的絕對(duì)值的取值范圍是__________.16.用平面截圓錐面，可以截出橢圓?雙曲線?拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林用一個(gè)雙球模型給出了證明.如圖1，在一個(gè)圓錐中放入兩個(gè)球，使得它們都與圓錐面相切，一個(gè)平面過(guò)圓錐母線上的點(diǎn)且與兩個(gè)球都相切，切點(diǎn)分別記為.這個(gè)平面截圓錐面得到交線是上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的母線與兩個(gè)球分別相切于點(diǎn)，因此有，而是圖中兩個(gè)圓錐母線長(zhǎng)的差，是一個(gè)定值，因此曲線是一個(gè)橢圓.如圖2，兩個(gè)對(duì)頂圓錐中，各有一個(gè)球，這兩個(gè)球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個(gè)圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個(gè)球相切于兩點(diǎn)，記平面與圓錐側(cè)面相交所得曲線為，則曲線的離心率為__________.四?解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題10分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求的最大值.18.（本小題12分）對(duì)于各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，我們定義：數(shù)列為數(shù)列的“比分?jǐn)?shù)列”.已知數(shù)列滿足，且的“比分?jǐn)?shù)列”與的“2比分?jǐn)?shù)列”是同一個(gè)數(shù)列.（1）若是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若是公差為2的等差數(shù)列，求.19.（本小題12分）如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊，交于點(diǎn).（1）求；（2）求.20.（本小題12分）甲公司現(xiàn)有資金200萬(wàn)元，考慮一項(xiàng)投資計(jì)劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，投資有的收益率，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，投資有的損益率；如果不執(zhí)行該投資計(jì)劃，損失為1萬(wàn)元.現(xiàn)有兩個(gè)方案，方案一：執(zhí)行投資計(jì)劃；方案二：聘請(qǐng)投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，聘請(qǐng)費(fèi)用為5000元，若投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，則執(zhí)行投資計(jì)劃；若投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，則不執(zhí)行該計(jì)劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)不一定正確，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率是0.8；投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率是，經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好的概率是.（1）求投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率；（2）根據(jù)獲得利潤(rùn)的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個(gè)方案？說(shuō)明理由.21.（本小題12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，已知為棱的中點(diǎn)，在底面的投影為線段的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）若，確定點(diǎn)的位置，并求二面角的余弦值.22.（本小題12分）已知橢圓的離心率為，左右兩頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，試探究是否為定值，若為定值，求出定值并說(shuō)明理由.2024年HGT第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見一?單項(xiàng)選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678答案CBCAADBC二?多項(xiàng)選擇題：共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分，題號(hào)9101112答案BCABDACDACD三?填空題：共4小題，每小題5分，共20分.13.14.16015.16.四?解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.【解析】（1），令，得，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.18.【解析】由題意知，（1）因?yàn)?，且是公比?的等比數(shù)列，所以，因?yàn)椋詳?shù)列首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以；（2）因?yàn)?，且是公差?的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?19.【解析】（1）由已知，，，因?yàn)?，所以，所以在中，?）【解法1】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，即，解?【解法2】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，則，所以.20.【解析】（1）記投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好為事件，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好為事件，投資咨詢公司預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好為事件，則，因此；（2）若采取方案一，則該公司獲得的利潤(rùn)值萬(wàn)元的分布列是50200.40.6萬(wàn)元；若采取方案二：設(shè)該公司獲得的利潤(rùn)值為萬(wàn)元，有以下情況，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為不好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為不好，，其發(fā)生的概率為：，因此，隨機(jī)變量的分布列為：20.51.549.50.180.50.32因此，萬(wàn)元，因?yàn)椋约坠緫?yīng)該選擇方案二.21.【解析】（1）設(shè)，則，，且平面平面.（2）平面，且平面，，又，平面，且平面，，又，平面，且平面，.由已知，為等邊三角形，故為中點(diǎn)，在底面上的投影為的中點(diǎn).，以為原點(diǎn)，分別以為軸，以過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)是平面的一個(gè)