2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教B版(2019)選擇性必修第三冊(cè)第五章數(shù)列測(cè)試題

數(shù)列一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d等于()A．－2B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．22．在數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝()A．(2n－1)2B.eq\f(2n－12,3)C．4n－1D.eq\f(4n－1,3)3．?dāng)?shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5＝()A．9B．10C．11D．124．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于()A．－24B．0C．12D．245．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a3＝eq\f(5,2)，且a2＋a4＝eq\f(5,4)，則eq\f(Sn,an)＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－16．已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值是()A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或eq\f(1,2)7．公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，則λ的值為()A．15B．21C．23D．258．等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為()A．6B．7C．8D．99．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)10．一種專門(mén)占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1MB，然后每3秒自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍，那么開(kāi)機(jī)()秒，該病毒占據(jù)內(nèi)存8GB(1GB＝210MB)．()A．13B．12C．36D．3911．?dāng)?shù)列{(－1)n(2n－1)}的前2020項(xiàng)和S2020等于()A．－2018B．2018C．－2020D．202012．若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0.a2018＋a2019＞0，a2018·a2019＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是()A．2018B．2019C．4036D．4037二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1≠0，a2＝3a1，則eq\f(S10,S5)＝________.14．已知1，a1，a2,4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3,4成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a2,b2)的值為_(kāi)_______．15．在14與eq\f(7,8)之間插入n個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列，若各項(xiàng)之和為eq\f(77,8)，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______．16．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，給出下列結(jié)論：①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正確的結(jié)論是________．(填序號(hào))三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，且a2＋a5＝2，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若Sm，a9，a15成等比數(shù)列，求m的值．18．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq\f(1,an－1).(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．19．(本小題滿分12分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．20．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a2＝6,2b1＋a3＝b4，S3＝3a2.(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝ban，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．21．(本小題滿分12分)已知一次函數(shù)f(x)＝x＋8－2n.(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.22．(本小題滿分12分)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n為奇數(shù)，,b\f(n,2)，n為偶數(shù)，))求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．1．解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，則a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－eq\f(1,2).故選B.答案：B2．解析：由題意得，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，則an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1(n≥2)，n＝1時(shí)也成立，所以an＝2n－1，則aeq\o\al(2,n)＝22n－2，所以數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1×1－4n,1－4)＝eq\f(4n－1,3)，故選D.答案：D3．解析：由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12，故選D.答案：D4．解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比數(shù)列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比數(shù)列的前三項(xiàng)為－3，－6，－12.故第四項(xiàng)為－24，選A.答案：A5．解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝\f(5,2),a1q1＋q2＝\f(5,4)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2,q＝\f(1,2)))，∴eq\f(Sn,an)＝eq\f(\f(a11－qn,1－q),a1qn－1)＝eq\f(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2)),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1)＝2n－1.故選D.答案：D6．解析：當(dāng)q＝1時(shí)，a3＝7，S3＝21，符合題意；當(dāng)q≠1時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，,\f(a11－q3,1－q)＝21，))得q＝－eq\f(1,2).綜上，q的值是1或－eq\f(1,2)，故選C.答案：C7．解析：由題意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d.∴λ＝eq\f(S10,a4)＝eq\f(10a1＋\f(10×9,2)d,a1＋3d)＝eq\f(10×－2d＋45d,－2d＋3d)＝25，故選D.答案：D8．解析：∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11.∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…∴使Sn取最小值的n的值為8.故選C.答案：C9．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝eq\f(8,3)·9n－1，所以3＋r＝eq\f(8,3)，即r＝－eq\f(1,3)，故選B.答案：B10．解析：由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，則2n＝8×210＝213，∴n＝13.即病毒共復(fù)制了13次．∴所需時(shí)間為13×3＝39(秒)．答案：D11．解析：S2020＝－1＋3－5＋7＋…－(2019×2－1)＋(2020×2－1)＝2＋2＋…＋eq\o(2,\s\do4(1010個(gè)2相加))＝2020.故選D.答案：D12．解析：{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0.a2018＋a2019＞0，a2018·a2019＜0，所以{an}是遞減的等差數(shù)列，且a2018＞0，a2019＜0，因?yàn)閍2018＋a2019＝a1＋a4036＞0，2a2019＝a1＋a4037＜0，∴S4036＝eq\f(a1＋a4036,2)×4036＞0，S4037＝eq\f(a1＋a4037,2)×4037＜0，所以使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4036.故選C.答案：C13．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得2a1＝d，所以eq\f(S10,S5)＝eq\f(10a1＋\f(10×9,2)d,5a1＋\f(5×4,2)d)＝eq\f(100a1,25a1)＝4.答案：414．解析：由題意得a1＋a2＝5，beq\o\al(2,2)＝4，又b2與第一項(xiàng)的符號(hào)相同，所以b2＝2.所以eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)15．解析：設(shè)此等比數(shù)列為{am}，公比為q，則該數(shù)列共有n＋2項(xiàng)．∵14≠eq\f(7,8)，∴q≠1.由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得eq\f(77,8)＝eq\f(14－\f(7,8)q,1－q)，解得q＝－eq\f(1,2)，∴an＋2＝14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋2－1＝eq\f(7,8)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋1＝eq\f(1,16)，解得n＝3，∴該數(shù)列共有5項(xiàng)．答案：516．解析：a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，所以a1＝－9d，a10＝a1＋9d＝0，故①正確；由于d的符號(hào)未知，所以S10不一定最小，故②錯(cuò)誤；S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，所以S7＝S12，故③正確；S20＝20a1＋190d＝10d，不一定為0，故④錯(cuò)誤．所以正確的是①③.答案：①③17．解析：(1)因?yàn)閍5＋a2＝2，d＝2所以2a1＋5d＝2a1＋10＝2，所以a1＝－4所以an＝2n－6(2)Sm＝eq\f(a1＋amm,2)＝m2－5m又a9＝12，a15＝24因?yàn)镾m，a9，a15是等比數(shù)列，所以(a9)2＝Sma15，所以m2－5m－6＝0解得m＝6，m＝－1因?yàn)閙∈N*，所以m＝6.18．解析：(1)證明：∵eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－an＋1,an＋1－1an－1)＝eq\f(1,3)，∴bn＋1－bn＝eq\f(1,3)，∴{bn}是等差數(shù)列．(2)由(1)及b1＝eq\f(1,a1－1)＝eq\f(1,2－1)＝1.知bn＝eq\f(1,3)n＋eq\f(2,3)，∴an－1＝eq\f(3,n＋2)，∴an＝eq\f(n＋5,n＋2).19．解析：(1)設(shè){an}的公差為d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝eq\f(nn－9d,2).由a1>0知d<0，故Sn≥an等價(jià)于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10，n∈N*}．20．解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d.由a1＋a2＝6，得a1＋a1q＝6.因?yàn)閍1＝2，所以q＝2.所以an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b1＋a3＝b4，,S3＝3a2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b1＋8＝b1＋3d，,3b1＋3d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝1，,d＝3.))所以bn＝b1＋(n－1)d＝3n－2.(2)由(1)知an＝2n，bn＝3n－2.所以cn＝ban＝3×2n－2.從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n)－2n＝3×eq\f(2×1－2n,1－2)－2n＝6×2n－2n－6.21．解析：(1)證明：由題意得an＝8－2n，因?yàn)閍n＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為6，公差為－2的等差數(shù)列．(2)由題意得bn＝|8－2n|.由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，可知此數(shù)列前4項(xiàng)是首項(xiàng)為6，公差為－2的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起，是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．所以當(dāng)n≤4時(shí)，Sn＝6n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋7n，當(dāng)n≥5時(shí)，Sn＝S4＋(n－4)×2＋eq\f(n－5n－4,2)×2＝n2－7n＋24.故Sn＝eq