黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知為整數(shù)集，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?故選：D．2.若，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗，.故選：A．3.樣本數(shù)據(jù)16，20，21，24，22，14，18，28的分位數(shù)為（）A.16 B.17 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗由小到大排列為14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8個(gè)數(shù)據(jù)，，所以分位數(shù)為.故選：C．4.在中，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理可得，，又，所以，不妨設(shè)，所以由余弦定理得．故選：D．5.是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子結(jié)構(gòu)由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成．如圖，將足球烯上的一個(gè)正六邊形和相鄰正五邊形展開放平，若正多邊形的邊長為1，為正多邊形的頂點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗如圖所示，連接，，由對(duì)稱性可知，，取的中點(diǎn)，則，，又因?yàn)檎呅蔚倪呴L為1，所以，所以，故選：B．6.早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，（）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：D．7.已知函數(shù)的最小值為，則的最小值為（）A B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，故選：B．8.數(shù)列滿足，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，，所以，同理可得，，．，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，故選：A．二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)B.曲線的對(duì)稱中心為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上有一條對(duì)稱軸〖答案〗BD〖解析〗由題意可得：，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：令，解得，所以曲線的對(duì)稱中心為，，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，即在?nèi)不是單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，且在內(nèi)有且僅有一條對(duì)稱軸，所以在區(qū)間上有且僅有一條對(duì)稱軸，故D選項(xiàng)正確；故選：BD．10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)在直線上，且交于兩點(diǎn)，為上異于的一點(diǎn)，則（）A. B.C. D.有且僅有3個(gè)點(diǎn)，使得的面積為〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線上，故代入得，所以，A選項(xiàng)正確；設(shè)，將拋物線與直線聯(lián)立，得，即.所以由韋達(dá)定理得，，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由直線的斜率為，知其傾斜角為，故，所以，C選項(xiàng)正確；設(shè)的坐標(biāo)為，到直線的距離為，則的面積.從而的面積為當(dāng)且僅當(dāng).另一方面，直線的方程是，由點(diǎn)到直線的距離公式，知到直線的距離.所以當(dāng)且僅當(dāng)，即.而我們有.故滿足條件恰有三個(gè)：.所以有且僅有3個(gè)點(diǎn)，使得的面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，，，，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.〖答案〗ABD〖解析〗函數(shù)，對(duì)任意，，對(duì)于A，令，得，而，則，A正確；對(duì)于B，令，得，則，兩邊求導(dǎo)得，，即，因此關(guān)于對(duì)稱，，B正確；對(duì)于C，由，得，令，得，兩邊求導(dǎo)得，即，因此，函數(shù)是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，則，因此函數(shù)的周期為4，，D正確.故選：ABD.三、填空題12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為圓上一點(diǎn)且在第一象限，，則直線的方程為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，作圖如下：易知點(diǎn)在圓上，由可知，，所以，又因?yàn)?，所以，則直線斜率，故直線的方程為．故〖答案〗為：.13.某工廠為學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)定制獎(jiǎng)杯，獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示，已知獎(jiǎng)杯的底座是由金屬片圍成的空心圓臺(tái)，圓臺(tái)上下底面半徑分別為1，2，將一個(gè)表面積為的水晶球放置于圓臺(tái)底座上，即得該獎(jiǎng)杯，已知空心圓臺(tái)（厚度不計(jì)）圍成的體積為，則該獎(jiǎng)杯的高（即水晶球最高點(diǎn)到圓臺(tái)下底面的距離）為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)水晶球的半徑為，則，解得，設(shè)圓臺(tái)的高為，則，解得，又因?yàn)樗蚯蛐牡綀A臺(tái)上底面的距離，所以該獎(jiǎng)杯的高為．故〖答案〗為：.14.設(shè)為雙曲線的一個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，為的漸近線上的兩點(diǎn)，滿足，，則的漸近線方程是______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，作圖如下：依題意，為的角平分線，且，設(shè)，由角平分線定理可得：，則；在中，由余弦定理；中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的漸近線方程是．故〖答案〗為：.四、解答題15.已知不透明的袋子中裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中2個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中無放回地隨機(jī)取球，每次取一個(gè)．（1）求前兩次取出的球顏色不同的概率；（2）當(dāng)白球被全部取出時(shí)，停止取球，記取球次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件為“前兩次取出的球顏色不同”．設(shè)事件為“第一次取出了黑球，第二次取出了白球”，則，事件為“第一次取出了白球，第二次取出了黑球”，則，因?yàn)槭录c不能同時(shí)發(fā)生，故它們互斥．所以，所以前兩次取出的球顏色不同的概率為；（2）依題意，的取值為2，3，4，5，6，若第二次取出了全部白球，則只有兩種取法（取決于2個(gè)白球取出的先后順序），故，若第三次取出了最后一個(gè)白球，則最后取出的白球有2種可能，另一個(gè)白球的位置有2種可能，取出的那個(gè)黑球有4種可能，故．若第四次取出了最后一個(gè)白球，則最后取出的白球有2種可能，另一個(gè)白球的位置有3種可能，取出的另外2個(gè)黑球有種組合，它們又有2種排列方式，故，若第五次取出了最后一個(gè)白球，則最后取出的白球有2種可能，另一個(gè)白球的位置有4種可能，取出的另外3個(gè)黑球有種組合，它們又有種排列方式，故，若第六次取出了最后一個(gè)白球，則最后取出的白球有2種可能，另一個(gè)白球的位置有5種可能，取出的另外4個(gè)黑球只有1種組合，它們有種排列方式，故．所以的分布列為23456所以數(shù)學(xué)期望．16.如圖，在四棱錐中，平面，，，是等邊三角形，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由于是等邊三角形，為的中點(diǎn)．故是等邊的中線，所以，又因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，由于和在平面內(nèi)，且交于點(diǎn)，，，所以平面；（2）解：取的中點(diǎn)，連接，則由是的中點(diǎn)，知是三角形的中位線，故平行于.因?yàn)槠矫妫叫杏?，所以垂直于平面，即三線兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則由，，，，，知，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故．顯然平面的一個(gè)法向量為.而，故平面與平面夾角的余弦值為．17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列的和項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中，將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，符合，所以；（2）依題意，，，，?．所以，即，①則，②由①②可得，，所以．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，又，所以，即，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）證明：設(shè)（），則，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，恒成立，由可知，所以（），設(shè)（），則，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，，所以．19.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過且斜率為的直線交軸于點(diǎn)，交的另一點(diǎn)為．（