專題7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（3類必考點）（人教A版選擇性）

專題7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列TOC\o"13"\h\z\t"正文,1"【基礎(chǔ)知識梳理】 1【考點1：隨機(jī)變量】 2【考點2：求簡單隨機(jī)變量的分布列】 5【考點3：隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)】 11【基礎(chǔ)知識梳理】1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)(1)概念：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．有時也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1.3．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用：(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．[方法技巧]求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確．【考點1：隨機(jī)變量】【知識點：隨機(jī)變量】1．（2024高二上·全國·課時練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）（1）隨機(jī)變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．()（2）在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量．()（3）隨機(jī)變量是用來表示不同試驗結(jié)果的量．()（4）甲進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3.()【答案】正確正確正確錯誤【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的概念，以及隨機(jī)變量的含義，逐個判定，即可求解.【詳解】對于（1）中，根據(jù)隨機(jī)變量的概念，可得隨機(jī)變量的取值可以是有限個，也可以是無限個，所以（1）正確；對于（2）中，根據(jù)隨機(jī)變量的定義，可得在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量，所以（2）正確；對于（3）中，根據(jù)隨機(jī)變量的定義知，隨機(jī)變量是用來表示不同試驗結(jié)果的量，所以（3）正確；對于（4）中，甲進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，3，所以（4）錯誤.故答案為：（1）正確；（2）正確；（3）正確；（4）錯誤.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）袋中有2個黑球、5個紅球，從中任取2個，可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到的球的個數(shù) B．取到紅球的個數(shù)C．至少取到一個紅球 D．至少取到一個紅球的概率【答案】B【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的定義判斷.【詳解】選項A的取值是一個固定的數(shù)字，不具有隨機(jī)性，故A錯誤；選項B取到紅球的個數(shù)是一個隨機(jī)變量，它的可能取值是0，1，2，故B正確；選項C是一個事件而非隨機(jī)變量，故C錯誤；選項D中一個事件的概率值是一個定值而非隨機(jī)變量，故D錯誤．故選：B.3．（2024高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和記為，那么表示的隨機(jī)試驗結(jié)果是（

）A．2枚都是4點B．1枚是1點，另1枚是3點C．2枚都是2點D．1枚是1點，另1枚是3點，或者2枚都是2點【答案】D【分析】由隨機(jī)變量的意義可解.【詳解】A表示的是隨機(jī)試驗中的其中一個結(jié)果，B，C中表示的是隨機(jī)試驗中的部分結(jié)果，而D是代表隨機(jī)試驗中的所有試驗結(jié)果.故選：D.4．（2024高二·全國·課后作業(yè)）某袋中裝有大小相同的10個紅球，5個黑球．每次隨機(jī)抽取1個球，若取到黑球，則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止，若抽取的次數(shù)為X，則表示“放回5個球”的事件為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意理解取球次數(shù)，即可求解.【詳解】第一次取到黑球，則放回1個球；第二次取到黑球，則放回2個球……共放了五回，第六次取到了紅球，試驗終止，故.故選：C5．（2324高二下·河南周口·期中）下面給出四個隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個沿軸進(jìn)行隨機(jī)運動的質(zhì)點，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報警次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義判斷即可.【詳解】對于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機(jī)變量；對于②，沿軸進(jìn)行隨機(jī)運動的質(zhì)點，質(zhì)點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機(jī)變量；對于③，一天內(nèi)接到的報警次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機(jī)變量；對于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．故選：B．6．（多選）（2324高二下·陜西西安·階段練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，則表示的可能結(jié)果為（

）A．甲贏三局 B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次 D．甲贏一局【答案】BC【分析】根據(jù)可得答案.【詳解】由已知得故表示的可能結(jié)果為甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.故選：BC.7．（2024高二·全國·課堂例題）先后拋兩枚均勻的硬幣，設(shè)正面朝上的硬幣數(shù)為X，樣本空間為．(1)借助合適的符號，用列舉法寫出樣本空間；(2)求出隨機(jī)變量X的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)生活經(jīng)驗列舉可能結(jié)果即可；（2）由可能出現(xiàn)的結(jié)果直接寫出隨機(jī)變量的取值即可.【詳解】（1）用分別表示硬幣反面朝上和正面朝上，則樣本空間；（2）因為有可能沒有硬幣正面朝上，也有可能恰有一個硬幣正面朝上，還有可能兩個硬幣都正面朝上，因此X的取值范圍是．8．（2024高二·全國·課堂例題）下列變量中哪些是隨機(jī)變量？如果是隨機(jī)變量，那么可能的取值有哪些？(1)一個實驗箱中裝有標(biāo)號為1，2，3，3，4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標(biāo)號為X；(2)明天的降雨量L（單位：mm）；(3)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面向上的次數(shù)X．【答案】(1)X是隨機(jī)變量，(2)L是隨機(jī)變量，(3)X是隨機(jī)變量，【分析】（1）（2）（3）根據(jù)隨機(jī)變量的定義判斷各試驗研究對象是否為隨機(jī)變量，結(jié)合試驗情況確定可能取值.【詳解】（1）根據(jù)條件知，X是隨機(jī)變量，可能的取值共有4種，它的取值集合是．（2）降雨量具有一定的隨機(jī)性，所以L是隨機(jī)變量，可能的取值有無數(shù)多個，它可以取中的某個數(shù)．（3）設(shè)H代表正面向上，T代表反面向上，則該問題的樣本空間為．出現(xiàn)H的次數(shù)分別有2，1，0種，故正面向上的次數(shù)X是隨機(jī)變量，其取值集合是．【考點2：求簡單隨機(jī)變量的分布列】【知識點：求簡單隨機(jī)變量的分布列】1．（2324高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點朝上的骰子的個數(shù)為，則的分布列為（

）A．X12PB．X01PC．

X012PD．

X012P【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列，即可寫出答案.【詳解】因為每枚骰子偶數(shù)點朝上的概率為，且相互獨立，的取值可能為0，1，2.，，，所以的分布列為：XP故選：C.2．（2024·全國·高考模擬）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有個紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為：．012【答案】見解析【分析】離散型隨機(jī)變量的分布列根據(jù)等可能事件的概率計算即可.【詳解】根據(jù)題意由等可能事件的概率計算公式可知：，故答案為：0123．（2024高二·湖南·課后作業(yè)）將10個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，其中6個白球，4個紅球．現(xiàn)從袋中任取一個球，用X表示“取到白球”，即求隨機(jī)變量X的概率分布．【答案】01【分析】根據(jù)題意分別求出對應(yīng)隨機(jī)變量的概率，再寫出分布列即可.【詳解】解：由題意可知，，，故分布列如下：014．（2024高二·江蘇·課時練習(xí)）一種新型節(jié)能燈使用壽命低于1000h的概率為0.1，定義隨機(jī)變量，試寫出隨機(jī)變量X的概率分布列．【答案】分布列見解析【分析】根據(jù)已知條件求得的概率分布列.【詳解】依題意可知，的概率分布列為：5．（2024高二·全國·課時練習(xí)）某商店購進(jìn)一批西瓜，預(yù)計晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會虧損500元，根據(jù)天氣預(yù)報，未來數(shù)日晴天的概率為0.4，陰天的概率為0.2，下雨的概率為0.4，試寫出銷售這批西瓜獲利的分布列．【答案】答案見解析．【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)列表格．【詳解】用表示獲利，則的取值分別是1000，500，－500，分布列如下表：1000500－5000.40.20.46．（2024高二·全國·課堂例題）全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績，求隨機(jī)變量X的分布列．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)古典概率公式求，然后可得分布列.【詳解】解：由題意可得，，，，，．因此，隨機(jī)變量X的分布列是X012345P00.0250.0750.30.50.17．（2024高二上·全國·課時練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P0.20.10.10.3m求隨機(jī)變量的分布列．【答案】答案見詳解【分析】由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)，可得，再由的對應(yīng)關(guān)系可得解.【詳解】由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)，可得，依題意知，η的值為0，1，4，9，16.列表為：X01234014916從而的分布列為：η014916P0.20.10.10.30.38．（2024高二·湖南·課后作業(yè)）將個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號.現(xiàn)從中任取個球，以表示取出球的最大號碼.(1)求的分布列；(2)求的概率.【答案】(1)分布列見解析(2)【分析】（1）由已知判斷隨機(jī)變量的所有取值，并分別判斷其概率，可得分布列；（2）由（1）的分布列可得概率.【詳解】（1）由已知可得隨機(jī)變量的可能取值有：，，，，所以，，，，所以分布列為（2）由（1）得.9．（2024高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.20.10.10.30.3（1）求的分布列；（2）求的分布列．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．【分析】（1）由題設(shè)的取值寫出的可能取值，根據(jù)的分布列寫出的分布列；（2）由題設(shè)的取值寫出的可能取值，根據(jù)的分布列寫出的分布列；【詳解】【解】（1）由題意，知的可能取值為2，5，8，11，14，∴的分布列為25811140.20.10.10.30.3（2）由題意，知的可能取值為0，1，2，3，∴的分布列為01230.10.30.30.310．（2324高二下·廣東東莞·期中）一個袋中裝有5個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個，白球有3個，從中任意取出3個球.(1)求取出的3個球恰有一個紅球的概率；(2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析.【分析】設(shè)出事件，利用超幾何分布求概率公式進(jìn)行求解；（2）寫出隨機(jī)變量X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列.【詳解】（1）設(shè)取出的3個球恰有一個紅球為事件A，則（2）隨機(jī)變量X可能取值為0,1,2,，，，故X的分布列為：X012P【考點3：隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)】【知識點：隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)】1．（2024高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）隨機(jī)變量的分布列如表格所示，其中，則等于（

）01A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和分布列性質(zhì)列方程組求解可得.【詳解】由題知，，得，即.故選：A2．（2024高二下·江西宜春·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：若離散型隨機(jī)變量，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【答案】A【分析】由分布列中各概率之和為1求得參數(shù)，進(jìn)一步將所求變形為即可求解.【詳解】由題意，解得，而.故選：A.3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）下列表格可以作為ξ的分布列的是（

）A．013Pa1－aB．123P1C．45P01D．－112P2a【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及各概率之和等于1即可求出正確結(jié)果．【詳解】對于A，各概率之和為，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，滿足以及各概率之和等于1，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：C．4．（2324高二上·山東德州·期末）離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y（x，）代替，分布列如下：1234560.210.200.100.10則（

）A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65【答案】B【分析】先根據(jù)概率之和為1求出，從而求解概率即可.【詳解】由題意得，化簡得，又且，所以，所以.故選：B5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：123m則．【答案】/【分析】根據(jù)題意知，求出，然后可求解.【詳解】由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以.故答案為:.6．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則m的值為.0123【答案】/【分析】利用分布列的性質(zhì)，解關(guān)于m的方程，再驗證作答．【詳解】依題意，，整理得，解得或，當(dāng)時，，，不符合題意，當(dāng)時，，，，，符合題意，所以m的值為.故答案為：.7．（2324高二上·吉林·期末）隨機(jī)變量的分布列如下表所示：12340.10.3則.【答案】0