【廈大習(xí)題集】高等數(shù)學(xué)習(xí)題及詳細解答3

1．應(yīng)用格林公式計算下列積分：(1)，其中L為三頂點分別為(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向邊界；(2)，其中L為正向星形線；(3)，其中L為拋物線2x=πy2上由點(0,0)到(,1)的一段??；(4)，L是圓周上由點(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)，其中m為常數(shù)，L為由點(a,0)到(0,0)經(jīng)過圓x2+y2=ax上半部分的路線（a為正數(shù)）．圖11-4解(1)L所圍區(qū)域D如圖11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，，，由格林公式得(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，則， ．從而，由格林公式得．(3)如圖11-5所示，記，，圍成的區(qū)域為D．（其中=-L）圖11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2，由格林公式有：故(4)L、AB、BO及D如圖11-6所示．圖11-6由格林公式有而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．，，即，于是從而(5)L，OA如圖11-7所示．圖11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，，由格林公式得：于是：2．利用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：(1)星形線x=acos3t，y=asin3t；(2)雙紐線r2=a2cos2θ；(3)圓x2+y2=2ax．解(1)(2)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系x=rcosθ，y=rsinθ得，從而xdy-ydx=a2cos2θdθ．于是面積為：(3)圓x2+y2=2ax的參數(shù)方程為故3．證明下列曲線積分與路徑無關(guān)，并計算積分值：(1)；(2)；(3)沿在右半平面的路徑；(4)沿不通過原點的路徑；證(1)P=x-y，Q=y-x．顯然P，Q在xOy面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，故積分與路徑無關(guān)．取L為從(0,0)到(1,1)的直線段，則L的方程為：y=x，x：0→1．于是(2)P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2．顯然P，Q在xOy面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，有，所以積分與路徑無關(guān)．取L為從(1,2)→(1,4)→(3,4)的折線，則(3)，，P，Q在右半平面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，在右半平面內(nèi)恒有，故在右半平面內(nèi)積分與路徑無關(guān)．取L為從(1,1)到(1,2)的直線段，則(4)，，且在除原點外恒成立，故曲線積分在不含原點的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，取L為從(1,0)→(6,0)→(6,8)的折線，則4．驗證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個xOy面內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分，并求這樣的一個函數(shù)u(x,y)：(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy；(2)2xydx+x2dy；(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy；(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy．證(1)P=x+2y，Q=2x+y．，所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某個定義在整個xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分．(2)P=2xy,Q=x2,，故2xydx+x2dy是某個定義在整個xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分．(3)P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey，，故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某個定義在整個xOy面內(nèi)函數(shù)u(x,y)的全微分，(4)P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x2siny，，，有，故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一個定義在整個xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分，5．證明：在整個xOy平面內(nèi)除y的負半軸及原點外的開區(qū)域G內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個二元函數(shù)．證，，顯然G是單連通的，P和Q在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且．，(x,y)∈G因此在開區(qū)域G內(nèi)是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分．由知．6．設(shè)在半平面x>0中有力構(gòu)成力場，其中k為常數(shù)，，證明：在此力場中場力所做的功與所取的路徑無關(guān)．證場力沿路徑L所作的功為．其中，，則P、Q在單連通區(qū)域x>0內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且因此以上積分與路徑無關(guān)，即力場中場力所做的功與路徑無關(guān)．

習(xí)題9.41．當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時,曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?答當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時，在面上的投影就是，于是有．2．設(shè)光滑物質(zhì)曲面的面密度為，試用第一型曲面積分表示這個曲面對于三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量，和.解在曲面上點處取一微小面積（面積元素），它可看作是面密度為的質(zhì)點，其質(zhì)量為，它對于軸的轉(zhuǎn)動慣量為.于是整個曲面對軸的轉(zhuǎn)動慣量為.同理可知曲面對軸和軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為，．3．計算曲面積分，其中是錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面；解錐面與平面的交線為，即錐面在面上的投影區(qū)域為圓域．而，，，因此．4.求曲面積分，其中是拋物面在面上方的部分：,；解拋物面在面上方的部分在面上的投影為圓域,,故.5.計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解的方程為在面上的投影區(qū)域又利用極坐標(biāo)故有6.設(shè)有一顆地球同步軌道衛(wèi)星,距地面的高度為km，運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑km).解取地心為坐標(biāo)原點，地心到通訊衛(wèi)星重心的連線為軸，建立如圖坐標(biāo)系.衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面倍半頂角為的圓錐面所截得的部分.的方程為它在面上的投影區(qū)域于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為將代入上式得由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為由以上結(jié)果可知，衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積，故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面.

習(xí)題9.51按對坐標(biāo)的曲面積分的定義證明公式解證明把分成n塊小曲面Si(Si同時又表示第i塊小曲面的面積)Si在yOz面上的投影為(Si)yz(iii)是Si上任意取定的一點是各小塊曲面的直徑的最大值則2.計算其中是球面外側(cè)在的部分.解把分成和兩部分利用極坐標(biāo)3.計算，其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第Ⅰ封限內(nèi)的部分的前側(cè).解Σ如圖所示，Σ在xOy面的投影為一段弧，故，Σ在yOz面上的投影Dyz={(y,z)|0≤y≤1，0≤z≤3}，此時Σ可表示為：，(y,z)∈Dyz，故Σ在xOz面上的投影為Dxz={(x,z)|0≤x≤1，0≤z≤3}，此時Σ可表示為：，(x,z)∈Dxz，故4.，其中f(x,y,z)為連續(xù)函數(shù)，Σ是平面x-y+z=1在第Ⅳ封限部分的上側(cè).解Σ如圖所示，平面x-y+z=1上側(cè)的法向量為n={1,-1,1}，n的方向余弦為，，，由兩類曲面積分之間的聯(lián)系可得：

習(xí)題9-61．利用高斯公式，計算下列曲面積分：(1)，其中是三個坐標(biāo)面與平面所圍成的四面體的外側(cè)表面．(2)，其中Σ為球面x2+y2+z2=a2的外側(cè)；(3)，其中Σ為上半球體x2+y2≤a2，的表面外側(cè)；（6）計算其中為錐面,為此曲面外法線向量的方向余弦.解：（1）因為，，在內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，的邊界曲面.為外側(cè)，且．所以，由高斯公式得．(2)由高斯公式：(3)由高斯公式得（4）補充平面取的上側(cè)，則構(gòu)成封閉曲面，設(shè)其所圍成空間區(qū)域為于是而故2.利用斯托克斯公式，計算下列曲線積分：(1)，其中Γ是圓周x2+y2=2z，z=2，若從z軸正向看去，這圓周是取逆時針方向.(2)，其中Γ為圓周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若從x軸的正向看去，這圓周是取逆時針的方向.(3)，其中Γ是用平面截立方體：0≤