專題11 勾股定理及其逆定理（講義）（解析版）

專題11勾股定理及其逆定理核心知識點精講1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題；4.加強知識間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問題．以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系．【知識網(wǎng)絡(luò)】考點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）【要點詮釋】勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：①圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊,在中，，則，，；②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；③可運用勾股定理解決一些實際問題.考點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.【要點詮釋】①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀；②定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊；③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形.3.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)；②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等；③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）.考點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【題型1：勾股定理在圖形翻折中的應(yīng)用】【典例1】如圖，將長方形紙片折疊，使邊落在對角線上，折痕為，且D點落在對角線上處，若，則的長為（）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】本題考查矩形的折疊，勾股定理，熟練掌握運用勾股定理解決長方形的折疊是解題的關(guān)鍵．首先利用勾股定理計算出的長，再根據(jù)折疊可得，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理可得方程，再解方程即可．【詳解】∵，∴，∴根據(jù)勾股定理得，根據(jù)折疊可得：，∴，設(shè)，則，在中：，即，解得：，故答案為：B．1．如圖，中，，，，將沿翻折，使點與點重合，則的長為（

）A． B． C．3.5 D．4【答案】B【分析】此題考查了勾股定理與折疊問題，設(shè)，則，根據(jù)折疊得到，由勾股定理列得，代入數(shù)據(jù)得到方程求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)，則，由折疊得，∵，∴，∴，解得，故選：B．2．如圖，將長方形沿對角線對折，使點落在點處，交于，，，則重疊部分（即）的面積為（

）A．24 B．30 C．40 D．80【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理與折疊問題，平行線的性質(zhì)，等角對等邊性質(zhì)，由折疊結(jié)合矩形的性質(zhì)先證明，設(shè)，則，再利用勾股定理求解，從而可得的面積．掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：長方形，，，由對折可得：設(shè)，則，∵∴．故選：C．3．如圖，將長方形紙片的邊沿折痕折疊，使點落在上的點處，若，則的長為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，長方形的性質(zhì)，先由長方形的性質(zhì)得到，再由折疊的性質(zhì)得到，利用勾股定理求出，則，設(shè)，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：由長方形的性質(zhì)可得，由折疊的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故選B．4．如圖長方形中，，，點為邊上一點，將沿翻折后，點恰好落在邊上的點處，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)及勾股定理，設(shè)，則，由折疊性質(zhì)可知，，，求出，，在中，，即，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，由折疊性質(zhì)可知，，，在中，，，，，在中，，即，解得．故選：C．【題型2：勾股定理及其逆定理在求圖形面積中的應(yīng)用】【典例2】有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A． B． C．2023 D．2024【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理在幾何圖形中的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是，推而廣之即可求出“生長”2023次后形成圖形中所有正方形的面積之和．能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到新正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=1∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2024，故選：D．1．如圖，這是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是（

）

A．169 B．144 C．30 D．25【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理，在由勾股定理得到，由題意得，，則，在中，根據(jù)勾股定理得出：，則陰影部分面積．【詳解】解：如圖所示：

在中，根據(jù)勾股定理得出：，由題意得，，，在中，根據(jù)勾股定理得出：，陰影部分面積．故選：D．2．如圖、在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側(cè)作正方形、面積分別記為，，.若．則圖中陰影部分的面積為（

）A．6 B． C．5 D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是由勾股定理得出是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得出，再根據(jù)可得出的值，即可求解．【詳解】解：由勾股定理得：，即，，，由圖形可知，陰影部分的面積為，陰影部分的面積為，故選：B．3．李伯伯家有一塊四邊形田地，其中，，，，，則這塊地的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理和三角形面積的應(yīng)用，連接，運用勾股定理逆定理可證為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積和．【詳解】解：連接，則在中，

，，在中，，，，，（平方米），故答案為：C．4．如圖，四邊形中，E為中點，于點E，，，，，則四邊形的面積為（）

A． B． C． D．無法求解【答案】C【分析】連接，先求出的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進而利用三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：連接，

為的中點，，是的垂直平分線，，，，，，，，，是直角三角形，，∴四邊形的面積，故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形．【題型3：勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用】【典例3】暑假中，小明和同學(xué)們到某海島去探寶旅游，按照如圖所示的路線探寶，他們登陸后先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東一拐，僅走1km就找到了寶藏，則登陸點到埋寶藏點的直線距離為_________km．【答案】10【詳解】試題分析：過埋寶藏點作垂線，然后根據(jù)勾股定理求出直線距離.考點：勾股定理1．兩個大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放．將兩個三角板抽象成如圖②所示的△和△，點B、C、D依次在同一條直線上，連接．若，,則點A到直線的距離為______．

【答案】【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，，，進而可得出，據(jù)此可依據(jù)“”判定和全等，從而得出，進而得，然后過點A作于點H，在中，利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：∵和均為等邊三角形，∴，∴，∴，即：，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，過點A作，垂足為H，

∵是等邊三角形，∴，，在中，，由勾股定理得：．∴點A到直線的距離為．故答案為：．2．如圖，已知，，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（），當點D恰好落在的邊上時，的長為．【答案】3或或【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)及直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．先利用直角三角形的性質(zhì)求出和的長，再求出斜邊上的高的長，當點D落在邊上時，；當點D落在邊上時，可得點D與點H重合，利用勾股定理求得的長；當點D落在邊上時，直接利用勾股定理求得的長，由此即得答案．【詳解】作斜邊上的高，，，，，，，，，，當點D落在邊上時，如圖1，；當點D落在邊上時，如圖2，點D與點H重合，；當點D落在邊上時，如圖3，；綜上所述，的長為3或或．3．在中，，，．以為底在內(nèi)部作等腰，連接，若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)；過點D作，垂足分別為E，F(xiàn)；由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理求得的長，再證明，可得的長，再由勾股定理即可求得長．【詳解】解：如圖，過點D作，垂足分別為E，F(xiàn)，則；∵是等腰三角形，∴；由勾股定理得；∵，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，由勾股定理得．故答案為：．4．如圖，在中，，，點是邊上的點，將沿折疊得到，點是點的對稱點．若為，則的長是．【答案】2或4/4或2【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．先求得，分兩種情況討論，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：作于點，∵，，∴，∴，∴，當點在直線的下方時，如圖，由折疊的性質(zhì)得，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴；當點在直線的上方時，如圖，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴．綜上，的長是2或4．故答案為：2或4．1．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點B的坐標是，點M是上一點，將沿折疊，點B恰好落在x軸上的點處，則點M的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題重點考查圖形與坐標、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識，求得并且推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得，由折疊得，，則，由，得，求得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：，，，，，，由折疊得，，，，，解得，，故選：B．2．如圖，在中，，點M是斜邊的中點，以為邊作正方形，，則（）A． B． C．12 D．16【答案】B【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正方形的面積計算公式，直角三角形面積的計算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)正方形的面積求出的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長，最后根據(jù)勾股定理求出的長，然后即可求出直角三角形的面積．【詳解】∵四邊形是正方形，又∵，在中，點是斜邊的中點，即，在中，，，，故選：B．3．如圖，在Rt中，，用圓規(guī)在上分別截取，，使，分別以為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點，連接并延長交于點，則的面積是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)作圖過程得到平分，過G作于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，進而證明得到，則，然后根據(jù)勾股定理求得即可求解．【詳解】解：∵在Rt中，，∴，由作圖過程得平分，過G作于H，則，∴，又，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，解得，∴的面積是，故選：C．4．如圖，在中，，，于點，點為的中點，連接，若，則的長為（

）A． B．8 C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊對等角，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，由等邊對等角得出，從而得出，進而是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，點為的中點，，，，，，是等腰直角三角形，，，，故選：C．1．如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點A在的斜邊上．下列結(jié)論：其中正確的有（

）①；②；③；④

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由和都是等腰直角三角形，可證，根據(jù)得證.①正確；由全等得，，，于是，可證，從而．故②正確；中，，于是；④正確；由的頂點A在的斜邊上，得，從而，故③錯誤．【詳解】解∵和都是等腰直角三角形，∴,，.∴.∴.①正確；∴，，．∴；∵，∴．∵，∴．故②正確；中，而∴；④正確；∵的頂點A在的斜邊上，∴．而∴，故③錯誤．故選：C【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短；由全等三角形得到線段相等，角相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結(jié)論：①；②；③；④該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的證明；證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，．再由圖形的面積逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正確；梯形的面積直角三角形的面積兩個直角三角形的面積，，，，故③④正確故選：A．3．如圖，在四邊形中，，，，且，則四邊形的面積是（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】連接，在中得到的值，然后再根據(jù)：，可得是直角三角形，最后求得和的面積和就是所求四邊形的面積．【詳解】解：連接，∵，，在中，，∴，，又∵，，∴，，在中有：，∴是直角三角形，，∴四邊形的面積，故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通過作輔助線可將一般的四邊形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，使面積的求解過程變得簡單．4．如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測得，，，，，則陰影部分的面積為（

）

A．24 B．36 C．48 D．12【答案】A【分析】連接，先根據(jù)勾股定理求出的長，再由勾股定理的逆定理判斷出是直角三角形，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接．

在中，，即，，，∴．∵，，，∴，∴是直角三角形，∴．故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面積等知識，先根據(jù)題意判斷出是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，中，，分別以為邊作等腰直角三角形，，若的面積是3，的面積是4，則的面積是（

）

A． B．10 C．7 D．5【答案】B【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式分別求得，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∵的面積是3，∴，∴，∵的面積是4，∴，∴，∴，故選：B．6．如圖，在中，，，，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時點恰好在邊上，則點與點B之間的距離為（

）A．12 B．6 C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)已知條件以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進而可得是等邊三角形，可得旋轉(zhuǎn)角為60°，即可得是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時點恰好在邊上，，，又，是等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，點與點B之間的距離為，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，找到旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，，是斜邊上兩點，且，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【答案】B【分析】利用證明，可判斷①；由與不一定相等，可判斷②；由，在中，，可判斷③；利用勾股定理判斷④．【詳解】解：在中，，∴°，，∵，∴，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，∴，∴，，，，∴，∴，，在與中，，∴，故結(jié)論①正確；∴，在中，，∴，故結(jié)論③錯誤；在與中，，，但與不一定相等，∴與不一定全等，故結(jié)論②錯誤；∵，∴在中，，∴，故結(jié)論④正確，∴正確的結(jié)論是①④．故選：B．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理等知識，證明是解題的關(guān)鍵．

8．如圖，所在的直線是的對稱軸，，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，對稱的性質(zhì)，如果三角形的兩邊的平方的和等第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．【詳解】解：，是直角三角形，，是的對稱軸，，，故答案為：．9．如圖，中，，，，是邊上的中線，．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理的逆定理判定為直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論，先判定為直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，又∵，∴，∴是以為直角的直角三角形，∵是邊上的中線，∴．故答案為：．10．如圖，在等邊中取點使得，，的長分別為3，4，5，則．【答案】【分析】把線段AP以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60得到線段AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理SAS證得△ADB≌△APC，連接PD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△APD是等邊三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD為直角三角形，∠BPD＝90，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，則有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根據(jù)等邊三角形的面積為邊長平方的倍和直角三角形的面積公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝×32＋×3×4＝．【詳解】將線段AP以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60得到線段AD，連接PD∴AD＝AP，∠DAP＝60，又∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60，AB＝AC，∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，∴∠DAB＝∠PAC，又AB=AC，AD=AP∴△ADB≌△APC∵DA＝PA，∠DAP＝60，∴△ADP為等邊三角形，在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，∴△PBD為直角三角形，∠BPD＝90，∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝×32＋×3×4＝．故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出輔助線進行求解．11．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分別以Rt△ABC三邊為直徑作半圓，則陰影部分面積為.【答案】6【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)陰影部分面積等于以AC、BC為直徑的兩個半圓的面積加上直角三角形ABC的面積減去以AB為直徑的半圓的面積，列式計算即可得解．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵AB=5，AC=4，∴，S陰影=直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC－直徑為AB的半圓的面積======6.【點睛】本題考查了勾股定理，半圓的面積，熟記定理并觀察圖形表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．12．如圖，高速公路上有A，B兩點相距，C，D為兩村莊，已知，．于A，于B，現(xiàn)要在上建一個服務(wù)站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，則的長是．

【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)于A，于B，，列式，解出的值，即可作答．【詳解】解：由題意知，，，，設(shè)，則，因為于A，于B，所以在與中，由勾股定理得，，∴，解得，∴，故答案為：．1．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)，，的計算公式：，，，其中，，是互質(zhì)的奇數(shù)．下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【答案】C【分析】首先證明出，得到a，b是直角三角形的直角邊然后由，，是互質(zhì)的奇數(shù)逐項求解即可．【詳解】∵，∴．∵，∴．∴a，b是直角三角形的直角邊，∵，是互質(zhì)的奇數(shù)，∴A．，∴當，時，，，，∴3，4，5能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；B．，∴當，時，，，，∴5，12，13能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；C．，，∵，是互質(zhì)的奇數(shù)，∴6，8，10不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；D．，∴當，時，，，，∴7，24，25能由該勾股數(shù)計算公式直接得出．故選：C．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的應(yīng)用，通過，，是互質(zhì)的奇數(shù)這兩個條件去求得符合題意的t的值是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西·中考真題）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分情況討論，當△ABC是一個直角三角形時，當△AB1C是一個鈍角三角形時，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】如圖，當△ABC是一個直角三角形時，即，，；如圖，當△AB1C是一個鈍角三角形時，過點C作CD⊥AB1，，，，，，，，，，綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長為或，故選：C．【點睛】本題考查了根據(jù)已知條件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）直三棱柱的表面展開圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點中，與點距離最大的是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折疊成直三棱柱后，運用勾股定理計算比較大小即可．【詳解】∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴選B．【點睛】本題考查了幾何體的展開與折疊，勾股定理及其逆定理，熟練掌握展開圖與折疊的意義是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)，作于點M，于點J，于點K，交于點L．若正方形與正方形的面積之比為5，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)CF交AB于P，過C作CN⊥AB于N，設(shè)正方形JKLM邊長為m，根據(jù)正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，得AF=AB=m，證明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，設(shè)AL=FM=x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2=（m）2，可解得x=m，有AL=FM=m，F(xiàn)L=2m，從而可得AP=，F(xiàn)P=m，BP=，即知P為AB中點，CP=AP=BP=，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=m，即得AN=m，而tan∠BAC=，又△AEC∽△BCH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)CF交AB于P，過C作CN⊥AB于N，如圖：設(shè)正方形JKLM邊長為m，∴正方形JKLM面積為m2，∵正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，∴