多自由度系統(tǒng)

第四章多自由度系統(tǒng)振動(dòng)(1)振動(dòng)與噪聲控制實(shí)驗(yàn)室1本節(jié)內(nèi)容4.1運(yùn)動(dòng)微分方程4.2固有頻率與振型4.3主振型的正交性4.4無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)24.1運(yùn)動(dòng)微分方程

一個(gè)n自由度系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律由n個(gè)二階常微分方程來(lái)確定。運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣形式：3多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣是對(duì)稱矩陣質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的性質(zhì)4由于能量為標(biāo)量，對(duì)于任意的,，

質(zhì)量矩陣一定是正定的；剛度矩陣和阻尼矩陣是半正定的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的性質(zhì)54.2固有頻率與振型

一般地，廣義坐標(biāo)取為物理坐標(biāo)，方程存在耦合通過(guò)坐標(biāo)變換，方程在下解耦6將上式帶入得：7頻率方程{u1}，{u2}，…，{un}有非零解的充分必要條件是：即稱此式為頻率方程8固有頻率的求取將展開可以得到的n次代數(shù)方程，可以解出n個(gè)根取正平方根,并設(shè)

得到n個(gè)固有頻率。9振型方程將特征根分別代入振型方程，求得對(duì)應(yīng)的特征向量，即振型

10固有頻率和振型的性質(zhì)固有頻率和它所對(duì)應(yīng)的振型完全由質(zhì)量和剛度矩陣決定，與外界激勵(lì)無(wú)關(guān)，是系統(tǒng)固有的特性。是非負(fù)實(shí)數(shù)，是實(shí)向量。11證明：對(duì)固有頻率，有

兩邊左乘，有

是對(duì)稱正定，是對(duì)稱正定或半正定矩陣

對(duì)于任意的，有

12①

當(dāng)為對(duì)稱正定矩陣時(shí)，。②

當(dāng)為對(duì)稱半正定矩陣，則必然有一個(gè)或幾個(gè)13例4-1：

，唯一的彈簧不變形，勢(shì)能為零，整個(gè)系統(tǒng)如同一個(gè)剛體在運(yùn)動(dòng)。表示系統(tǒng)的剛體位移。14例4-2：15§4.3主振型的正交性

振型矩陣振型矩陣能使方程解耦是因?yàn)檎裥拖蛄坑幸粋€(gè)重要性質(zhì)：振型向量之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)正交性。16坐標(biāo)變換，在下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣17振型正交性的數(shù)學(xué)表示設(shè)系統(tǒng)的第r階與第s階振型向量分別表示為和，有:18振型正交性的證明式（1）左乘,式（2）左乘：

再將（4）轉(zhuǎn)置，得：

19（3）-（5）得：

再將（6）代入（3），得：

20稱為主坐標(biāo)變換。重要定義：廣義坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)。主坐標(biāo)并無(wú)明顯的物理意義，但由給出了確切的數(shù)學(xué)定義。第r階模態(tài)剛度第r階模態(tài)質(zhì)量21§4.4無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)

22例4-2：在原來(lái)處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)中的第二個(gè)質(zhì)量上作用一斜坡力，求系統(tǒng)的響應(yīng)

23解：①

列方程：

以m1，m2，m3水平位移x1，x2，x3為廣義坐標(biāo)，平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為坐標(biāo)正向，建立坐標(biāo)系。應(yīng)用能量法，建立系統(tǒng)微分方程如下：24②固有頻率與振型

25③主坐標(biāo)變換