多自由度系統(tǒng)

第四章多自由度系統(tǒng)振動(1)振動與噪聲控制實驗室1本節(jié)內(nèi)容4.1運動微分方程4.2固有頻率與振型4.3主振型的正交性4.4無阻尼強迫振動24.1運動微分方程

一個n自由度系統(tǒng)的振動規(guī)律由n個二階常微分方程來確定。運動微分方程的矩陣形式：3多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣是對稱矩陣質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的性質(zhì)4由于能量為標量，對于任意的,，

質(zhì)量矩陣一定是正定的；剛度矩陣和阻尼矩陣是半正定的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的性質(zhì)54.2固有頻率與振型

一般地，廣義坐標取為物理坐標，方程存在耦合通過坐標變換，方程在下解耦6將上式帶入得：7頻率方程{u1}，{u2}，…，{un}有非零解的充分必要條件是：即稱此式為頻率方程8固有頻率的求取將展開可以得到的n次代數(shù)方程，可以解出n個根取正平方根,并設

得到n個固有頻率。9振型方程將特征根分別代入振型方程，求得對應的特征向量，即振型

10固有頻率和振型的性質(zhì)固有頻率和它所對應的振型完全由質(zhì)量和剛度矩陣決定，與外界激勵無關(guān)，是系統(tǒng)固有的特性。是非負實數(shù)，是實向量。11證明：對固有頻率，有

兩邊左乘，有

是對稱正定，是對稱正定或半正定矩陣

對于任意的，有

12①

當為對稱正定矩陣時，。②

當為對稱半正定矩陣，則必然有一個或幾個13例4-1：

，唯一的彈簧不變形，勢能為零，整個系統(tǒng)如同一個剛體在運動。表示系統(tǒng)的剛體位移。14例4-2：15§4.3主振型的正交性

振型矩陣振型矩陣能使方程解耦是因為振型向量有一個重要性質(zhì)：振型向量之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)正交性。16坐標變換，在下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣17振型正交性的數(shù)學表示設系統(tǒng)的第r階與第s階振型向量分別表示為和，有:18振型正交性的證明式（1）左乘,式（2）左乘：

再將（4）轉(zhuǎn)置，得：

19（3）-（5）得：

再將（6）代入（3），得：

20稱為主坐標變換。重要定義：廣義坐標稱為主坐標。主坐標并無明顯的物理意義，但由給出了確切的數(shù)學定義。第r階模態(tài)剛度第r階模態(tài)質(zhì)量21§4.4無阻尼強迫振動

22例4-2：在原來處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)中的第二個質(zhì)量上作用一斜坡力，求系統(tǒng)的響應

23解：①

列方程：

以m1，m2，m3水平位移x1，x2，x3為廣義坐標，平衡位置為坐標原點，水平向右為坐標正向，建立坐標系。應用能量法，建立系統(tǒng)微分方程如下：24②固有頻率與振型

25③主坐標變換