高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義等比數(shù)列及其前n項和教師

課題：等比數(shù)列及其前n項和知識點(diǎn)一、等比數(shù)列1．等比數(shù)列的通項公式：若等比數(shù)列的首項是，公差是q，則2．等比中項：（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項：即：或（2）數(shù)列是等比數(shù)列；3.通項之間的性質(zhì)：對任何，在等比數(shù)列中，有特別的，若，則；當(dāng)時，得；【典型例題】【例1】已知等比數(shù)列的公比為2，則值為（）A.B.C.2D.4【答案】D試題分析：，故選D.【例2】在等比數(shù)列中，，，，則項數(shù)為（）【答案】C試題分析：根據(jù)等比數(shù)列通項公式有，解得，故選C.【例3】已知是等比數(shù)列，且，則（）A．B．C.D．【答案】A試題分析：設(shè)數(shù)列的首項為，公比為，則依題意，有，解得，所以，故選A．【例4】已知等比數(shù)列滿足，則=（）A.B.C.D.【答案】C試題分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，即，故選C.【例5】已知數(shù)列{}是遞增等比數(shù)列，，則公比（）A.B.C.D.【答案】D試題分析：【例6】已知等差數(shù)列的首項，公差，且是與的等比中項，則（）【答案】B試題分析：由題意得，選B.【例7】已知各項均不為0的等差數(shù)列滿足，數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A．25B．16C．8D．4【答案】B試題分析：由，得，所以，.【舉一反三】1．已知是等比數(shù)列，，則公比（）A．B．2C．2D．【答案】D試題分析：，即，解得，故選D.2．與的等比中項是（）A．B．1C．1D．【答案】A試題分析：由題已知與的等比中項，得；。3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，是1和3的等差中項，則=（）A．B．C．D．【答案】D由是1和3的等差中項，得，則；由數(shù)列是等比數(shù)列，得.4．在等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A、1B、2C、4D、8【答案】A試題分析：因為為等差數(shù)列，所以，又為等比數(shù)列，則.QUOTE知識點(diǎn)二、等比數(shù)列及其前n項和1．等比數(shù)列的前項和公式：等比數(shù)列的前項和的公式：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，2．等比數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系(數(shù)列的前n項的和為).【典型例題】【例1】在等比數(shù)列中，若公比，則的值為（）A．56B．【答案】C試題分析：【例2】設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，則（）A．2B．C.D．3【答案】B試題分析：，.【例3】已知為等比數(shù)列的前項，若，且，則()A.B.C.D.【答案】B試題分析：，故選B.【例4】若等比數(shù)列的前項和，則（）A.2B.1C.0D.【答案】D試題分析：因為，所以，時，，所以，．或者用得．故選D．【例5】在等比數(shù)列中，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，試求數(shù)列的通項公式及前項和【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公比為由已知得，解得，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，則，設(shè)的公差為，則有解得，從而所以數(shù)列的前項和【舉一反三】1．設(shè)是等比數(shù)列的前項和，，則公比（）A.B.C.或D.或【答案】C試題分析：，又解得或，選C.2．在等比數(shù)列{an}中，a2=2，a4=8，則a6=(）A.14B.28C.32D.64【答案】C試題分析：由等比數(shù)列性質(zhì)可知3．等比數(shù)列的前項和為，則（）A.B.C.D.【答案】C試題分析：.4．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：∵，，∴，，又∵是遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，故選B.5．在等比數(shù)列中，已知前n項和=，則的值為（）A．－1B．1C．5D．5【答案】D試題分析：當(dāng)=1時，===，當(dāng)≥2時，===，∵是等比數(shù)列，∴公比為5，∴==5，解得=5.【課堂鞏固】1．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=，a4=﹣1，則{an}的公比q為（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．【分析】由已知的題意利用等比數(shù)列的通項公式建立關(guān)于公比的方程即可．【解答】由，故選C．【點(diǎn)評】此題主要考查了等比數(shù)列基本的通項公式及解公比時方程的思想，屬基本量的計算問題．2．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a5?a7=4a42，a2=1，則a1=（）A． B． C． D．2【分析】由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可得a6=2a4，從而可求公比，然后由可求【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且，∴即a6=2a4∴=2∴q=∵=故選B【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題3．已知﹣1，a1，a2，﹣9成等差數(shù)列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比數(shù)列，則b2（a2﹣a1）的值為（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的前n項和公式能求出公差d的值；設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由等比數(shù)列的前n項和公式能求出公比q的值．由此能夠求出b2（a2﹣a1）的值．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則有，解得d=﹣，q=±，∴b2（a2﹣a1）=﹣9××（﹣）=8．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，注意等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．4．已知等比數(shù)列{an}中，a3a9=2a52，且a3=2，則a5=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】由等比數(shù)列項公式推導(dǎo)出，從而a1=1，由等比中項的性質(zhì)得，由此能求出a5．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}中，a3a9=2a52，且a3=2，∴．∵，∴a1=1，由等比中項的性質(zhì)得，∴a5==4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的第5項的求法，考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5．在等比數(shù)列{an}中，a1=1，a4=8，則a7=（）A．64 B．32 C．16 D．12【分析】利用等比數(shù)列的通項公式求出公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a1=1，a4=8，∴，即8=q3，解得q=2，a7==1×26=64．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的第7項的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．6．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若27a3﹣a6=0，則=28．【分析】設(shè)出等比數(shù)列的首項和公比，由已知求出公比，代入等比數(shù)列的前n項和得答案．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案為：28．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)的計算題．7．在等比數(shù)列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，則a7+a8=135．【分析】等比數(shù)列{an}中，a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8成等比數(shù)列，由此利用a1+a2=40，a3+a4=60，能求出a7+a8．【解答】解：等比數(shù)列{an}中，∵a1+a2=40，a3+a4=60，∴a5+a6=60×=90，a7+a8=90×=135．故答案為：135．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．8．若等比數(shù)列{an}滿足a2a4=a5，a4=8，則公比q=2，前n項和Sn=2n﹣1．【分析】利用等比數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出首項和前n項和．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}滿足a2a4=a5，a4=8，∴，解得a1=1，q=2，∴前n項和Sn==2n﹣1．故答案為：2，2n﹣1．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的首項和前n項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．9．（1）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比數(shù)列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首項a1和公比q．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，解之可得【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，屬基礎(chǔ)題．10．一個等比數(shù)列{an}中，a1+a4=28，a2+a3=12，求這個數(shù)列的通項公式．【分析】利用a1+a4=28，a2+a3=12，求出公比，再求出首項，即可求這個數(shù)列的通項公式．【解答】解：，兩式相除得，代入a1+a4=28，可求得a1=1或27，a1=28，q=時，這個數(shù)列的通項公式：an=（）n﹣4．當(dāng)a1=1，q=3時，這個數(shù)列的通項公式：an=3n﹣1．【點(diǎn)評】本題考查求數(shù)列的通項公式，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．【課后練習(xí)】正確率：1．在等比數(shù)列{an}中，已知a2=4，a6=16，則a4=（）A．﹣8B．8C．±8D．不確定【答案】B試題分析：由等比數(shù)列性質(zhì)可知2．已知等比數(shù)列中，公比,則（）A.B.C.D.【答案】D試題分析：因為，所以，，故選D.3．已知各項不為0的等差數(shù)列滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則等于（）A．1B．2C．4D．8【答案】D試題分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可以變形為，因為數(shù)列的各項不為零，所以，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可知，故選D．4．在等比數(shù)列中,若,則的值為（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：5．在公差不為0的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且,則=（）A．4B．16C．8D．2【答案】B試題分析：由條件得，所以，所以，所以，故選B．6．設(shè)若是與的等比中項，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：若是與的等比中項，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，取得最小值7．在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是（）A．B．C．D．【答案】C試題分析：因為，是方程的兩根，所以，所以，又因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，故．8．已知數(shù)列滿足：，則的通項公式為()A．B．C．D．【答案】B試題分析：,數(shù)列是首相為,公比為3的等比數(shù)列．．故B正確．9．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項和等于()A．－6(1－3－10)B．(1－3－10)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)【答案】C【解析】由3an＋1＋an＝0，得＝－，故數(shù)列{an}是公比q＝－的等比數(shù)列．又a2＝－，可得a1＝4．所以S10＝＝3(1－3－10)．10．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則數(shù)列的通項公式為.【答案】試題分析：，，當(dāng)時，，相減可得：∴數(shù)列從第二項起是以5為首項，以3為公比的等比數(shù)列，當(dāng)時，不滿足.11．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項和，且，又、、成等比數(shù)列，則，使最大的序號的值