人教新版七級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)44課題學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方體形狀的包裝紙盒試卷含答案解析

2016年人教新版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步測(cè)試：4.4課題學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方形形狀的包裝紙盒（一）一、選擇題（共1小題）1．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條二、填空題（共4小題）2．如圖，將線段AB放在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A點(diǎn)B均落在格點(diǎn)上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺在線段AB上畫(huà)出點(diǎn)P，使AP=，并保留作圖痕跡．（備注：本題只是找點(diǎn)不是證明，∴只需連接一對(duì)角線就行）3．如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C均落在格點(diǎn)上．（Ⅰ）計(jì)算AC2+BC2的值等于；（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出一個(gè)以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC2+BC2，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法（不要求證明）．4．如圖，在正方形網(wǎng)格中有一邊長(zhǎng)為4的平行四邊形ABCD，請(qǐng)將其剪拼成一個(gè)有一邊長(zhǎng)為6的矩形．（要求：在答題卡的圖中畫(huà)出裁剪線即可）5．如圖，在一張長(zhǎng)為8cm，寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上）．則剪下的等腰三角形的面積為cm2．三、解答題（共25小題）6．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，請(qǐng)畫(huà)出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要畫(huà)出示意圖，并在所畫(huà)等腰三角形長(zhǎng)為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）7．在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格紙中，若多邊形的各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上，這樣的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形．記格點(diǎn)多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)為a，邊界上的格點(diǎn)數(shù)為b，則格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=ma+nb﹣1，其中m，n為常數(shù)．（1）在下面的方格中各畫(huà)出一個(gè)面積為6的格點(diǎn)多邊形，依次為三角形、平行四邊形（非菱形）、菱形；（2）利用（1）中的格點(diǎn)多邊形確定m，n的值．8．如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖將△ABC分成兩個(gè)全等的三角形，并說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的理由．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）9．圖①，圖②，圖③都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．在圖①，圖②中已畫(huà)出線段AB，在圖③中已畫(huà)出點(diǎn)A．按下列要求畫(huà)圖：（1）在圖①中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為一邊畫(huà)一個(gè)等腰三角形；（2）在圖②中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為一邊畫(huà)一個(gè)正方形；（3）在圖③中，以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上，畫(huà)一個(gè)面積最大的正方形．10．各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形．如何計(jì)算它的面積？奧地利數(shù)學(xué)家皮克（G?Pick，1859～1942年）證明了格點(diǎn)多邊形的面積公式S=a+b﹣1，其中a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積．如圖，a=4，b=6，S=4+×6﹣1=6（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)正方形，使它的內(nèi)部只含有4個(gè)格點(diǎn)，并寫(xiě)出它的面積．（2）請(qǐng)?jiān)趫D乙中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它的面積為，且每條邊上除頂點(diǎn)外無(wú)其它格點(diǎn)．（注：圖甲、圖乙在答題紙上）11．“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)活動(dòng)準(zhǔn)備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a，b，c，并且這些三角形三邊的長(zhǎng)度為大于1且小于5的整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）用記號(hào)（a，b，c）（a≤b≤c）表示一個(gè)滿足條件的三角形，如（2，3，3）表示邊長(zhǎng)分別為2，3，3個(gè)單位長(zhǎng)度的一個(gè)三角形．請(qǐng)列舉出所有滿足條件的三角形．（2）用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足a＜b＜c的三角形（用給定的單位長(zhǎng)度，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．12．有公路l2同側(cè)、l1異側(cè)的兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B，如圖，電信部門(mén)要修建一座信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1、l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)，注明點(diǎn)C的位置．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）13．兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門(mén)需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)C．（不寫(xiě)已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）14．如圖，兩條公路OA和OB相交于O點(diǎn)，在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要修建一個(gè)貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，寫(xiě)出結(jié)論）15．如圖，在方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)及D，E，F(xiàn)，G，H五個(gè)點(diǎn)分別位于小正方形的頂點(diǎn)上．（1）現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，在所畫(huà)的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是（只需要填一個(gè)三角形）（2）先從D，E兩個(gè)點(diǎn)中任意取一個(gè)點(diǎn)，再?gòu)腇，G，H三個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，以所取得這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，求所畫(huà)三角形與△ABC面積相等的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格求解）．16．小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫(huà)板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖2，畫(huà)PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)．（1）請(qǐng)寫(xiě)出這種做法的理由；（2）小明在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)A，D；②連結(jié)AD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)B，請(qǐng)寫(xiě)出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)?jiān)趫D3畫(huà)板內(nèi)作出“直線a，b所成的跑到畫(huà)板外面去的角”的平分線（畫(huà)板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．17．小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖1，直線a、b所成的角跑到畫(huà)板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？（1）①請(qǐng)幫小明在圖2的畫(huà)板內(nèi)畫(huà)出你的測(cè)量方案圖（簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法過(guò)程）；②說(shuō)出該畫(huà)法依據(jù)的定理．（2）小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了更深入的探究，想到兩個(gè)操作：①在圖3的畫(huà)板內(nèi)，在直線a與直線b上各取一點(diǎn)，使這兩點(diǎn)與直線a、b的交點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形（其中交點(diǎn)為頂角的頂點(diǎn)），畫(huà)出該等腰三角形在畫(huà)板內(nèi)的部分．②在圖3的畫(huà)板內(nèi)，作出“直線a、b所成的跑到畫(huà)板外面去的角”的平分線（在畫(huà)板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．請(qǐng)你幫小明完成上面兩個(gè)操作過(guò)程．（必須要有方案圖，所有的線不能畫(huà)到畫(huà)板外，只能畫(huà)在畫(huà)板內(nèi)）18．矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=4，BC=4，向矩形ABCD外作△CDE，使△CDE為等腰直角三角形，且點(diǎn)E不在邊BC所在的直線上，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出OE的長(zhǎng)，并畫(huà)出體現(xiàn)解法的輔助線．19．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A和點(diǎn)B在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖1中畫(huà)出△ABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABC為直角三角形（畫(huà)一個(gè)即可）；（2）在圖2中畫(huà)出△ABD（點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABD為等腰三角形（畫(huà)一個(gè)即可）．20．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）在圖1中畫(huà)出等腰直角三角形MON，使點(diǎn)N在格點(diǎn)上，且∠MON=90°；（2）在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，且正方形ABCD面積沒(méi)有剩余（畫(huà)出一種即可）．21．【問(wèn)題提出】用n根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？【問(wèn)題探究】不妨假設(shè)能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關(guān)系，我們可以先從特殊入手，通過(guò)試驗(yàn)、觀察、類比、最后歸納、猜測(cè)得出結(jié)論．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？此時(shí)，顯然能搭成一種等腰三角形．所以，當(dāng)n=3時(shí)，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形．所以，當(dāng)n=4時(shí)，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形．所以，當(dāng)n=5時(shí)，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形．所以，當(dāng)n=6時(shí)，m=1．綜上所述，可得：表①n3456m1011【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的三角形？（仿照上述探究方法，寫(xiě)出解答過(guò)程，并將結(jié)果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（只需把結(jié)果填在表②中）表②n78910m你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進(jìn)行探究，…【問(wèn)題解決】：用n根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（設(shè)n分別等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整數(shù)，把結(jié)果填在表③中）表③n4k﹣14k4k+14k+2m【問(wèn)題應(yīng)用】：用2016根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（寫(xiě)出解答過(guò)程），其中面積最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填結(jié)果）22．手工課上，老師要求同學(xué)們將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片恰好剪成六個(gè)等腰直角三角形，聰明的你請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)正方形中畫(huà)出不同的剪裁線，并直接寫(xiě)出每種不同分割后得到的最小等腰直角三角形面積（注：不同的分法，面積可以相等）23．已知梯形ABCD，請(qǐng)使用無(wú)刻度直尺畫(huà)圖．（1）在圖1中畫(huà)出一個(gè)與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；（2）圖2中畫(huà)一個(gè)與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形．24．如圖，在所給方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形均為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處），請(qǐng)按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個(gè)三角形，使它們與標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)全等．（1）圖甲中的格點(diǎn)正方形ABCD；（2）圖乙中的格點(diǎn)平行四邊形ABCD．注：分割線畫(huà)成實(shí)線．25．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形．請(qǐng)完成以下操作：（畫(huà)圖不要求使用圓規(guī)，以下問(wèn)題所指的等腰三角形個(gè)數(shù)均不包括△ABC）（1）在圖1中畫(huà)1條線段，使圖中有2個(gè)等腰三角形，并直接寫(xiě)出這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是度和度；（2）在圖2中畫(huà)2條線段，使圖中有4個(gè)等腰三角形；（3）繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在△ABC中畫(huà)n條線段，則圖中有個(gè)等腰三角形，其中有個(gè)黃金等腰三角形．26．把一條12個(gè)單位長(zhǎng)度的線段分成三條線段，其中一條線段成為4個(gè)單位長(zhǎng)度，另兩條線段長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度的整數(shù)倍．（1）不同分段得到的三條線段能組成多少個(gè)不全等的三角形？用直尺和圓規(guī)作這些三角形（用給定的單位長(zhǎng)度，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）求出（1）中所作三角形外接圓的周長(zhǎng)．27．（1）如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫(huà)弧交邊AB于E．求證：=．（這個(gè)比值叫做AE與AB的黃金比．）（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形．請(qǐng)你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個(gè)黃金三角形ABC．（注：直尺沒(méi)有刻度！作圖不要求寫(xiě)作法，但要求保留作圖痕跡，并對(duì)作圖中涉及到的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注）28．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AC為一邊作正方形ACDE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交直線BC于點(diǎn)F，連接AF，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)，并畫(huà)出體現(xiàn)解法的輔助線．29．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題：計(jì)算+++…+（其中m，n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）．探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．探究一：計(jì)算+++…+．第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；…第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣．探究二：計(jì)算+++…+．第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；…第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣，兩邊同除以2，得+++…+=﹣．探究三：計(jì)算+++…+．（仿照上述方法，只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程）解決問(wèn)題：計(jì)算+++…+．（只需畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空）根據(jù)第n次分割圖可得等式：，所以，+++…+=．拓廣應(yīng)用：計(jì)算+++…+．30．在校園文化建設(shè)活動(dòng)中，需要裁剪一些菱形來(lái)美化教室．現(xiàn)有平行四邊形ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別為1，a（a＞1）的紙片，先剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，又余下一個(gè)四邊形，…依此類推，請(qǐng)畫(huà)出剪三次后余下的四邊形是菱形的裁剪線的各種示意圖，并求出a的值．2016年人教新版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步測(cè)試：4.4課題學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方形形狀的包裝紙盒（一）參考答案與試題解析一、選擇題（共1小題）1．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；等腰三角形的判定．【專題】壓軸題．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB，AC為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．【解答】解：如圖所示：當(dāng)BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定以及應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖等知識(shí)，正確利用圖形分類討論得出是解題關(guān)鍵．二、填空題（共4小題）2．如圖，將線段AB放在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A點(diǎn)B均落在格點(diǎn)上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺在線段AB上畫(huà)出點(diǎn)P，使AP=，并保留作圖痕跡．（備注：本題只是找點(diǎn)不是證明，∴只需連接一對(duì)角線就行）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】壓軸題．【分析】利用勾股定理列式求出AB=，然后作一小正方形對(duì)角線，使對(duì)角線與AB的交點(diǎn)滿足AP：BP=2：1即可．【解答】解：由勾股定理得，AB==，所以，AP=時(shí)AP：BP=2：1．點(diǎn)P如圖所示．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，考慮利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C均落在格點(diǎn)上．（Ⅰ）計(jì)算AC2+BC2的值等于11；（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出一個(gè)以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC2+BC2，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法（不要求證明）如圖所示：．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；勾股定理．【專題】作圖題；壓軸題．【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；（2）首先分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；進(jìn)而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11；故答案為：11；（2）分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延長(zhǎng)DE交MN于點(diǎn)Q，連接QC，平移QC至AG，BP位置，直線GP分別交AF，BH于點(diǎn)T，S，則四邊形ABST即為所求．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，借助網(wǎng)格得出正方形是解題關(guān)鍵．4．如圖，在正方形網(wǎng)格中有一邊長(zhǎng)為4的平行四邊形ABCD，請(qǐng)將其剪拼成一個(gè)有一邊長(zhǎng)為6的矩形．（要求：在答題卡的圖中畫(huà)出裁剪線即可）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；圖形的剪拼．【分析】如圖先過(guò)D點(diǎn)向下剪出一個(gè)三角形放在平行四邊形的左邊，再在剪去D點(diǎn)下面兩格的小正方形放在右面，就組成了矩形．【解答】解：如圖：【點(diǎn)評(píng)】本題一方面考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力，另一方面考查了學(xué)生的空間想象能力，重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程．5．如圖，在一張長(zhǎng)為8cm，寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上）．則剪下的等腰三角形的面積為或5或10cm2．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】因?yàn)榈妊切窝奈恢貌幻鞔_，所以分（1）腰長(zhǎng)在矩形相鄰的兩邊上，（2）一腰在矩形的寬上，（3）一腰在矩形的長(zhǎng)上，三種情況討論．（1）△AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解；（3）先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解．【解答】解：分三種情況計(jì)算：（1）當(dāng)AE=AF=5厘米時(shí)，∴S△AEF=AE?AF=×5×5=厘米2，（2）當(dāng)AE=EF=5厘米時(shí)，如圖BF===2厘米，∴S△AEF=?AE?BF=×5×2=5厘米2，（3）當(dāng)AE=EF=5厘米時(shí)，如圖DF===4厘米，∴S△AEF=AE?DF=×5×4=10厘米2．故答案為：，5，10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，要根據(jù)三角形的腰長(zhǎng)的不確定分情況討論．三、解答題（共25小題）6．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，請(qǐng)畫(huà)出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要畫(huà)出示意圖，并在所畫(huà)等腰三角形長(zhǎng)為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】作圖題．【分析】①以A為圓心，以3為半徑作弧，交AD、AB兩點(diǎn)，連接即可；②連接AC，在AC上，以A為端點(diǎn)，截取1.5個(gè)單位，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作AC的垂線，交AD、AB兩點(diǎn)，連接即可；③以A為端點(diǎn)在AB上截取3個(gè)單位，以截取的點(diǎn)為圓心，以3個(gè)單位為半徑畫(huà)弧，交BC一個(gè)點(diǎn)，連接即可；④連接AC，在AC上，以C為端點(diǎn)，截取1.5個(gè)單位，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作AC的垂線，交BC、DC兩點(diǎn)，然后連接A與這兩個(gè)點(diǎn)即可；⑤以A為端點(diǎn)在AB上截取3個(gè)單位，再作著個(gè)線段的垂直平分線交CD一點(diǎn)，連接即可．【解答】解：滿足條件的所有圖形如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定方法．7．在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格紙中，若多邊形的各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上，這樣的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形．記格點(diǎn)多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)為a，邊界上的格點(diǎn)數(shù)為b，則格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=ma+nb﹣1，其中m，n為常數(shù)．（1）在下面的方格中各畫(huà)出一個(gè)面積為6的格點(diǎn)多邊形，依次為三角形、平行四邊形（非菱形）、菱形；（2）利用（1）中的格點(diǎn)多邊形確定m，n的值．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）利用格點(diǎn)圖形的定義結(jié)合三角形以及平行四邊形面積求法得出即可；（2）利用已知圖形，結(jié)合S=ma+nb﹣1得出關(guān)于m，n的關(guān)系式，進(jìn)而求出即可．【解答】解：（1）如圖所示：；（2）∵格點(diǎn)多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)為a，邊界上的格點(diǎn)數(shù)為b，則格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=ma+nb﹣1，其中m，n為常數(shù)，∴三角形：S=3m+8n﹣1=6，平行四邊形：S=3m+8n﹣1=6，菱形：S=5m+4n﹣1=6，則，解得：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及三角形、平行四邊形面積求法和二元一次方程組的解法，正確得出關(guān)于m，n的方程組是解題關(guān)鍵．8．如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖將△ABC分成兩個(gè)全等的三角形，并說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的理由．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】作圖題．【分析】作出底邊BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，利用三線合一得到D為BC的中點(diǎn)，可得出三角形ADB與三角形ADC全等．【解答】解：作出BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了作圖﹣應(yīng)用于設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．9．圖①，圖②，圖③都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．在圖①，圖②中已畫(huà)出線段AB，在圖③中已畫(huà)出點(diǎn)A．按下列要求畫(huà)圖：（1）在圖①中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為一邊畫(huà)一個(gè)等腰三角形；（2）在圖②中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為一邊畫(huà)一個(gè)正方形；（3）在圖③中，以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上，畫(huà)一個(gè)面積最大的正方形．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【分析】（1）根據(jù)勾股定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出兩邊分別為的等腰三角形即可；（2）根據(jù)勾股定理逆定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出邊長(zhǎng)為的正方形；（3）根據(jù)勾股定理逆定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出最長(zhǎng)的線段作為正方形的邊長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）如圖①，符合條件的C點(diǎn)有5個(gè)：；（2）如圖②，正方形ABCD即為滿足條件的圖形：；（3）如圖③，邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的面積最大．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．熟記勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵所在．10．各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形．如何計(jì)算它的面積？奧地利數(shù)學(xué)家皮克（G?Pick，1859～1942年）證明了格點(diǎn)多邊形的面積公式S=a+b﹣1，其中a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積．如圖，a=4，b=6，S=4+×6﹣1=6（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)正方形，使它的內(nèi)部只含有4個(gè)格點(diǎn)，并寫(xiě)出它的面積．（2）請(qǐng)?jiān)趫D乙中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它的面積為，且每條邊上除頂點(diǎn)外無(wú)其它格點(diǎn)．（注：圖甲、圖乙在答題紙上）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）根據(jù)皮克公式畫(huà)圖計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意可知a=3，b=3，畫(huà)出滿足題意的圖形即可．【解答】解：（1）如圖所示，a=4，b=4，S=4+×4﹣1=5；（2）因?yàn)镾=，b=3，所以a=3，如圖所示，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，關(guān)鍵是理解皮克公式，根據(jù)題意求出a、b的值．11．“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)活動(dòng)準(zhǔn)備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a，b，c，并且這些三角形三邊的長(zhǎng)度為大于1且小于5的整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）用記號(hào)（a，b，c）（a≤b≤c）表示一個(gè)滿足條件的三角形，如（2，3，3）表示邊長(zhǎng)分別為2，3，3個(gè)單位長(zhǎng)度的一個(gè)三角形．請(qǐng)列舉出所有滿足條件的三角形．（2）用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足a＜b＜c的三角形（用給定的單位長(zhǎng)度，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；三角形三邊關(guān)系．【分析】（1）應(yīng)用列舉法，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列舉出所有滿足條件的三角形．（2）首先判斷滿足條件的三角形只有一個(gè)：a=2，b=3，c=4，再作圖：①作射線AB，且取AB=4；②以點(diǎn)AA為圓心，3為半徑畫(huà)??；以點(diǎn)BB為圓心，2為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C；③連接AC、BC．則△ABC即為滿足條件的三角形．【解答】解：（1）共9種：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4時(shí)滿足a＜b＜c．如答圖的△ABC即為滿足條件的三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．首先要理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．12．有公路l2同側(cè)、l1異側(cè)的兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B，如圖，電信部門(mén)要修建一座信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1、l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)，注明點(diǎn)C的位置．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【分析】利用角平分線的性質(zhì)以及作法和線段垂直平分線的作法與性質(zhì)分別得出即可．【解答】解：如圖所示：C1，C2即為所求．．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，熟練應(yīng)用角平分線以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門(mén)需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)C．（不寫(xiě)已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【分析】仔細(xì)分析題意，尋求問(wèn)題的解決方案．到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C．由于兩條公路所夾角的角平分線有兩條，因此點(diǎn)C有2個(gè)．【解答】解：（1）作出線段AB的垂直平分線；（2）作出角的平分線；它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C（2個(gè)）．【點(diǎn)評(píng)】本題借助實(shí)際場(chǎng)景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用．題中符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，注意避免漏解．14．如圖，兩條公路OA和OB相交于O點(diǎn)，在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要修建一個(gè)貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，寫(xiě)出結(jié)論）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【分析】根據(jù)點(diǎn)P到∠AOB兩邊距離相等，到點(diǎn)C、D的距離也相等，點(diǎn)P既在∠AOB的角平分線上，又在CD垂直平分線上，即∠AOB的角平分線和CD垂直平分線的交點(diǎn)處即為點(diǎn)P．【解答】解：如圖所示：作CD的垂直平分線，∠AOB的角平分線的交點(diǎn)P即為所求，此時(shí)貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等．P和P1都是所求的點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段的垂直平分線和角平分線的作法．這些基本作圖要熟練掌握，注意保留作圖痕跡．15．如圖，在方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)及D，E，F(xiàn)，G，H五個(gè)點(diǎn)分別位于小正方形的頂點(diǎn)上．（1）現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，在所畫(huà)的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是△DFG或△DHF（只需要填一個(gè)三角形）（2）先從D，E兩個(gè)點(diǎn)中任意取一個(gè)點(diǎn)，再?gòu)腇，G，H三個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，以所取得這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，求所畫(huà)三角形與△ABC面積相等的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格求解）．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）根據(jù)格點(diǎn)之間的距離得出△ABC的面積進(jìn)而得出三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形；（2）利用樹(shù)狀圖得出所有的結(jié)果，進(jìn)而根據(jù)概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵△ABC的面積為：×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面積也為6且不與△ABC全等，∴與△ABC不全等但面積相等的三角形是：△DFG或△DHF；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得出：由樹(shù)狀圖可知共有出現(xiàn)的情況有△DHG，△DHF，△DGF，△EGH，△EFH，△EGF，6種可能的結(jié)果，其中與△ABC面積相等的有3種，即△DHF，△DGF，△EGF，故所畫(huà)三角形與△ABC面積相等的概率P==，答：所畫(huà)三角形與△ABC面積相等的概率為．故答案為：△DFG或△DHF或△EGF【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形面積求法以及樹(shù)狀圖法求概率，根據(jù)已知得出三角形面積是解題關(guān)鍵．16．小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫(huà)板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖2，畫(huà)PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)．（1）請(qǐng)寫(xiě)出這種做法的理由；（2）小明在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)A，D；②連結(jié)AD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)B，請(qǐng)寫(xiě)出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)?jiān)趫D3畫(huà)板內(nèi)作出“直線a，b所成的跑到畫(huà)板外面去的角”的平分線（畫(huà)板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)題意，有3個(gè)角與∠PAB相等．由等腰三角形的性質(zhì)，可知∠PAB=∠PDA；又對(duì)頂角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行線性質(zhì)，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．【解答】解：（1）PC∥a（兩直線平行，同位角相等）；（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，如圖，∵PA=PD，∴∠PAB=∠PDA，∵∠BDC=∠PDA（對(duì)頂角相等），又∵PC∥a，∴∠PDA=∠1，∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）如圖，作線段AB的垂直平分線EF，則EF是所求作的圖形．【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點(diǎn)包括：（1）平行線的性質(zhì)，（2）等腰三角形的性質(zhì)，（3）對(duì)頂角的性質(zhì)，（4）垂直平分線的性質(zhì)等．本題借助實(shí)際問(wèn)題場(chǎng)景考查了學(xué)生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長(zhǎng)，需要仔細(xì)閱讀，理解題意，正確作答．17．小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖1，直線a、b所成的角跑到畫(huà)板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？（1）①請(qǐng)幫小明在圖2的畫(huà)板內(nèi)畫(huà)出你的測(cè)量方案圖（簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法過(guò)程）；②說(shuō)出該畫(huà)法依據(jù)的定理．（2）小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了更深入的探究，想到兩個(gè)操作：①在圖3的畫(huà)板內(nèi)，在直線a與直線b上各取一點(diǎn)，使這兩點(diǎn)與直線a、b的交點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形（其中交點(diǎn)為頂角的頂點(diǎn)），畫(huà)出該等腰三角形在畫(huà)板內(nèi)的部分．②在圖3的畫(huà)板內(nèi)，作出“直線a、b所成的跑到畫(huà)板外面去的角”的平分線（在畫(huà)板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．請(qǐng)你幫小明完成上面兩個(gè)操作過(guò)程．（必須要有方案圖，所有的線不能畫(huà)到畫(huà)板外，只能畫(huà)在畫(huà)板內(nèi)）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】（1）方法一：利用平行線的性質(zhì)；方法二：利用三角形內(nèi)角和定理；（2）首先作等腰三角形△PBD，然后延長(zhǎng)BD交直線a于點(diǎn)A，則四邊形ABPQ就是所求作的圖形．作圖依據(jù)是等腰三角形的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)；（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．【解答】解：（1）方法一：①如圖2，畫(huà)PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即為直線a，b所成角的度數(shù)，②依據(jù)：兩直線平行，同位角相等，方法二：①如圖2，在直線a，b上各取一點(diǎn)A，B，連接AB，測(cè)得∠1、∠2的度數(shù)，則180°﹣∠1﹣∠2即為直線a，b所成角的度數(shù)；②依據(jù)：三角形內(nèi)角和為180°；（2）①如圖3，畫(huà)PC∥a，以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交直線b、PC于點(diǎn)B、D，連接BD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)A，則四邊形ABPQ就是所求等腰三角形在畫(huà)板內(nèi)的部分；②如圖3，作線段AB的垂直平分線EF，則EF就是所求作的線．【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點(diǎn)包括：（1）平行線的性質(zhì)；（2）等腰三角形的性質(zhì)；（3）三角形內(nèi)角和定理；（4）垂直平分線的性質(zhì)等．本題借助實(shí)際問(wèn)題場(chǎng)景考查了學(xué)生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長(zhǎng)，需要仔細(xì)閱讀，理解題意，正確作答．18．矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=4，BC=4，向矩形ABCD外作△CDE，使△CDE為等腰直角三角形，且點(diǎn)E不在邊BC所在的直線上，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出OE的長(zhǎng)，并畫(huà)出體現(xiàn)解法的輔助線．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；勾股定理的應(yīng)用；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)．【分析】使△CDE為等腰直角三角形，需要分類討論以CD為腰和底邊兩種情況，以CD為腰時(shí)，作輔助線OF⊥于AD于F，可根據(jù)勾股定理得出OE′的長(zhǎng)度；以CD為底時(shí)，可根據(jù)三角形的垂直平分線性質(zhì)來(lái)解答，分別求出OG跟GE，即可得到EO．【解答】解：∵AC=4，BC=4，∴AB=8，∵△CDE為等腰直角三角形，且點(diǎn)E不在邊BC所在的直線上，∴可分以CD為腰和底邊兩種情況，①以CD為腰，如圖，可延長(zhǎng)AD至E′，使得DE′=CD，作OF⊥于AD于F，連接CE′、OE′，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OF=AB=4，DF=2，∵△CDE′為等腰直角三角形，∴CD=DE′=8，∴E′F=10，根據(jù)勾股定理，在△OFE′中，OE′2=OF2+FE′2，∴OE′==2②以CD為底，如圖，分別將點(diǎn)C、點(diǎn)D以順、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交于點(diǎn)E，便是以CD為底邊的等腰直角△CDE．連接OE交CD于點(diǎn)G，∵∴△OCE與△ODE是關(guān)于OE對(duì)稱，且OG、GE分別是△OCD、△CDE的垂直平分線，∴DG=CG=4，∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=4，∴AO=CO=2，∴OG==2，在等腰直角△DGE中，GE=DG=4，∴OE=OG+GE=6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及矩形的性質(zhì)和勾股定理，熟練利用矩形性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．19．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A和點(diǎn)B在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖1中畫(huà)出△ABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABC為直角三角形（畫(huà)一個(gè)即可）；（2）在圖2中畫(huà)出△ABD（點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABD為等腰三角形（畫(huà)一個(gè)即可）．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，過(guò)點(diǎn)A的豎直線與過(guò)點(diǎn)B的水平線相交于點(diǎn)C，連接即可，或過(guò)點(diǎn)A的水平線與過(guò)點(diǎn)B的豎直線相交于點(diǎn)C，連接即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出BD=AB或AB=AD，連接即可得解．【解答】解：（1）如圖1，①、②，畫(huà)一個(gè)即可；（2）如圖2，①、②，畫(huà)一個(gè)即可．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，（1）中作直角三角形時(shí)根據(jù)網(wǎng)格的直角作圖即可，比較簡(jiǎn)單，（2）中根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出與AB相等的線段是解題的關(guān)鍵，靈活性較強(qiáng)．20．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）在圖1中畫(huà)出等腰直角三角形MON，使點(diǎn)N在格點(diǎn)上，且∠MON=90°；（2）在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，且正方形ABCD面積沒(méi)有剩余（畫(huà)出一種即可）．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O向線段OM作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N，連接MN即可；（2）根據(jù)勾股定理畫(huà)出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1所示；（2）如圖2、3所示；【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．21．【問(wèn)題提出】用n根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？【問(wèn)題探究】不妨假設(shè)能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關(guān)系，我們可以先從特殊入手，通過(guò)試驗(yàn)、觀察、類比、最后歸納、猜測(cè)得出結(jié)論．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？此時(shí)，顯然能搭成一種等腰三角形．所以，當(dāng)n=3時(shí)，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形．所以，當(dāng)n=4時(shí)，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形．所以，當(dāng)n=5時(shí)，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形．所以，當(dāng)n=6時(shí)，m=1．綜上所述，可得：表①n3456m1011【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的三角形？（仿照上述探究方法，寫(xiě)出解答過(guò)程，并將結(jié)果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（只需把結(jié)果填在表②中）表②n78910m2122你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進(jìn)行探究，…【問(wèn)題解決】：用n根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（設(shè)n分別等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整數(shù)，把結(jié)果填在表③中）表③n4k﹣14k4k+14k+2mkk﹣1kk【問(wèn)題應(yīng)用】：用2016根相同的木棒搭一個(gè)三角形（木棒無(wú)剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（寫(xiě)出解答過(guò)程），其中面積最大的等腰三角形每腰用了672根木棒．（只填結(jié)果）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】分類討論．【分析】探究二：仿照探究一的方法進(jìn)行分析即可；問(wèn)題解決：根據(jù)探究一、二的結(jié)果總結(jié)規(guī)律填表即可；問(wèn)題應(yīng)用：根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算求出m的值．【解答】解：（1）用7根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？此時(shí)，能搭成二種等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，則能搭成一種等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形當(dāng)n=7時(shí)，m=2．（2）用8根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，則不能搭成一種等腰三角形，分成3根木棒、3根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當(dāng)n=8時(shí)，m=1．用9根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，則能搭成一種等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形所以，當(dāng)n=9時(shí)，m=2．用10根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，則能搭成一種等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形所以，當(dāng)n=10時(shí)，m=2．故答案為：2；1；2；2．問(wèn)題解決：由規(guī)律可知，答案為：k；k﹣1；k；k．問(wèn)題應(yīng)用：2016÷4=504，504﹣1=503，當(dāng)三角形是等邊三角形時(shí)，面積最大，2016÷3=672，∴用2016根相同的木棒搭一個(gè)三角形，能搭成503種不同的等腰三角形，其中面積最大的等腰三角形每腰用672根木棒．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、三角形三邊關(guān)系，首先要理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．22．手工課上，老師要求同學(xué)們將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片恰好剪成六個(gè)等腰直角三角形，聰明的你請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)正方形中畫(huà)出不同的剪裁線，并直接寫(xiě)出每種不同分割后得到的最小等腰直角三角形面積（注：不同的分法，面積可以相等）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【分析】（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形紙片恰好剪成六個(gè)等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可．（2）正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，O是AC、BD的交點(diǎn)，連接OE、OF，即可把正方形紙片恰好剪成六個(gè)等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可．（3）正方形ABCD中，F(xiàn)、H分別是BC、DA的中點(diǎn)，O是AC、BD的交點(diǎn)，連接HF，即可把正方形紙片恰好剪成六個(gè)等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可．（4）正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，I是AO的中點(diǎn)，連接OE、OB、OF，即可把正方形紙片恰好剪成六個(gè)等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可．【解答】解：根據(jù)分析，可得．（1）第一種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG，每個(gè)最小的等腰直角三角形的面積是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）（2）第二種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO，每個(gè)最小的等腰直角三角形的面積是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）（3）第三種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO，每個(gè)最小的等腰直角三角形的面積是：（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）（4）第四種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI，每個(gè)最小的等腰直角三角形的面積是：（4÷2）×（4÷2）÷2÷2=2×2÷2÷2=1（cm2）．【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖問(wèn)題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合正方形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．（2）此題還考查了三角形的面積的求法，要熟練掌握．23．已知梯形ABCD，請(qǐng)使用無(wú)刻度直尺畫(huà)圖．（1）在圖1中畫(huà)出一個(gè)與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；（2）圖2中畫(huà)一個(gè)與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）求出三角形CD邊上的高作圖，（2）找出BE及它的高相乘得20，以AB為一邊作平行四邊形..【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則S梯形ABCD=（AD+BC）×4=×10×4=20，（1）∵CD=4，∴三角形的高=20×2÷4=5，如圖1，△CDE就是所作的三角形，（2）如圖2，BE=5，BE邊上的高為4，∴平行四邊形ABEF的面積是5×4=20，∴平行四邊形ABEF就是所作的平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖的設(shè)計(jì)和應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)面積相等求出高畫(huà)圖．24．如圖，在所給方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形均為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處），請(qǐng)按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個(gè)三角形，使它們與標(biāo)號(hào)為①，②，③的三個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)全等．（1）圖甲中的格點(diǎn)正方形ABCD；（2）圖乙中的格點(diǎn)平行四邊形ABCD．注：分割線畫(huà)成實(shí)線．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）利用三角形的形狀以及各邊長(zhǎng)進(jìn)而拼出正方形即可；（2）利用三角形的形狀以及各邊長(zhǎng)進(jìn)而拼出平行四邊形即可．【解答】解：（1）如圖甲所示：（2）如圖乙所示：【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，利用網(wǎng)格結(jié)合三角形各邊長(zhǎng)得出符合題意的圖形是解題關(guān)鍵．25．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形．請(qǐng)完成以下操作：（畫(huà)圖不要求使用圓規(guī)，以下問(wèn)題所指的等腰三角形個(gè)數(shù)均不包括△ABC）（1）在圖1中畫(huà)1條線段，使圖中有2個(gè)等腰三角形，并直接寫(xiě)出這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度；（2）在圖2中畫(huà)2條線段，使圖中有4個(gè)等腰三角形；（3）繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在△ABC中畫(huà)n條線段，則圖中有2n個(gè)等腰三角形，其中有n個(gè)黃金等腰三角形．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；黃金分割．【專題】作圖題；探究型．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及∠A的度數(shù)，進(jìn)而得出這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)；（2）利用（1）種思路進(jìn)而得出符合題意的圖形；（3）利用當(dāng)1條直線可得到2個(gè)等腰三角形；當(dāng)2條直線可得到4個(gè)等腰三角形；當(dāng)3條直線可得到6個(gè)等腰三角形，進(jìn)而得出規(guī)律求出答案．【解答】解：（1）如圖1所示：∵AB=AC，∠A=36°，∴當(dāng)AE=BE，則∠A=∠ABE=36°，則∠AEB=108°，則∠EBC=36°，∴這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度；故答案為：108，36；（2）如圖2所示：（3）如圖3所示：當(dāng)1條直線可得到2個(gè)等腰三角形；當(dāng)2條直線可得到4個(gè)等腰三角形；當(dāng)3條直線可得到6個(gè)等腰三角形；…∴在△ABC中畫(huà)n條線段，則圖中有2n個(gè)等腰三角形，其中有n個(gè)黃金等腰三角形．故答案為：2n，n．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用作圖與設(shè)計(jì)以及等腰三角形的性質(zhì)，得出分割圖形的規(guī)律是解題關(guān)鍵．26．把一條12個(gè)單位長(zhǎng)度的線段分成三條線段，其中一條線段成為4個(gè)單位長(zhǎng)度，另兩條線段長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度的整數(shù)倍．（1）不同分段得到的三條線段能組成多少個(gè)不全等的三角形？用直尺和圓規(guī)作這些三角形（用給定的單位長(zhǎng)度，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）求出（1）中所作三角形外接圓的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出符合題意的圖形即可；（2）利用三角形外接圓作法，首先作出任意兩邊的垂直平分線，即可得出圓心位置，進(jìn)而得出其外接圓．【解答】解：（1）由題意得：三角形的三邊長(zhǎng)分別為：4，4，4；3，4，5；即不同分段得到的三條線段能組成2個(gè)不全等的三角形，如圖所示：（2）如圖所示：當(dāng)三邊的單位長(zhǎng)度分別為3，4，5，可知三角形為直角三角形，此時(shí)外接圓的半徑為2.5；當(dāng)三邊的單位長(zhǎng)度分別為4，4，4．三角形為等邊三角形，此時(shí)外接圓的半徑為，∴當(dāng)三條線段分別為3，4，5時(shí)其外接圓周長(zhǎng)為：2π×2.5=5π；當(dāng)三條線段分別為4，4，4時(shí)其外接圓周長(zhǎng)為：2π×=π．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形外接圓的作法和三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，得出符合題意的三角形是解題關(guān)鍵．27．（1）如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫(huà)弧交邊AB于E．求證：=．（這個(gè)比值叫做AE與AB的黃金比．）（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形．請(qǐng)你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個(gè)黃金三角形ABC．（注：直尺沒(méi)有刻度！作圖不要求寫(xiě)作法，但要求保留作圖痕跡，并對(duì)作圖中涉及到的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注）【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；黃金分割．【專題】作圖題．【分析】（1）利用位置數(shù)表示出AB，AC，BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)底與腰之