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2024屆北京市房山區(qū)周口店中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中所對的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.2.已知三棱錐且平面,其外接球體積為()A. B. C. D.3.直三棱柱中,,,則直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.4.圓心為且和軸相切的圓的方程是()A. B.C. D.5.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點(diǎn),且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.6.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②7.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.28.已知的內(nèi)角的對邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.()A. B. C. D.10.在中,在邊上滿足,為的中點(diǎn),則().A. B. C. D.11.若函數(shù)滿足,且,則的最小值是()A. B. C. D.12.設(shè),則關(guān)于的方程所表示的曲線是()A.長軸在軸上的橢圓 B.長軸在軸上的橢圓C.實(shí)軸在軸上的雙曲線 D.實(shí)軸在軸上的雙曲線二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形中,點(diǎn),是橢圓短軸的兩個端點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.14.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若,則____.15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,,(且),則__________.16.如圖,在正四棱柱中,P是側(cè)棱上一點(diǎn),且.設(shè)三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時,證明;(Ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn),設(shè)函數(shù),當(dāng)時,試判斷的零點(diǎn)個數(shù).18.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的面積.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線的極坐標(biāo)方程為,射線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并指出是何種曲線;(Ⅱ)若射線與曲線交于兩點(diǎn),射線與曲線交于兩點(diǎn),求面積的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;(2)求證:(,且).21.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且.22.(10分)山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目成績組成,總分為750分.其中,統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語,自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目,語、數(shù)、外三科各占150分,選考科目成績采用“賦分制”,即原始分?jǐn)?shù)不直接用,而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級。參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計(jì)入考生總成績時,將A至E等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.舉例說明.某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分,該學(xué)科C+等級的原始分分布區(qū)間為58~69,則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬C+等級.而C+等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61~70,那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為:設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級分為x,69-6565-58=70-x四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?7.(1)某校高一年級共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進(jìn)行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布ξ~N(60,12(i)若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分,等級為B+,其所在原始分分布區(qū)間為82~93,求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績;(ii)求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取4人,記X表示這4人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.682
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進(jìn)而求解.【詳解】由題,因?yàn)?所以,設(shè),則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.3、A【解析】
設(shè),延長至,使得,連,可證,得到(或補(bǔ)角)為所求的角,分別求出,解即可.【詳解】設(shè),延長至,使得,連,在直三棱柱中,,,四邊形為平行四邊形,,(或補(bǔ)角)為直線與所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可,屬于中檔題.4、A【解析】
求出所求圓的半徑,可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解,一般求出圓的圓心和半徑,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
連接,使交于點(diǎn),連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn),在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點(diǎn),且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.6、C【解析】
①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個共點(diǎn)側(cè)面時.【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時,不正確;②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確;③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個共點(diǎn)側(cè)面時,不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除,屬于簡單題目.7、A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由,化簡得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?,所以,又由余弦定理,?dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡,余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.9、A【解析】
分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由,可得,,再將代入即可.【詳解】因?yàn)椋?,?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由推導(dǎo)出,且,將所求代數(shù)式變形為,利用基本不等式求得的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足,,即,,,,即,,則,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.,由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,當(dāng)時,取得最小值.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.12、C【解析】
根據(jù)條件,方程.即,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.【詳解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線,
故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上,然后設(shè)出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo),進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo),再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,直徑為,又A、C關(guān)于x軸對稱,所以圓心E在x軸上,設(shè)圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標(biāo)為,又B、D中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題,考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo),是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、【解析】
由,,成等差數(shù)列,代入可得的值.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:,,成等差數(shù)列,可得:,代入,可得:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),相對不難.15、【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,進(jìn)而求得,再利用對數(shù)運(yùn)算求得的值.【詳解】由于,,所以,則,∴,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè)正四棱柱的底面邊長,高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】解:設(shè)正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查柱體、錐體的體積計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)令,;則.易得,.即可證明;(Ⅱ),分①,②,③當(dāng)時,討論的零點(diǎn)個數(shù)即可.【詳解】解:(Ⅰ)令,;則.令,,易得在遞減,在遞增,∴,∴在恒成立.∵在遞減,在遞增.∴.∵;(Ⅱ)∵點(diǎn),點(diǎn),∴,.①當(dāng)時,可知,∴∴,,∴.∴在單調(diào)遞增,,.∴在上有一個零點(diǎn),②當(dāng)時,,,∴,∴在恒成立,∴在無零點(diǎn).③當(dāng)時,,.∴在單調(diào)遞減,,.∴在存在一個零點(diǎn).綜上,的零點(diǎn)個數(shù)為1..【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題,考查了分類討論思想,屬于壓軸題.18、(1)(2)【解析】
(1)先消去參數(shù),化為直角坐標(biāo)方程,再利用求解.(2)直線與曲線方程聯(lián)立,得,求得弦長和點(diǎn)到直線的距離,再求的面積.【詳解】(1)由已知消去得,則,所以,所以直線的極坐標(biāo)方程為.(2)由,得,設(shè),兩點(diǎn)對應(yīng)的極分別為,,則,,所以,又點(diǎn)到直線的距離所以【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與曲線的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(Ⅰ),曲線是以為圓心,為半徑的圓;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的普通方程,由此能求出曲線的極坐標(biāo)方程.(Ⅱ)令,,則,利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡,再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍;【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數(shù))化為普通方程為,整理得曲線是以為圓心,為半徑的圓.(Ⅱ)令,,,,面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法,考查三角形的面積的求法,考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(1)1;(2)見解析【解析】
(1)分別求得與的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值;(2)由(1)可知當(dāng)時,,當(dāng)時,,因而,構(gòu)造,由對數(shù)運(yùn)算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時,函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),而,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,.∴∴即,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,放縮法在證明不等式中的應(yīng)用,屬于難題.21、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo),可得(1),(1),結(jié)合已知切線方程即可求得,的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)可得,,再構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則(1),(1),故曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,又曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,,;(2)證明:由(1)知,,則,令,則,易知在
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