著名機(jī)構(gòu)八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假班講義-05-整式方程-教師版

初二數(shù)學(xué)寒假班（教師版）

教師日期

學(xué)生

課程編號(hào)課型同步/專題

課題一元整式方程

教學(xué)目標(biāo)

1.知道整式方程的概念；會(huì)解含有一個(gè)字母系數(shù)的一元一次方程與一元二次方程

2.知道高次方程的概念；會(huì)用換元法解雙二次方程，會(huì)用因式分解的方法解某些簡(jiǎn)單的高

次方程

3.能夠?qū)帜竻?shù)的方程進(jìn)行分類討論

教學(xué)重點(diǎn)

1.特殊的高次方程的解法

2.含字母參數(shù)的方程的解法

教學(xué)安排

版塊時(shí)長(zhǎng)

1含字母的一元一次方程20分鐘

2含字母的一元二次方程30分鐘

3特殊的高次方程40分鐘

4課堂練習(xí)30分鐘

一元整式方程

模塊一：含有字母的一元一次方程

知識(shí)精講

1、一元整式方程的概念

方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式.

2、解一元一次方程的方法

方程中未知數(shù)系數(shù)都是數(shù)字，將未知數(shù)字母系數(shù)化成1;

方程中含有字母參數(shù)時(shí),確定未知數(shù)最高次數(shù)是否為零,從而進(jìn)行分類討論,方法如下:

一元一次方程ax+b=O

當(dāng)awO,bwO時(shí)，方程有唯一解;

當(dāng)a#0,〃=0時(shí)，方程無(wú)解;

當(dāng)a=0,8=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解.

例題解析

【例1】判斷下列關(guān)于X的方程，哪些是一元整式方程.

①-V5X2+6=--；②3。2尤+5-x=9；@x3+x--=O;④7x-8y=0；

3x

⑤2f+/x-7=0；⑥區(qū)5+上

-2x-7=0Sxl).(〃、6為常數(shù))

2b-\

【難度】★

【答案】①⑤⑥.

【解析】根據(jù)一元整式方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，

可知①⑤⑥為一元整式方程，②為無(wú)理方程，錯(cuò)誤；③為分式方程，錯(cuò)誤；④含有兩個(gè)

未知數(shù)，是二元方程，錯(cuò)誤；綜上所述，①⑤⑥為一元整式方程.

【總結(jié)】考查一元整式方程的概念.

【例2】如果關(guān)于x的方程(a-2)x=b-3只有一個(gè)根x=0,則a；b=.

【難度】★

【答案】*2，3.

【解析】方程僅有一根為x=0,則有。一3=0且a—2工0,得：力2,b=3.

【總結(jié)】考查方程ar=6僅有一根的情況，必有awO.

【例3】已知關(guān)于x的方程|x-3Z=5(xd)+l的解是負(fù)數(shù)，求k的取值范圍.

【難度】★

【答案】k<-.

2

【解析】解方程得：》=生臺(tái),方程解為負(fù)數(shù)，即*=竺匚<0,得：k<~.

13132

【總結(jié)】考查方程解得意義，先解方程，再根據(jù)題目要求求解.

【例4】如果關(guān)于x的方程2x+l=a(5-x)無(wú)解，那么。=.

【難度】★★

【答案】-2

【解析】整理方程得(a+2)x=5a-l,方程無(wú)解，則有。+2=0且5a-l30,得。=-2.

【總結(jié)】考查方程ar=b無(wú)解的情況，則有a=0,b^O.

【例5】解關(guān)于x的方程：

(1)znr—4x=6；(2)ax+h2=hx+a2(a(3)ax+b=cx+d.

【難度】★★

【答案】略.

【解析】(1)整理方程得(機(jī)-4)x=6,由此進(jìn)行分類討論：

當(dāng)加一4=0,即利=4時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)加一4工0,即加工4時(shí)，方程解為x=—9—；

〃2—4

(2)整理方程得(a-b)x=cJ之，由aw-得a-bwO,貝U方程解為x=〃+。；

(3)整理方程得(a-c)x=d-6,由此進(jìn)行分類討論：

當(dāng)a—c=O且d—b/0,即。=c且。wd時(shí)，方程無(wú)國(guó)軍；

當(dāng)a—c=0且d—b=0,即。=。且8="時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；

當(dāng)a-c、/O,即〃wc時(shí)，方程解為x=.

a-c

【總結(jié)】考查解含有字母系數(shù)的一元一次方程，注意分類討論.

【例6】關(guān)于x的方程癖+4=3%-〃，分別求租、九為何值時(shí)，原方程：

(1)有唯一解；(2)有無(wú)數(shù)多解；(3)無(wú)解.

【難度】★★

【答案】(1)〃?工3,〃為任意數(shù)；(2)加=3且〃=—4；(3)機(jī)=3且〃工-4.

【解析】方程整理成一般形式即為(3-w)x=〃+4,由此進(jìn)行分類討論：

(1)當(dāng)3—機(jī)字0,即加。3時(shí)，方程有唯一解；

(2)當(dāng)3-m=0且〃+4=0,即〃=23且〃?時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；

(3)當(dāng)3—6=0且〃+4W0,即m=3且〃工-4時(shí)，方程無(wú)解.

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元一次方程，注意分類討論.

【例7】已知無(wú)論憶取何值，A2總是關(guān)于x的方程在士=1-土衛(wèi)的解，求〃、人的值.

23

【難度】★★★

【答案】a=—,b=3

3

【解析】x=2總是方程的解，即滿足方程，代入可得如史二1一主：如，化作關(guān)于左的方

23

程可整理得(6-加伙=2-3々，無(wú)論攵取何值，式子都成立，可視作這個(gè)關(guān)于攵的方程

7

有無(wú)數(shù)解?，由此可得6—2/?=0且2—3。=0,得。=—,b=3.

3

【總結(jié)】考查恒成立問題，可視作相應(yīng)方程有無(wú)數(shù)解.

【例8】解關(guān)于x的方程：4a-2x=ax+—.

a

【難度】★★★

【答案】略.

4/72-2

【解析】整理方程得（a+2）x=三，，由題意可得。聲0,由此進(jìn)行分類討論：

An2-9

當(dāng)々+2=0時(shí)，必有竺0,即〃=-2時(shí)，方程無(wú)解；

a

2

Aa_?

當(dāng)。+2工0,即。工一2且。工0時(shí)，方程解為x=—----.

a2+2a

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元一次方程，注意分類討論.

【例9】當(dāng)“，匕滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x、y的方程組（7+"'=：有唯一解?無(wú)數(shù)解?

[3x+by=6

【難度】★★★

【答案】當(dāng)"/6時(shí)方程組有唯一解，a=±且6=4時(shí)方程組有無(wú)數(shù)解.

2

【解析】①勸-2x②，得（ab-6）x=3匕-12,由此進(jìn)行分類討論：

當(dāng)6H0,即訪片6時(shí)，x有唯一解，則方程組有唯一解；

當(dāng)訪-6=0且3〃-12=0,即。=」且人=4時(shí)，x有無(wú)數(shù)解，即方程組有無(wú)數(shù)解.

2

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的二元一次方程組，化作一元一次方程進(jìn)行分類討論.

模塊二含有字母系數(shù)的一元二次方程,

⑥）知識(shí)精講

1、含有字母系數(shù)的一元二次方程的解法

方程中未知數(shù)系數(shù)都是數(shù)字，用開平方法、配方法、因式分解法、公式法解方程;

方程中含有字母參數(shù)時(shí)，確定未知數(shù)最高次數(shù)是否為零，從而進(jìn)行分類討論.

例題解析

【例10】已知(汴-〃?-2]+〃a+3=0是關(guān)于X的一元二次方程，則機(jī)的取值范圍是().

A.m^-\B.m^2C.加中一1且D.一切實(shí)數(shù)

【難度】★

【答案】C

【解析】方程是一元二次方程，則必有-，"-2=(帆-2)("?+1)/0,得加工一1且加二2,

故選C.

【總結(jié)】考查一元二次方程的定義，二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

【例11]若關(guān)于X的方程，+(2w?+l)x+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求機(jī)的取值范圍.

【難度】★

【答案】m>―^且相K0.

4

【解析】方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，方程為一元二次方程，則有二次項(xiàng)系數(shù)1=0,且有方程根

的

判別式△=(2，〃+1)~-4”，=4/TZ+1>0,即得”?>且加片0.

【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式，注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的前提條件.

【例12】已知關(guān)于x的方程依2-4履+%-5=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求上的值并解這個(gè)方

程.

【難度】★

【答案】k=-1,方程解為X1=七=2.

【解析】方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程為一元二次方程，則有二次項(xiàng)系數(shù)&工0,且有方

程根的判別式A=(-4Z)2-4h(k-5)=4k(3Z+5)=0,即得2=-|,此時(shí)方程即為

22

--x+—x-—=0,整理得：--(X-2)=0,解得：X,=X2=2.

3333V'-

【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式的運(yùn)用，注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的前提條件.

【例13］若關(guān)于x的方程(病-1*-2(加+2卜+1=0有實(shí)數(shù)根，求，〃的取值范圍.

【難度】★★

【答案】m>--.

4

【解析】當(dāng)/7=0,即6=±1時(shí)，方程為一元一次方程，必有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)4-1W0,即加片±1時(shí)，方程為一元二次方程，方程有實(shí)數(shù)根，則有A=〃-4acN0,

即［-2(〃?+2)1一4(〃，-l)=16m+20>0,得相上-;且加工±1；

綜上所述，機(jī)的取值范圍為心之-』.

4

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的方程與一元二次方程根的判別式的結(jié)合應(yīng)用，由于本題中并未

說明是什么方程，因此要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論.

【例14】求"為什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程陋-1)/-6》+3=0①有實(shí)數(shù)根；②沒有實(shí)數(shù)根.

【難度】★★

【答案】①根44；②加>4.

【解析】①當(dāng)m-1-O,即帆=1時(shí)，方程為一元一次方程，必有實(shí)數(shù)根；當(dāng)工0,即加工1

時(shí)，方程為一元二次方程,方程有實(shí)數(shù)根，則有△=(-6)2-12(,"-1)20,得加44且〃件1；

綜上，機(jī)的取值范圍為加44；

②方程沒有實(shí)數(shù)根，則有△=(-6y-12(,"-l)<0,得〃?>4.

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的方程與一元二次方程根的判別式的結(jié)合應(yīng)用，由于本題中并未

說明是什么方程，因此要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論.

【例15］解關(guān)于x的方程：

(1)t>x2+4=0；(2)(x-a)2=(a+l>y；(3)(a-2)x=a2-4.

【難度】★★

【答案】略.

【解析】(1)Z?>00,t,方程無(wú)解；Z?<0時(shí)，得/=—士，得：%,=—\f—b>x,=——y/^b;

bhh

(2)直接開平方法得x-a=±(a+6),解得：Xy=2a+b,x2=-b\

(3)當(dāng)a-2=0,即“=2時(shí)，必有〃一4=0,方程有無(wú)數(shù)解；

當(dāng)a—2片0,即a/2時(shí)，方程有唯一解x=a+2.

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元二次方程根的求解，注意分類討論.

【例16]解關(guān)于x的方程：

(1)(〃2—l)f-(8m-3)x+15m=0；

(2)x2+2px+g=0(〃2>夕)

?

(3)6-hx2=x2+2(Z?—1).

【難度】★★

【答案】略.

【解析】(1)當(dāng)機(jī)一1=0,即小=1時(shí)，原方程即為—5x+15=0,解得：x=3；

當(dāng)機(jī)-1工0,即機(jī)工1時(shí)，方程為一元二次方程，分解因式得[(m-l)x-5"?](x-3)=0,

解得：石=5。,9=3；

(2)配方法得f+2px+p2=p2一q,即(x+=p2一4,由〃2>q,W-<7>0,

則有x+p=±Jp--q,解得：％=~P+，p~-q，W——p-Rp--q;

(3)整理方程得3+l)f=4,由此可得b+lvO,即匕<一1時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)匕+1>0,即匕>一1時(shí)，則有/=/一,解得：占=二一屈方，X=--L歷1.

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元二次方程形式的方程與方程根的判別式的結(jié)合應(yīng)用，注意

對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論.

【例17】用適當(dāng)?shù)姆椒ń怅P(guān)于x的方程：

-Z?2)%2+2(a?+方2)%+(42一〃2)=o(〃+人工0,a-h^O).

【難度】★★★

【答案】王=生吃，x,=j.

b-a~a+b

【解析】對(duì)該方程用分解因式可得[(〃-0)X+(〃+/2)][(〃+〃)X+(。-〃)]=()，則有

(〃-/?)X+(〃+。)=0或(〃+/?卜+("/?)=0,由且a-bwO,

由此即可解得方程的根為：x,=—,w=j.

b-a~a+b

【總結(jié)】考查用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?，本題注意觀察各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系，即可得分

解因式進(jìn)行求解.

模塊三：特殊的高次方程

知識(shí)精講

1、二項(xiàng)方程的概念

二項(xiàng)方程：一邊只含有未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是0的一元〃次方程；

2、二項(xiàng)方程的解法

關(guān)于x的一元〃次二項(xiàng)方程的一般形式：ax"+b=O(a^Q,"0,〃是正整數(shù))

該方程的根的情況是：

〃為奇數(shù)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

”為偶數(shù)時(shí)，若扇＜0,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為相反數(shù)；若而＞0,那

么方程沒有實(shí)數(shù)根.

3、雙二次方程的概念

雙二次方程：只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程.

4、雙二次方程的解法

換元法解關(guān)于x的雙二次方程：ax4+bx2+c=0(＜z0)

步驟：

①換元，用新未知數(shù)y代替方程中的同時(shí)用尸代替父，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的

—元二次方程：ay2+by+c=0；

②解一元二次方程：ay2+by+c=0；

③回代.

5、特殊高次方程的解法

對(duì)于某些特殊的高次方程，先將方程化為一般式，可嘗試將方程左邊分解因式，轉(zhuǎn)化為

一元一次方程或者一元二次方程來(lái)解.

例題解析

【例18］下列方程中，不是二項(xiàng)方程的為()

A.X5=1B.x6=xC.3X3+-=0D.X4+16=0

9

【難度】★

【答案】B

【解析】根據(jù)二項(xiàng)方程的定義，方程中只能含有一個(gè)未知項(xiàng)，B選項(xiàng)中含有兩個(gè)未知項(xiàng)，不

滿足二項(xiàng)方程的條件，故選B.

【總結(jié)】考查二項(xiàng)方程的判斷.

【例19】下列方程中，0X4-3X2-10=0；②/一6X2=0；③^一12%+16=0；

④^-6%2+5=%2+1,是雙二次方程的是.

【難度】★

【答案】①

【解析】根據(jù)定義，只含有偶次項(xiàng)的一元四次方程是雙二次方程，可知①是雙二次方程，②

中沒有常數(shù)項(xiàng)，不是；③是含有奇次項(xiàng)的二次方程，不是；④是二次方程，不是.

【總結(jié)】考查雙二次方程的判斷，根據(jù)定義把握相關(guān)要點(diǎn).

【例20］解關(guān)于x的方程：

(1)x，=16；(2)-64=0;

(3)5(5-2x)4=125；(4)(x+2)3+8=0.

【難度】★★

【答案】(1)%,=2.%=—2；(2)%=5,X,=—3；(3)>x2=；

(4)x=-4.

【解析】(1)開平方得*2=4,即可解得：x,=2,甚=-2；

(2)開平方得(x-l>=16,則有x—1=±^,即可解得：4=5,毛=-3；

(3)開平方得(5-2X)2=5,貝I」有5-2x=土石，即可解得占=笞叵，甚=智5；

(4)(x+2)3=-8=(-2)',即可得x+2=—2,解得x=T.

【總結(jié)】考查形如二項(xiàng)方程形式的高次方程的求解.

【例21］解關(guān)于x的方程：

(1)X4+X2-2=0；(2)4x4=16x2.

【難度】★★

【答案】(1)x,=1,%=—1；(2)玉=》2=0,%,=2>x4=—2.

【解析】(1)令V=。匕20),原方程即為42+“-2=0,因式分解法解得q=-2,a2=\,

由即得”=*2=1,解得：X,=1>Xj=-1；

(2)令』="(420),原方程即為4a2=16a,因式分解法解得：4=0,a2=4,

則有。=*2=0或4,解得：玉=*2=0，x}=2,x4=—2.

【總結(jié)】考查解高次方程中“換元”思想的應(yīng)用.

【例22］解下列關(guān)于x的方程：

(1)(X2-X)2-8(X2-X)+12=0；(2)(6X+7)4-(6X+7)2-72=0.

【難度】★★

2S

【答案】(1)Xj=—1,x2=29七=—2,x4=3；(2)x］=——?x2=——.

【解析】(1)令V-x=。，原方程即為/一8。+12=0,因式分解法解得4=2,%=6,

即得a=Y—x=2或6,解得：Xj=-1,x2=2,曰=-2,x4=3；

2

(2)令(6x47)=ad{>0),原方程即為/—(2—72=0,因式分解法解得4=-8,a2=99

由〃之0,則有〃=(6x+7)~=9,解得:玉=一：，x>=-.

【總結(jié)】考查解高次方程中“換元”思想的應(yīng)用.

【例23】已知實(shí)數(shù)x滿足(Y——耳―12=0,求代數(shù)式f—x的值.

【難度】★★

【答案】6.

【解析】令爐―工=。，原方程即為4。-12=0,因式分解法解得q=-2,%=6,但若

a=x2-x=-2,此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根,應(yīng)舍去，即得4=幺一%=6.

【總結(jié)】考查解高次方程中“換元”思想的應(yīng)用，注意相應(yīng)的取值范圍.

【例24］解關(guān)于x的方程：

(1)V-5X2=X_5;(2)(^-2)(%-1)=2.

【難度】★★

【答案】(1)X,=1,Xj=—1?x3=5；(2)JC,=0,x2=—1,x3=2.

【解析】(1)移項(xiàng)分解因式得(x-l)(x+l)(x-5)=0,解得：x,=l,x2=-l,x,=5；

(2)多項(xiàng)式展開即為d—V—2x=0,分解因式得x(x-2Xx+l)=0,

解得：g=0,與=—1,x3=2.

【總結(jié)】考查用因式分解法解簡(jiǎn)單的高次方程.

【例25］解關(guān)于x的方程or"+2=4.

【難度】★★★【答案】略.

【解析】移項(xiàng)整理得：axn=4-b,由此分類討論：①當(dāng)。=0且4一6=0,即。=0且6=4

時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；②當(dāng)a=0且4-6x0,即a=0且6x4時(shí)，方程無(wú)解；③當(dāng)awO時(shí)，

則有下=七心，則當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，方程解為眨：④當(dāng)〃為偶數(shù)且生心20時(shí),

aVaa

方程解為占々=-《歸5；⑤當(dāng)”為偶數(shù)且生心＜o(jì)時(shí)，方程無(wú)解.

VaVaa

【總結(jié)】考查一般形式的高次方程的根，注意分類討論思想的應(yīng)用.

【例26］解方程：(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+l=0.

【難度】★★★

【答案】%=帶叵，%=三」!.

【解析】第一個(gè)與第四個(gè)相乘，第二個(gè)與第三個(gè)相乘，

貝ij有(￥+5工+4)(爐+5X+6)+1=0,

整理得(x2+5x)2+10(x2+5x)+25=0,

即為(丁+5%+5)2=0,得d+5x+5=0,

解得:斗25-75.

22

【總結(jié)】考查解較復(fù)雜高次方程中整體思想的應(yīng)用，通過整式乘法構(gòu)造相同的項(xiàng)，再利用換

元法通過降次進(jìn)行求解.

【習(xí)題1】判斷下列關(guān)于X的方程，哪些是整式方程？

,11o

(1)X3+2X2-3=0；(2)5b+3x=2x--i(3)^r^=1；

5242

(4)X-64=0；(5)XH■—=a+2;(6)X+6X+9=0

X

【難度】★

【答案】(1)、(2)、(4)、(6).

【解析】方程兩邊是整式的方程是整式方程，(1)、(2)、(4),(6)滿足條件，(3)、(5)方

程兩邊有分式，是分式方程.

【總結(jié)】考查整式方程的判斷，滿足方程兩邊都是整式即可.

【習(xí)題2】判斷下列方程是不是二項(xiàng)方程？

(1)2?-3=0；(2)爐+*=0；(3)/=9；

(4)f+x=5；(5)x+-=2；(6)x4+9=0

【難度】★

【答案】(1)、(3)、(6)是二項(xiàng)方程，(2)、(4)、(5)不是.

【解析】根據(jù)二項(xiàng)方程的定義，二項(xiàng)方程中只能含有一個(gè)未知項(xiàng)的整式方程，(2)、(4)有

兩個(gè)未知項(xiàng)，(5)是分式方程，不滿足二項(xiàng)方程的條件，(1)、(3)、(6)是二項(xiàng)方程.

【總結(jié)】考查二項(xiàng)方程的判斷.

【習(xí)題3】解關(guān)于x的方程時(shí)，下列說法中錯(cuò)誤的是()

A.當(dāng)。=0,6=0[1寸，方程有無(wú)數(shù)多解

B.當(dāng)〃為奇數(shù)且〃片0時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.當(dāng)"為偶數(shù)且a=0,時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根

D.當(dāng)〃為偶數(shù)且ax0,。＞0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

【難度】★

【答案】D

【解析】”為偶數(shù)且a*0時(shí)，此時(shí)有x"=2,必須滿足介20時(shí)，方程有兩實(shí)數(shù)根，可知D

錯(cuò)誤，故選D.

【總結(jié)】考查二項(xiàng)方程根的情況的判斷.

【習(xí)題4】關(guān)于x的方程2以一3=5%-4〃有無(wú)數(shù)解，則加=；n=.

【難度】★

【答案】2,3.

24

【解析】整理方程即為(2m-5卜=3-4〃，方程有無(wú)數(shù)解，則有2m-5=0,3-4〃=0,

解得：m=-yn=—.

24

【總結(jié)】考查方程公=〃有無(wú)數(shù)解的條件.

【習(xí)題5】關(guān)于x的方程2a(x-l)=(5-a)x+3〃無(wú)解，求。、b的取值范圍.

【難度】★★

【答案】?=-,*9

39

【解析】整理方程即為(3“-5)x=36+2a,方程無(wú)解，則有3。一5=0,3Z?+2a/0,

解得：a=—>b——a=——.

339

【總結(jié)】考查方程or無(wú)解的條件.

【習(xí)題6］已知關(guān)于x的方程(a-l)x=〃+l

(1)a,人滿足什么條件時(shí)，方程有一個(gè)解？

(2)a,b滿足什么條件時(shí)，方程無(wú)解？

【難度】★★

【答案】(1)a/1：(2)a=l且匕工―1.

【解析】(1)當(dāng)a-1=0,即awl時(shí)，方程有唯一解；

(2)當(dāng)a—1=0且6+1X。，即a=l且1時(shí)，方程無(wú)解.

【總結(jié)】考查方程依=。解的情況的分類討論.

【習(xí)題7］已知關(guān)于x的方程"-。=2%-3

【難度】★★

【答案】略

【解析】方程整理成一般形式即為(a-2)x=b-3,由此進(jìn)行分類討論：當(dāng)。一2工0,即。工2

時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)。-2=0且。-3=0,即a=2且6=3時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；

當(dāng)。-2=0且匕-3工0,即a=2且3時(shí)，方程無(wú)解.

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元一次方程，注意分類討論.

【習(xí)題8】解下列關(guān)于x的方程:

(1)3x+a=5x—b；(2)^a-x)kr-a=(b^+l)x+加.

(3)mx2+nx=O(w?^O)；(4)fee2+1=2bx2,

【難度】★★

【答案】(1)x=—:(2)x=一一^―；(3)司=0,x,=--：(4)略.

22b2+\m

【解析】(1)移項(xiàng)得2x=“+b,解得：x=j；

a

(2)展開移項(xiàng)整理方程得(2〃2+1)x=—a,由2Z?2+1w0,解得:x----z--

2b2+\

(3)分解因式得工(如十幾)=。，由加工0,解得：x=0,=--；

m

(4)整理方程得取2=1,由此進(jìn)行分類討論：當(dāng)力＜0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)人＞0時(shí)，則

有人分方程解為：3邛，L系.

【總結(jié)】考查方程根的求解，注意分類討論.

【習(xí)題9】解下列關(guān)于x的方程：

(1)(x+6)4=16；(2)，+2X+1)3=27；

【難度】★★

【答案】(1)%,=-4,9=—8；(2)X[=—1+G,x2=—\—\[3.

【解析】(1)開平方得(x+6『=4,得X+6=±2,即可解得：%=-4,%=一8；

2

(2)(x?+2x+1)=27=3,,即可得x+2x+1=3=(x+1],解得：x,=—1+拒,x2=—1—6.

【總結(jié)】考查形如二項(xiàng)方程形式的高次方程的求解.

【習(xí)題10］解下列關(guān)于x的方程：

(1)2x2+(3m-n)x-2m2+3mn-n2=0；

(2)(k+^x1-2(k-3)x+k=O(k<^SJc^-\\

【難度】★★

r處安1(1m—nk-3+M-7kk-3-\j9-7k

L答案】(1)x,=----,x=n-2m；(2)%=------------,=-----------.

1211k+\Z+l

【解析】(1)因式分解，得:(2x-w+n){x-n+2/w)=0,

得：.="[〃，工2=〃一2機(jī)；

(2)kw-l,則有)t+lwO,方程為一元二次方程，a=k+l,6=-24+6,c=k,

則有△=/-4ac=(-2A+6)2-4(k+l)A=-28k+36,由無(wú)<；,

可得△=-28左+36>0,

八+*rrz2k_6+A/Ak—3+,9—IkIk—6+>/Ak—3—>/9-7k

公式法解得Q：x=——-———=------------,x=——-_不一=-------------.

l12(2+1)&+12~2伏+1)k+\

【總結(jié)】考查含有字母的一元二次方程的解法，注意觀察題目條件和相應(yīng)系數(shù)，選取適當(dāng)?shù)?/p>

解法求解方程.

【習(xí)題11】在二元一次方程組【：x+"‘+l=°中，當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，這個(gè)方程組有無(wú)數(shù)組解?

[6x+my+3=0

【難度】★★★

【答案】m=9.

【解析】①x3—②，得：(9-機(jī))y=0,由此可得當(dāng)9—帆=0,即%=9時(shí)，y有無(wú)數(shù)解，

即方程組有無(wú)數(shù)解，故m=9.

【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的二元一次方程組，化作一元一次方程進(jìn)行分類討論.

【習(xí)題12】根據(jù)。的取值范圍，討論奴2+26+。=21+1的根的情況.

【難度】★★★

【答案】略.

【解析】整理方程得這2+(2a-2)x+a-l=0,由此進(jìn)行分類討論：

當(dāng)a=0時(shí)，方程為一元一次方程-2x-l=0,即方程有唯一解x=-1；

2

當(dāng).0時(shí)，方程為一元二次方程，A=(2a-2)2-4a(<z-l)=-4a+4,

由此則有4=^^+4>0,即且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)八=-4〃+4=(),即a=l時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：

當(dāng)△=4+4<0,即a>l時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

【總結(jié)】考查方程根的判斷，注意根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為。和方程根的判別式分類討論.

課后作業(yè)

【作業(yè)1】判斷下列關(guān)于X的方程，是整式方程的是（）

[XX2+]

A.ax-\—=1；B.x'H—=5；C.ax2+x=\[x:D.----------F1=x.

xax

【難度】★

【答案】B

【解析】根據(jù)相應(yīng)方程的定義，可知A、D是分式方程，C是無(wú)理方程，故選B.

【總結(jié)】考查方程類型的判斷，把握關(guān)鍵定義.

【作業(yè)2】下列方程是二項(xiàng)方程的是（）.

A.x3-5x=0B.\/3x-9=0C.7x-_y=0D.x3-9=0

【難度】★

【答案】D

【解析】根據(jù)二項(xiàng)方程的定義，二項(xiàng)方程是方程中只能含有一個(gè)未知項(xiàng)的一元整式方程，A

選項(xiàng)中含有兩個(gè)未知項(xiàng)，B選項(xiàng)是無(wú)理方程，不是整式方程，C選項(xiàng)是二元方程，故選D.

【總結(jié)】考查二項(xiàng)方程的判斷.

【作業(yè)3】當(dāng)機(jī)時(shí)，方程（3-利次=〃?（27）-1是關(guān)于X的一元二次方程.

【難度】★

【答案】#3.

【解析】方程是一元二次方程，必有二次項(xiàng)系數(shù)3-〃?w0,得相*3.

【總結(jié)】考查一元二次方程的條件是二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

【作業(yè)4]己知（“+3》=/-從的解為x=a—6,則“、〃的關(guān)系是.

【難度】★

【答案】a+b^0.

【解析】方程有唯一解，可知。+6工0,此時(shí)方程解為x==b滿足題意.

a+b

【總結(jié)】考查一元一次方程的唯一解條件是未知項(xiàng)系數(shù)不能為0.

【作業(yè)5】設(shè)關(guān)于x的方程a(x-")+b(x+6)=0有無(wú)窮多個(gè)解，則()

A.a+b=OB.a—b=O；C.ab—O；D.—=0

b

【難度】★★

【答案】A

【解析】整理方程可得(。+匕戶=〃2-/,方程有無(wú)窮多解，則有a+方=0,儲(chǔ)—/=o,

可知A選項(xiàng)a+b=0符合題意.

【總結(jié)】考查一元一次方程無(wú)數(shù)解的條件.

【作業(yè)6］若關(guān)于x的二項(xiàng)方程+m=0沒有實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是()

3

A.m<0；B.m<0；C.m>0；D.m>Q

【難度】★★

【答案】B

【解析】整理方程可得3m,方程沒有實(shí)數(shù)根，