高數(shù)期末復(fù)習(xí)（解答題）

一.極限與連續(xù)

導(dǎo)數(shù)與微分

sin4x

1.求極限嗎k_i

lim-^―(1-cosWcos2x)

2.

2._1_21

3sinx+xcos

3.求極限lim----------------------

X-。(1+cos%)ln(l+x)

1

1+X23-1

4.求極限勤工^

「tanx-x

件笛lim---------

5.vr導(dǎo)ioxsin"

「A/1—sinx—A/1—x

6.彳+菖hm----------------------

叮昇Dsin3x

7.求極限%jsinxx?+1—x

8.計算哩(新|嚴

XmT

9.求極限一。xln(l+3x)

1

io.指出函數(shù)＞=一二的間斷

1—X

點，并判別其類型.

71

----arctanx

2________

11.計算風(fēng).1

sin

x

Insinx

、工…lim

12.計舁z生(%—

2

71

4flimsin(-----x)tan3x

13.TT舁1—生6

6

11

求lim

14.x—>0ln(l+x)x

(X1)

Alim-------------

1O?—lInxJ

11

⑥計算噂(記二二I)

11

17.計算船。一口)

fl)

18.求極限吧

lim(-)tanx

19.計算Xf+0JQ

sinx

20.求極限li曾m+r%.

2

.、.「/si?nx、V一

21.求極限曾［丁J

Lcosi…

22.論函數(shù)/(')=%

0x=0

在X=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性O(shè)

23.論函數(shù)"%）=6

0x<0

在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性

Ji+%—1?

24.設(shè)函數(shù)/⑴=--“

0x<0

試討論/（X）在X=0處的連續(xù)

性及可導(dǎo)性.

25.設(shè)y=/0nx）,/二階可導(dǎo)，

d2y

求正

_arctanVx,

26.設(shè)y=e，求y

27.設(shè)廠1+商二求嚴）

28.設(shè)y=\三，求/)?

JL十X

29.設(shè)〉二拉“，求了⑺

30.設(shè)sinxy+ln(y—x)=羽求半L=o

ax

31設(shè)ysinx-cosQ-y)=0,求電

'""dx

32.已知e"+y歷x=cos2x,

dy

求瓦

33.已知*+yin%=cos2%,求

dy

dx-

設(shè)爐=V，求手

34.

以dx

設(shè)y=xS如，求y.

35.

(%—1)(%-2)步合

36.設(shè)產(chǎn)；(x-3)(x-4)，求dx，

x=l-t2，求玲，d2y

設(shè)

37.t3dxdx2

x=atcost求J,

設(shè)

38.y=atsvat'

d2y

dx2

39.求曲線x=sin/,y=cos2r

77

在"k處的切線及法線

的方程

x=ln(l+產(chǎn))^d2y

40.設(shè)，2-

y=t-arctanZdx'

41,求常數(shù)使函數(shù)

e_axx<0

?。?>°在(-8,+8)內(nèi)可微.

b(l—x2

42.求常數(shù)Q,b,使

|*%<0

/(x)=

Z?(l-%2)%>0

I

在（-8,+8）上可微.

43.設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)函

數(shù)，/（0）=0,/'（。）=3,若

f(x)+2sinx八

尸⑴-％八在x=0處

A%=0

連續(xù)，求A的值

44.設(shè)函數(shù)"%)=J…且

1x=0

/（x）,0（x）在點x=0處均連

續(xù)，求9（。）及。（。）

三、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1-設(shè)/（X）在［。,上可導(dǎo)，證

明存在j￡（0,?），使得

/'C)sinJ+/C)cosJ=0

2.當(dāng)X>0時，證明：

x<ex-1<xex

3.當(dāng)X>。時，證明:

arctanx

ln(l+%)>

1+x

4.當(dāng)X<1時，證明:

1

ex<

1-X

兀

5.證明當(dāng)x<一時,sinx+tanx>2x

2

6.求函數(shù)/（X）=X——的

極值

7.試確定〃，使

/(x)=qsinx+—sin3x，在

71

X二一處有極值，指出是極大

3

還是極小值，并求出此值

24、

設(shè)/(工應(yīng)［-1,1］上具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)=［sin

證明：在(-1,1)內(nèi)至少存在一點。使得g〃圖=0

24、證明

???小庵及［0,1世滿足羅爾定理的條件

至少有一G(-1,0),使廣低)=0

蜃￡(0,1),使/怎2)=。

同理在七&)u(-1,1)內(nèi)至少存在一點

使得g"怎)=0

8.求函數(shù)y=sinx+cosx在

［0,2乃］上的極值

16

9.求函數(shù)y=------1的極

x(4-x2)

值

10.求函數(shù)

f(X)=Y—%2—1+1在

[-1,2]上的最大最小值

11.求y=ln(l+%2)的拐點

22.討論函數(shù)y=6/-5x3的

性態(tài)，并作出圖形.

22、奇函數(shù)，

f'(x)=15x2(2x2-l),

%=0,%=土辛；

f"W=30x(4x2-l),

%=0,x=土3

列表作圖

23.描繪>=比—x的圖形

23.x=l（極大值點）；（2,Ze」）為拐

點；》=。為水平漸近線；

四、不定積分學(xué)

、?f廣％?+3x+47

1.計算J-------------dx

x—1

2.設(shè)

/!(cos2%)=sin2%

"0)=0,求/(x)

3.計算］—,dx

xj21nx+1

17

4.r.dx

17

5.f—Z------------dx

x2+4x+29

6.計算Jln(cosx)tanxdx

irA/X2—9,

7.計舁J---------dx

X

8.計算Jxarctanxdx

9.計算jxsin2xdx

、…「(lnx)2

10.計舁J2dx

x

11.已知/(x)的一個原函數(shù)為

xcosx求Jxf\x)dx

7X

、?,d+arcsin4x

13.計算］------尸------drx

4x

14.計算Je蕓dr

15.計算J%2cos2xdx

16.計算Je*sin^Jx

17

17.計算rJ-----------------dx

1+sinx+cosx

2

計算

18.vl-x

19.廣(e")=x+l,求/(x)

五、定積分及應(yīng)用

1.已知當(dāng)X〉。時，

1+2*/?)力=/,其中

連續(xù)，求/(2)

2.求常數(shù)a和b,使

[{at-arcsint)dt

lim二1

x->0b-cosx

3.設(shè)/(X)在(—8,+8)內(nèi)連

續(xù)且/(X)>0,證明

Vf⑴出

b(x)二在(0,+00)

If⑴出

內(nèi)為單調(diào)增加的函數(shù)

4.求使得

21；于⑺dx+f(x)-x-0

In2x7

5.----ax

1x

dx

xy/l+lnx

,41

7.計算dx

2+x—2

8.

1+x2,x<0

設(shè)/(x)=

e：x>0

9.計算貨^=dx

°11+V2x

10.計算K---(

Jol+VLxix

11」/-dx

X2A/1+X2

12.計算成去

13.計算，xarctanxdx

14.計算[；

p41nx

15.計算L正公

16.計算J：dx

17.計算J"Inx|dx

e

萬?

18.計算卜*cosxdx

19.計算J：sin(lnx)公：

20.已知/(2x+l)=x/，求

[lf{x}dx

21.設(shè)了“(X)連續(xù)，

"0)=1J⑺=3,求

J//(x)+/'(x)]sinxdx

22.計算

x^/l-Qnx)2

23.計算必；

yjX-X

iarcsin4x

dx

2

25.確定m,使直線y=mx和拋物

線y=2x—??所圍成區(qū)域面

積為36o

26.求拋物線＞2=2%與其上

過(2,2)處的法線所圍成平面

圖形的面積。

27.求拋物線y2=8x與其上

過(2,4)處的法線所圍成平面

圖形的面積。

28.求曲線y=f在區(qū)間(0,

1)內(nèi)的一條切線，使該切線與

直線x=0,x=l及曲線

y=V所圍成的面積最小。

29.求曲線>=S?in3X,

(0<X<7T)與x軸所圍成的

平面圖形的面積，并求該圖形

繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的

體積。

30.求由曲線y=%2+7及

>=3%2+5所圍圖形繞。乂軸

旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

31.求曲線y=lnx與其過原點的

切線及x軸圍成的平面圖形的

面積，并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)

成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

32.設(shè)在區(qū)間［0,1］上

給定函數(shù)y=/,問

/為何值時，圖中

陰影部分4與A2的

面積之和為最??？

何時為最大？

■

20.求擺線

|x=^-sinO>0,0<r<2^)

[y=a(l-cos，)

的拱的長度.

20、ds=2asin-dt

'Int

2asin—at-Sa

Jo2

28.解微分方程

(x+1)?-y=，(1+1)2

ax

29.解微分方程

y'+ycosx-esmx=0

，Lx

求方程滿足

30.y+Ay^y=i

y|x=i=°的特解

31.已知y"—5y'+6y=0,

1

求該微

2

分方程的特解。

32.

求微分方程y〃-4y'+4y=e2x的通解.

33.解微分方程