高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)(草稿)

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

基本考點(diǎn)

1.元素與集合的關(guān)系

x￡40xeCyA,xGCC!A=x仁A.

2.摩根公式

Cu(An8)=CuAUG,8；Cu(AU8)=CVA^CVB.

3.包含關(guān)系

An8=A=AU8=8A^BCb.BcC,.A

o40。心=①=CdUB=R

4.容斥原理

card(A\JB)-cardA+cardB-card(A^\B)

?card(A\JB\JC)=cardA+cardB+cardC-card(A0B)

-card(ADB)-card(BC\C)-card(CA)+card(AC\BC\C).

5.子集個(gè)數(shù)

集合｛%,4,…,4｝的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1個(gè);

非空的真子集有2"-2個(gè).

6.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

7.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有

都是不都是至多有?個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)至多有(〃-1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有(n+l)個(gè)

對(duì)所有X，存在某X,

成立不成立p或q\p且\(i

對(duì)任何X,存在某X,

不成立成立p且q—>p或「q

8.四種命題的相互關(guān)系

9.充要條件

(1)充分條件：若png,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若pnq,且qnp,則〃是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

常用結(jié)論

1.集合的元素具有無(wú)序性和互異性，確定性.

2.對(duì)集合A、B,4n8=0時(shí)，你是否注意到“極端”情況：A=0或8=0；求集

合的子集時(shí)是否注意到0是任何集合的子集、0是任何非空集合的真子集

3.對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依

次為2",2"-1,2"-1,2"-2.

4.“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即CHAnSuCuAUG*"；“并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交，即

Cu(A\jB)=CuAnClJB”.

5.判斷命題的真假

關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意："不'或'即'且'，不'且'即'或'".

6.“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假

即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”.

7.四種命題中“‘逆'者‘交換‘也"、"'否'者'否定'也”.

原命題等價(jià)于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià).反證法分為三步：假設(shè)、

推矛、得果.

注意：金題的宜定是“命題的韭j譴，也就是，條住丕變—僅查定經(jīng)武所得命題”，

但查命題是“既杳定箴翕題的條住作.為條他.X.杳定原琬如貓論作為統(tǒng)論儂讖施題?.

8.完齷條5條福S結(jié)論為莪引，結(jié)論五羹條5%必至

二、函數(shù)

基礎(chǔ)考點(diǎn)

1.二次函數(shù)的解析式的三種形式

⑴一般式/(x)=ax2+bx+c(aw0);

(2)頂點(diǎn)式/(x)=a(x-/z)2+k(aw0);

(3)零點(diǎn)式/(x)=?(x-xt)(x-x2)(a豐0).

2.解連不等式N<f(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

N<f(x)<Mo"(x)--N]<0

M+N,M-Nf(x)-N八

o"(x)—------1<------o---->0

22M-f(x)

11

0------------->-----------

f(x)—NM-N

3.方程/(x)=0在的，七)上有且只有一個(gè)實(shí)根,與/(匕)"火2)<0不等價(jià)，前者是后

者的?個(gè)必要而不是充分條件.特別地，方程以2+公+，=0(。工0)有且只有一個(gè)實(shí)根在

bk+k

(人,七)內(nèi)，等價(jià)于/(占)/(&)<0,或/(匕)=0且匕V——<」一，，或。(k2)=0且

2a2

%+攵2b.

-------二<-------<k?

22a2

4.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/(x)=分+以+c(a。0)在閉區(qū)間［p,q］上的最值只能在x=-幺處及區(qū)

2a

間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

L.方

⑴當(dāng)a>0時(shí)，若無(wú)=-^-e［p,q］，則f(x)1nm='(一y),/(二歐=皿｛f(P),f(4)｝；

2a2a

b

X=一五定[p，司，/(X)max=max{/(P)，/(4)}，/(?min=min{/(P)J⑷}?

b

(2)當(dāng)a<0時(shí),若x^-—e[p,q],則/(x)min=min{/(/?),/(^)},若

x=_.4p，q]'則f(x)max=max{/(p)J(q)},/Wmjn=min{/(p),/(^)}.

5.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/(加)/(〃)<(),則方程/(x)=0在區(qū)間(根,〃)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)/(x)=%+px+q,貝ij

p2-4”0

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(根,+8)內(nèi)有根的充要條件為/(能)=0或，p;

----->m

I2

/(n)>0

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(〃z,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(m)/(n)<0或(/？()

m<-—<n

I2

［/(/?)=0f/(n)=O

［af(n)>0>0

p2_的20

(3)方程/(x)=0在區(qū)間(-oo,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(〃2)<0或，p.

\--<m

I2

6.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(—8,+8)的子區(qū)間L(形如［%方］,(一8,4］,卜,+8)不同)上含參數(shù)

的二次不等式NO(f為參數(shù))恒成立的充要條件是/(3/號(hào)而>O(X^L).

(2)在給定區(qū)間(-00,+00)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/(XJ)20(f為參數(shù))恒成立

的充要條件是/(x,f)3〈0(xcL).

7.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)X］e力］H/那么

Ul-x2)[/(xl)-/(x2)]>0?/(斗)::e)>o=/(x)在1,句上是增函數(shù)；

再一x2

(占一々)[/(王)一/(々)]<0O也與<0o/(X)在[a，"上是減函數(shù).

玉一X2

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果

r*)<o,則(3為減函數(shù).

8.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減

函數(shù)；如果函數(shù)y=/(“)和"=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

y=〃g(x)]是增函數(shù).

9.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函

數(shù)是偶函數(shù).

10.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則f(x+a)=f(-x-a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函

數(shù)，則/(x+a)=/'(-x+a).

11.對(duì)于函數(shù)y=/(X)(xe于)，/(x+a)=(S-x)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸是

函數(shù)x=g2；兩個(gè)函數(shù)^二/(8+。)與,=f(b-x)的圖象關(guān)于直線x=應(yīng)”對(duì)稱(chēng).

12.若/(x)=—/(—x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(],())對(duì)稱(chēng)

13.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=a“￡+%_押~|+…+4的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)=P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)。P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

14.函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)。/(a+x)=/(a-x)

o/(2a-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線》=^^■對(duì)稱(chēng)=f(a+mx)=f(b-mx)

=于(a+b-ntx)=f(mx).

15.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(—x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對(duì)稱(chēng).

(2)函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y=f(b-mx)的圖象關(guān)于直線x=色也■對(duì)稱(chēng).

2m

(3)函數(shù)y=/。)和y=f-'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

16.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移6個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+b的圖

象；若將曲線/(x,y)=0的圖象右移。、上移b個(gè)單位，得到曲線/(x—a,y-b)=0的圖

?17.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)=bo『'(b)=a.

?18.若函數(shù)y=/(乙+6)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=-［/-'(x)-/＞］，并不是

k

＞=［廣|(求+6),而函數(shù)了=［廣|(京+①是＞=匕/(了)—們的反函數(shù).

k

19.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

(D正比例函數(shù)f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)=a\f(x+y)=f(x)〃y)J(l)="0.

⑶對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log。X,/(盯)=/(x)+/(y),/(a)=1(。＞0,aH1).

(4)嘉函數(shù)/(x)=K,f(xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函數(shù)f(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

XT°X

19.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a＞0)

(1)/(x)=/(x+a),則的周期T=a；

(2)f(x)=/(x+a)=0,

或/(x+a)=-^—(/(x)w0),

/(x)

或/(x+a)=--—(/(x)^0),,則/(x)的周期T=2a；

/(x)

20.分?jǐn)?shù)指數(shù)第

絲1

(1)an=-7=(a>0,m/eN*,且〃>1).

Nd"

-巴1

(2)a"(a>U,m,neN*,且〃>1).

an

21.根式的性質(zhì)

(1)(Va)n=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，叱=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，=\a\=\a，a~Q.

[-a,a<0

22.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-as=ar+5(a〉0/,s￡。).

(2)(優(yōu))$=ars(a>0,r,sGQ).

(3)(ab)r-arb\a>0,/?>0,rG0).

注：若a>0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則a。表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)嘉的運(yùn)算性

質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)嘉都適用.

23.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

k?g“N=boa"=N(a>0,a/l,N>0).

24.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

log。N=--—(〃>0,且加〉0,且mwl,N>0).

log,”a

n

推論logb"=—log.b(a>0,且a>1,/”,〃>0,且加w1,n力1,N>0).

"m

25.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWl,M>0,N>0,則

(1)logq(MN)=log,,M+log?N;

⑵bg“*=log〃M-k)g“N;

n

(3)log“M=nlogflM(neR).

26.設(shè)函數(shù)f(x)=log,,,(ax2+bx+c)(aW0),記△=b?-4ac.若f(x)的定義域?yàn)?/p>

R,則a>0,且△<();若f(x)的值域?yàn)镽,則a〉0,且△?().對(duì)于。=0的情形，需要

單獨(dú)檢驗(yàn).

27.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0,b>0,x>0,則函數(shù))，=iogo((bx)

a

⑴當(dāng)a>/?時(shí),在(0-)和(L+oo)上y=log5Sx)為增函數(shù).

aa

.(2)當(dāng)a<〃時(shí),在(0,—)和(—,+oo)上y=log5sx)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>機(jī)〉1，p>0，a>0>且awl，貝ll

⑴log』(〃+P)<log,“〃?

,,,2機(jī)+〃

(2)logu/nlog(,H<loga——.

常用結(jié)論

1.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，

mI_m[

an=\am,an--J—,al08a'=N

m

an

/=Nolog.N=b(a>0,aH1,N>0),.

a°=l,log“1=0,logna-\,1g2+1g5=Llog^x=Inx,

log?b=她2,-logb"=—logaZ>.

logram

2.(1)映射是“‘全部射出‘加‘一箭一雕’”；映射中第一個(gè)集合A中的元素必有像,

但第二個(gè)集合5中的元素不一定有原像(A中元素的像有且僅有下一個(gè)，但8中元素的原

像可能沒(méi)有，也可任意個(gè))；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中像集8的

子集”.

(2)函數(shù)圖像與x軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有，也可任意

個(gè).

(3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.

(4)原函數(shù)與反函數(shù)有兩個(gè)“交叉關(guān)系”：自變量與因變量、定義域與值域.求一個(gè)函數(shù)

的反函數(shù)，分三步：逆解、交換、定域(確定原函數(shù)的值域，并作為反函數(shù)的定義域).

注意：①f(a)=bQfXb)=a,=/T"(x)]=x,

②?函數(shù)y=/(x+l)的反函數(shù)是y=/"(x)-l,而不是y=/T(x+l).

3.單調(diào)性和奇偶性

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)和原函數(shù)有相同的性；如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還

是奇函數(shù).

注意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)6.確定函

數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.

對(duì)于偶函數(shù)而言有：/(-X)=/(x)=/(IxI).

(2)若奇函數(shù)定義域中有0,則必有/(0)=0.即Oe/(x)的定義域時(shí)，/(0)=0是

/(x)為奇函數(shù)的必要非充分條件.

(3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑒定)、

導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.

(4)函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的一個(gè)充分非必要條件.

(5)定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函

數(shù)的和(或差)”.

(6)函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的充分非必要條件，奇函數(shù)可能反函數(shù)，但偶函數(shù)只有

/(x)=0(xe{0})有反函數(shù)；既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(/(x)=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集).

(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。(即復(fù)合有意義)

4.對(duì)稱(chēng)性與周期性(以下結(jié)論要消化吸收，不可強(qiáng)記)

⑴函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于直線X=0()，軸)對(duì)稱(chēng).

推廣一：如果函數(shù)y=/(x)對(duì)于一切xeR,都有/(a+x)=/(b—x)成立，那么

丫=/(6的圖像關(guān)于直線了=巴女(由“x和的一半x=("+1：a確定”)對(duì)稱(chēng).

推廣二：函數(shù)y=/(a+x),y=/(b—x)的圖像關(guān)于直線、=容(由a+x=b—x

確定)對(duì)稱(chēng).

(2)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=—/(x)的圖像關(guān)于直線y=0(x軸)對(duì)稱(chēng).

推廣：函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=A—/(x)的圖像關(guān)于直線y=g對(duì)稱(chēng)(由“y和的一

半”"(初+：./(切確定,，),

(3)函數(shù)y=/(尤)與函數(shù)y=-f(-x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).

推廣：函數(shù)y=/(X)與函數(shù)>=機(jī)一/(〃一X)的圖像關(guān)于點(diǎn)號(hào)，號(hào))中心對(duì)稱(chēng).

(4)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/T(X)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

推廣：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x+b的對(duì)稱(chēng)曲線是/(y—b,x+。)=0；

曲線/(%,>)=0關(guān)于直線>=—工+8的對(duì)稱(chēng)曲線是f(-y+b,-x+b)=0.

(5)曲線/(x,y)=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得曲線是/(y,-x)=0(逆時(shí)針橫變?cè)?/p>

交換).

特別：y=/(x)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得-x=/(y),若y=/(x)有反函數(shù)

y=f-\x),則得y=/T(-)

曲線/(x,y)=0繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得曲線是/(-y,x)=0(順時(shí)針縱變?cè)俳?/p>

換).

特別：y=/(x)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得x=/(—y),若y=/(x)有反函數(shù)

y=/T(x)，則得y=—尸(x).

(6)類(lèi)比“三角函數(shù)圖像”得：

若y=/(x)圖像有兩條對(duì)稱(chēng)軸x=a,x=6(axZ0,則y=/(x)必是周期函數(shù)，且一

周期為T(mén)=2la-bl.

若y=/(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,0),B@,0)(awb),則y=/(x)是周期函數(shù)，且

一周期為T(mén)=2la—Z?l.

如果函數(shù)y=/(x)的圖像有下一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,O)和一條對(duì)稱(chēng)軸x=b(awb),則函數(shù)

y=〃x)必是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)=41a—

如果y=/(x)是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為T(mén),那么/(x±〃T)=/(x)(”eZ).

特別：若/。+。)=—/。)(。*0)恒成立，則7=24.

若/(x+a)=―—(a豐0)恒成立，則T=(.若/(x+a)=---—(a豐0)恒

/(x)/(x)

成立，則7=2a.

如果y=f(x)是周期函數(shù)，那么y=/(x)的定義域“無(wú)界”.

5.圖像變換

(1)函數(shù)圖像的平移和伸縮變換應(yīng)注意哪些問(wèn)題？

函數(shù)y=/(x)的圖像按向量“=/,〃)平移后，僵函數(shù)y-/?=/"-%)的圖像?

(2)函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點(diǎn)、特殊線也作相應(yīng)的變換.

(3)圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)與常見(jiàn)函數(shù)(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、

二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“魚(yú)鉤函數(shù)y=x+§(女>0)”及函數(shù)

y=x+$(%<0)等)相互轉(zhuǎn)化.

注意：①形如)>=012+必+。的函數(shù)，不一定是二次函數(shù).

②應(yīng)特別重視“二次三項(xiàng)式”、“二次方程”、“二次函數(shù)”、“二次曲線”之間的特

別聯(lián)系.

③形如、="土4(，*(),41?！?)的圖像是等軸雙曲線，雙曲線兩漸近線分別直線

x=-d(山分母為零確定)、直線)=4(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，雙曲線的中心是

CC

點(diǎn)(一旦,旦).?

CC

三、數(shù)列

基礎(chǔ)考點(diǎn)

1.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,有

y=N(l+”.

2.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

5.,n-1

4=與(數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)的和為s“=q+a,+—+%).

S“一S“T，”22

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=q+("一V)d=+q-d(〃EN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

=---!----=na.+-------a

212

d2,/1

=_n+(ci｝—(1)n.

22

4.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=%q"T=包.q"（n€N"）；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

=1

叫,q=1

l-<7

navq=\

5.等比差數(shù)列｛4｝:??+1=qa“+d,%=b(qR0)的通項(xiàng)公式為

b+(it-l)d,q=1

a”=]bqn+(d-b)q,l~l-d1；

-----------:-------，"]

[q-i

其前n項(xiàng)和公式為

〃/7+〃(〃一l)d,(q=1)

VS-二)片+二〃,("1)，

i-qg-i"q

6..分期付款（按揭貸款）

每次還款》=元（貸款a元，〃次還清，每期利率為b）.

常用結(jié)論

1.數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前〃項(xiàng)和公

式的關(guān)系：4=機(jī)，：>2)(必要時(shí)請(qǐng)分類(lèi)討論).

ha

注意：an-(%—%_])+(a,——一2)-----(2—%)+%；

a2Q

—'a\

a\

2.等差數(shù)列｛%｝中:

(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

(2)an-a｝+｛n-1)J=am+(n—m)d；p+q-m+n=>ap+a(/-am+an.

(3)｛%田*.1),“｝、伙4｝也成等差數(shù)列?(4)兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成

等差數(shù)列.

(5)a]+a2'+---Fa,,,,%+ak+l-+---+-ak+m_x,"'仍成等差數(shù)列.

c_"(%+?！?_,n(n-l),_dd

(6)S=-----------,Sc=nu,H-----------cl,SQ=-n2+(4----)n,

“2222

%=^-，0=/(〃)n￡=/(2〃_l).

"2n-lBnb.

(7)ap=q,ciq=p(pWq)n4+g=0;Sd=q,Sq=p(pHq)n=—(p+g)；

s

m+n=Sm+Sn+mnd.

(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；

“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和；

(9)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還

是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”一“奇數(shù)項(xiàng)和”=總項(xiàng)數(shù)的一半與其公差的

積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”一“偶數(shù)項(xiàng)和”=此數(shù)列的中項(xiàng).

(10)兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，?？紤]選用“中項(xiàng)關(guān)

系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像

法(也就是說(shuō)數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式).

3.等比數(shù)列｛《,｝中：

(1)等比數(shù)列的符號(hào)特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列

的單調(diào)性.

nm

(1)an=a｝q''=amq"~；P+q=m+n=>bp-bq=bm-bn.

(3)｛\an\｝,｛4+(i)“｝、伙4｝成等比數(shù)列；｛4｝、也,｝成等比數(shù)列n｛a/“｝成等比

數(shù)列.

(4)兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

(5)4+4t--卜4，%+4+1t---卜4+利一1，…成等比數(shù)列?

叫①=1)\nax(<7=1)

(6)S“=紇組=W(#]/"+'("]),

ql—q[l-q\-q

特別：aH-bn=(a-b\an-[+an-2b+an-3b2+???+ab^2+bn-1).

mn

⑺Sm+n=Sm+qSn=Sn+qSm.

(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前〃項(xiàng)積的最大值是所有大于或等于1的項(xiàng)

的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前"項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的

積；

(9)有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還

是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”=“奇數(shù)項(xiàng)和”與“公比”的積；若總項(xiàng)數(shù)

為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和"=“首項(xiàng)”加上“公比”與“偶數(shù)項(xiàng)和”積的和.

(10)并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù)〃力同號(hào)時(shí)，實(shí)數(shù)存在等比中項(xiàng).對(duì)同

號(hào)兩實(shí)數(shù)a1的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì)G=土瘋.也就是說(shuō)，兩實(shí)數(shù)要么沒(méi)有等比

中項(xiàng)(非同號(hào)時(shí))，如果有，必有一對(duì)(同號(hào)時(shí)).在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考

慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法(也就是

說(shuō)數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式).

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

(1)如果數(shù)列｛6｝成等差數(shù)列，那么數(shù)列｛4冊(cè)｝(A%總有意義)必成等比數(shù)歹山

(2)如果數(shù)列｛6｝成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛log/l｝(a〉0,aHl)必成等差數(shù)列.

(3)如果數(shù)列伍“｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛七｝是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列

｛%｝是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

(4)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，

且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到

一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)是他們的公共項(xiàng),

并構(gòu)成新的數(shù)列.

注意：(1)公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究但也有少數(shù)問(wèn)題中

研究4="，這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同.⑵三刨)±數(shù)成笠差臉的史項(xiàng)轉(zhuǎn)化和

通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法.

5.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式(三種形式)，②等比數(shù)列求和公式(三種形式)，

③1+2+3H----\-n=+1),I2+22+32H----F+1)(2〃+1),

1+3+5H----F(2〃=1+3+5H----F(2〃+1)=(〃+1)2.

(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合

并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列

的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差

數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相

乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解(注意：

一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”！)(這也是等比數(shù)

列前〃和公式的推導(dǎo)方法之一).

(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)

聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

①_1_=1__L,②_I_=1(1__1_),

n(n+1)n〃+1〃(〃+%)k?n+k

_1_11111

(k+\)kP(k-\)k

--------------—[-----------------------]，⑤------------------

n(n-l)(n+2)2〃(〃+1)("+1)("+2)(n+1)!n!(n+1)!

⑥2(，〃+1—>Jn)<!—<2(V/i—J/z—1)

yjn

⑦氏=s“—s,i(〃>2)，⑧+c：=C'L=>c：=c,：,-C：-1.

特別聲明：＜8運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)分類(lèi)討論.

(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。

6.分期付款型應(yīng)用問(wèn)題

(1)重視將這類(lèi)應(yīng)用題與等差數(shù)列或等比數(shù)列相聯(lián)系.

(2)若應(yīng)用問(wèn)題像“森林木材問(wèn)題”那樣，既增長(zhǎng)又砍伐，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到

“最后”解決.

(3)“分期付款”、“森林木材”等問(wèn)題的解決過(guò)程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年

限”作為相應(yīng)的“指數(shù)”.?

三、三角函數(shù)

基礎(chǔ)考點(diǎn)

1.常見(jiàn)三角不等式

乃

(1)若工￡(0,—)，則sinx<x<tanx.

2

(2)若％E(0,—),貝ij1<sinx+cosx<41.

2

(3)IsinxI+1cosxl>1.

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin。

sin24-cos2^=1,tan^=------,tan0-cotO=1.

cos，

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

.兀、(-IPsina,（n為偶數(shù)）

sin(—+6K)=<

2

(-1)cosa,（n為奇數(shù)）

n（n為偶數(shù)）

兀、(一l/cosa,

cos(—+a)=<

”+i（n為奇數(shù)）

(-1)2sina,

3.和角與差角公式

sin(a±夕)=sinacos0±cosasinp;

cos(6Z±')=cosacos夕-sinasin(3；

/,0、tancr±tan/?

tan(ez±￡)=------------.

1+tanatan°

sin(6r+/7)sin((7-=sin2?-sin2(平方正弦公式);

cos(a+〃)cos(a-〃)=cos2a-sin2J3.

asina+hcosa=+/sin(a+g)(輔助角0所在象限由點(diǎn)(。/)的象限決

、、

定，tan°=-b).

a

4.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

八2tana

tan2a=-------—.

l-tan~a

?5.三倍角公式

sin3。=3sin^-4sin30=4sin6sing-9)sin告+6).

cos3。=4cos3^-3cos8=4cos0COS(y-9)COS(y+0).

八八3tantan30八/萬(wàn)八、,4八、

tan30=------------------=tan0tan(-----0)tan(—+0).

l-3tan2^33

6.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(69x+°),x￡R及函數(shù)y=cos(/x+e),x0R(A,3,。為常數(shù)，且AWO,

27r7t

3>0)的周期T=——；函數(shù)丁=tan(Gx+°),xW攵4+—,攵cZ(A,3,夕為常數(shù)，且A

CD2

7T

W0,3>0)的周期T=X.

co

7.正弦定理

U=±=，=2R.

sinAsinBsinC

8.余弦定理

a2=b2+c2-2hccosA;

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+/?2-labcosC.

9.面積定理

(1)S=；€1兒=gbhb=；ch。(%、與、4分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S=—ahsinC=—hcsinA=—easinB.

222

22

(3)SMAB=Iyl(\OA\-\OB\)-(OAOB).

10.三角形內(nèi)角和定理

在aABC中，有4+6+。=乃=。=7一(4+8)

=￡=—A±J^O2C=24一2(4+6).

222

11.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinx=a=x=上乃+(—1)人arcsina(keZ,lt?I<1).

cosx=a=x=2攵4士arccos〃(ZeZ,la\<1).

tanx=。=>x=Lr+arctana(keZ,aeR).

特別地,有

sina=sin夕=a=%萬(wàn)+(—1)*/(4GZ).

cosa=cos(3oa=2k?！?(keZ).

tana=tan夕=a=+0(keZ).

12.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<l)<^>xeQk兀+arcsina,2k兀+萬(wàn)一arcsina),keZ.

sinx<tz(l<71<1)<=>xGQk兀一冗一arcsina,2Z%+arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<i)oxeQk兀-arccosa,2kzr+arccosa),kGZ.

cosx<a(\a\<l)oxeQk兀+arccosa,2k/r+2萬(wàn)一arccosa),keZ.

71

tanx>a(ae/?)=>xG(kzi+arctana,k兀+—),keZ.

71

tanx<a(aG/?)=>xG(k冗---，攵)+arctanQ),%GZ.

常用結(jié)論

1.a終邊與。終邊相同（a的終邊在夕終邊所在射線上）oa=6+2jbr（ZeZ）.

a終邊與。終邊共線（a的終邊在。終邊所在直線上）=.

a終邊與。終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)Oa-+2k兀（keZ）.

a終邊與。終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。a=兀一0+2k兀（keZ）.

a終邊與。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)=a=7r+0+2k7r（keZ）.

一般地：a終邊與。終邊關(guān)于角夕的終邊對(duì)稱(chēng)=a=2/3-0+2k7r（keZ）.

2.弧長(zhǎng)公式：/=lalR,扇形面積公式：5=；//?=4以1尸，1弧度（lrad）a57.3°.

3.三角函數(shù)符號(hào)特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

注意：sin15°=cos75°=瓜二五,sin75°=cos150="［四,

44

tanl50=cot750=2-V3,tan75°=cot15°=2+V3,sinl80=^^-.

4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在x軸上（起點(diǎn)在x軸上）”、余弦線“躺在x軸上

（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”、正切線“站在點(diǎn)4（1,0）處（起點(diǎn)是A）”.務(wù)必重視"三角函數(shù)值的大小與

單位圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，‘正弦'o'縱坐標(biāo)'、‘余弦'o'橫坐標(biāo)'、

‘正切'o'縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商'”；務(wù)必記?。?jiǎn)挝粓A中角終邊的變化與sina土cosa

值的大小變化的關(guān)系.a為銳角=>sina<a<tana.

5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運(yùn)用中，務(wù)必重:視''根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)

的取值，精確確定角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)”；

6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是“角的變換”！

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變

換、兩角與其和差角的變換.

如a=3+/?)-/?=3-/?)+4，2a=(a+￡)+(a-￡),2a=(￡+a)-(/?-a)

a+B=2.*,g=口一日卜（今一力等.

常值變換主要指“1”的變換：

1--sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=tan,=siny=cosO=…等.

三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降次、升次）、

運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）.解題時(shí)本著“三看”的基本原則來(lái)進(jìn)行：“看角、看函

數(shù)、看特征”，基本的技巧有:巧變角，公式變形使用，化切割為弦，用倍角公式將高次降次.

注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號(hào)特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）

公式中的符號(hào)特征.“正余弦'三兄妹一sinx土cosx、sinxcosx'的內(nèi)存聯(lián)系”（常和三角換

元法聯(lián)系在一起￡=sinx±cosxG[-V2,V2],sinxcosx-）.

輔助角公式中輔助角的確定：asinx+6cosx=Ji?+。2sin（x+e）（其中。角所在的

象限由的符號(hào)確定，。角的值由tan。=2確定）在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.尤其

a

是兩者系數(shù)絕對(duì)值之比為1或6的情形.Asinx+8cosx=C有實(shí)數(shù)解^A2+B2>C2.

8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對(duì)值對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，

某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶

函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變；其他不定.如），=5也2》,），=卜出％|的周期都是萬(wàn),

但y=|sinx|+|cosx|y=|sinx|+|cosx|的周期為4/?，y=ltanxl的周期不變,問(wèn)函數(shù)

y=coslxl,y=sinx2,y=sin|x|,y=cosVx，產(chǎn)coslxl是周期函數(shù)嗎？

（2）三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

y=Asin(ox+e)

y=Atan(a)x+(p)y

；0一