機械振動理論：耦聯(lián)與質(zhì)量矩陣

1機械振動理論基礎(chǔ)24.3

耦聯(lián)與質(zhì)量矩陣

4.3.1

彈性耦聯(lián)和慣性耦聯(lián)在圖4-4所示系統(tǒng)的振動方程中，一式中的、二式中的使兩方程成為聯(lián)立方程，耦聯(lián)——使方程組求解復(fù)雜化。通過彈性項的耦聯(lián)，故稱方程組為彈性耦聯(lián)。彈性耦聯(lián)通過慣性項的耦聯(lián)，稱為慣性耦聯(lián)。慣性耦聯(lián)3A點[滑動鉸支點]支座的約束，只允許剛性桿在x-y平面內(nèi)運動，而限制沿x方向的平動。如圖4-5a所示的系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛性桿，由彈簧剛度為和的彈簧分別支于A點和D點。耦聯(lián)性質(zhì)討論：4C點為桿的質(zhì)心，為繞C點垂至于紙面

z軸的轉(zhuǎn)動慣量。B點是滿足的特殊點，如果在B點作用有沿y方向的力，系統(tǒng)產(chǎn)生平動而無轉(zhuǎn)動。如果在B點作用有力[偶]矩，系統(tǒng)只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動而無平動。[剛度解耦點]分別以A、B、C

為平動基點，選擇三種不同的位移坐標(biāo)，討論耦聯(lián)的性質(zhì)。5一、設(shè)系統(tǒng)的位移坐標(biāo)為：隨A點平動和剛體繞A點轉(zhuǎn)動。b圖中給出——在鋼桿A處作用的外力，A處作用的外力矩，A點彈性力，D點彈性力，C處慣性力，C處慣性力矩。

將慣性力、慣性力[偶]矩虛加在桿上，該自由體處于動平衡狀態(tài)。得力平衡方程用達(dá)朗伯原理，整理：前項——系統(tǒng)平動質(zhì)心慣性力后項——系統(tǒng)轉(zhuǎn)動質(zhì)心慣性力6一、設(shè)系統(tǒng)的位移坐標(biāo)為：隨A點平動和剛體繞A點轉(zhuǎn)動。b圖中給出——在鋼桿A處作用的外力，A處作用的外力矩，A點彈性力，D點彈性力，C處慣性力，C處慣性力矩。

將慣性力、慣性力[偶]矩虛加在桿上，該自由體處于動平衡狀態(tài)。力矩平衡方程用達(dá)朗伯原理，整理得：7寫成矩陣形式：方程(4-25)中，質(zhì)量陣、剛度陣的非對角元素都不為零

——說明既出現(xiàn)慣性耦聯(lián)又出現(xiàn)彈性耦聯(lián)。前者表明兩個加速度彼此并非獨立

——即系統(tǒng)在動力上或質(zhì)量上耦聯(lián)。后者則說明一個位移不僅引起對應(yīng)于自身的反力，而且引起其他位移對應(yīng)的力

——即系統(tǒng)在靜力上或剛度上耦聯(lián)。8二、設(shè)隨B點平動和剛性桿繞B點轉(zhuǎn)動

為系統(tǒng)的位移坐標(biāo)[據(jù)剛度解耦點性質(zhì)可知：]兩種位移只引起對應(yīng)于自身的力，而不引起對應(yīng)于其他位移的力。***據(jù)圖c寫達(dá)朗伯方程同時把關(guān)系代入，9其矩陣形式為：K為對角陣，無彈性耦聯(lián)，只有慣性耦聯(lián)。同時把關(guān)系代入，整理后得：

10三、設(shè)隨桿質(zhì)心C點平動和繞C點轉(zhuǎn)動為系統(tǒng)的位移坐標(biāo)由圖d寫達(dá)朗伯方程方程：11整理得：其矩陣形式為：方程(4-29)中，M為對角陣，式中只有彈性耦聯(lián)而無慣性耦聯(lián)。12由上述三種情況可以清楚地看到：

——方程組是否耦聯(lián)決定于所選用的坐標(biāo)，

與系統(tǒng)本身的特性無關(guān)。

推論：

只要位移坐標(biāo)選取得適當(dāng)，總可以——

——使系統(tǒng)既無慣性耦聯(lián)又無彈性耦聯(lián)，

——使振動方程彼此獨立，

給求解多自由度系統(tǒng)振動帶來很大的方便。

——這樣的坐標(biāo)稱為固有坐標(biāo)或主坐標(biāo)。134.3.2質(zhì)量矩陣和慣性影響系數(shù)

據(jù)前節(jié)分析：如坐標(biāo)選擇如圖b所示，則系統(tǒng)方程為(4-25)，質(zhì)量矩陣可寫成一般式如下：

為慣性影響系數(shù)(質(zhì)量影響系數(shù))

——它表示質(zhì)體沿第j個坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位加速度時，

(其它坐標(biāo)方向上均不產(chǎn)生加速度)

為與慣性力平衡所需在第i個坐標(biāo)方向上需施加的力。

設(shè)A點產(chǎn)生向上單位加速度1，質(zhì)心產(chǎn)生向下的慣性力，需在A點向上施力，以保證：同時施加力矩，用以平衡由形成的轉(zhuǎn)動力矩，即：如圖a，當(dāng)而時，桿平動，質(zhì)心點獲加速度：形成慣性力：由動力平衡條件得出慣性影響系數(shù)：，。[加上這兩個力，桿達(dá)到平衡]為了更直觀——將加速度類似于位移的表達(dá)方式畫出；用雙斜線箭頭表示需施加的平衡力

【平衡因單位加速度而形成的慣性力】。1415設(shè)圍繞A點產(chǎn)生逆時針單位角加速度，相對質(zhì)心形成順時針慣性力矩：質(zhì)心加速度為：,質(zhì)心慣性力向下，為：，需在A點施加力矩，以保證：同時需在A點向上施力，以保證：慣性影響系數(shù)的正確表達(dá)——

對于直接建立作用力方程或位移方程十分有用。于是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M為：據(jù)圖b，當(dāng)而時，可求出和。16例4-1圖4-7a為雙混合擺它用鉸鏈A、B連接兩個剛體組成。兩物體的質(zhì)量分別為和，質(zhì)心分別為及點處，二剛體繞通過質(zhì)心點z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為和。

這個系統(tǒng)可以在x-y平面內(nèi)擺動，選取微小轉(zhuǎn)角和為位移坐標(biāo)，

試求系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣。17解根據(jù)圖4-7b、c求出慣性影響系數(shù)。如圖4-7b所示，當(dāng)而時，由動力平衡條件得出質(zhì)量矩陣中第一列各慣性影響系數(shù)：——當(dāng)，點有慣性力：為保證，據(jù)動力平衡條件對B點取矩，需加——