圓的性質(zhì).x課件

2014—2018年全國中考題組考點一圓的有關(guān)概念和垂徑定理五年中考1.(2016陜西,9,3分)如圖,☉O的半徑為4,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,連接OB、OC.若∠BAC與

∠BOC互補,則弦BC的長為

()

A.3

B.4

C.5

D.6

答案

B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于點D,∴BC=2BD.

∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=

=30°,∴BD=OBcos30°=2

,∴BC=2BD=4

,故選B.2.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,7,3分)如圖,CD為☉O的直徑,弦AB⊥CD,垂足為M.若AB=12,OM∶MD

=5∶8,則☉O的周長為

()

A.26πB.13πC.

D.

答案

B連接OA,設(shè)OM=5x(x>0),則MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在

Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=

(舍負(fù)),∴半徑OA=

,∴☉O的周長為13π.方法規(guī)律如圖,設(shè)圓的半徑為r、圓的一條弦的長為a、弦心距為d,弓形的高為h,則

+d2=r2,h=r-d(或h=r+d).已知其中任意兩個量即可求出其余兩個量.

1.(2018陜西,9,3分)如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并與☉O

相交于點D,連接BD,則∠DBC的大小為

()

A.15°

B.25°

C.35°

D.45°考點二圓心角、圓周角、弧、弦之間的關(guān)系答案

A∵AB=AC,∠BCA=65°,∴∠BCA=∠ABC=65°,∴∠BAC=50°,∵CD∥AB,∴∠BAC=

∠ACD=50°,根據(jù)圓周角定理的推論得∠ABD=∠ACD=50°,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°,故選A.2.(2017陜西,9,3分)如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,∠C=30°,☉O的半徑為5.若點P是☉O上的

一點,在△ABP中,PB=AB,則PA的長為

()

A.5

B.

C.5

D.5

答案

D連接OB、OA、OP,

∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等邊三角形,∴AB=5.∵PB=AB=OA=OP,∴OB⊥AP,∴AP=2AB·cos30°=2×5×cos30°=2×5×

=5

.故選D.3.(2017云南,14,4分)如圖,B、C是☉A上的兩點,AB的垂直平分線與☉A交于E、F兩點,與線段

AC交于D點.若∠BFC=20°,則∠DBC=

()

A.30°

B.29°

C.28°

D.20°答案

A∵∠BFC=20°,∴∠BAC=2∠BFC=40°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=

=70°.∵EF是線段AB的垂直平分線,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.故選A.4.(2017福建,8,4分)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上位于AB異側(cè)的兩點.下列四個角中,一定

與∠ACD互余的角是

()

A.∠ADC

B.∠ABD

C.∠BAC

D.∠BAD答案

D∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+

∠ACD=90°,故選D.5.(2018吉林,13,3分)如圖,A,B,C,D是☉O上的四個點,

=?.若∠AOB=58°,則∠BDC=

度.

答案29解析連接OC(圖略),∵

=

,∴∠AOB=∠BOC=58°,又點D在圓上,∴∠BDC=

∠BOC=29°.思路分析連接OC,由

與?相等可得圓心角∠AOB=∠BOC,再根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半即可求得∠BDC的度數(shù).6.(2017內(nèi)蒙古包頭,17,3分)如圖,點A、B、C為☉O上的三個點,∠BOC=2∠AOB,∠BAC=40°,

則∠ACB=

°.

答案20解析∵∠BAC=40°,∴∠BOC=80°.∵∠BOC=2∠AOB,∴∠AOB=

∠BOC=40°,∴∠ACB=

∠AOB=20°.1.(2015吉林長春,7,3分)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則∠ADC

的大小為

()

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°考點三圓內(nèi)接三角形、四邊形答案

C設(shè)∠ADC=x°,則∠AOC=2x°.∵四邊形ABCO是平行四邊形,∴∠B=∠AOC.∵∠B+

∠D=180°,∴x+2x=180,∴x=60.∴∠ADC=60°,故選C.2.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,12,3分)同一個圓的內(nèi)接正方形和正三角形的邊心距的比為

.答案

∶1解析設(shè)圓的半徑為r,則內(nèi)接正方形的邊心距為

r,內(nèi)接正三角形的邊心距為

r,故

r∶

r=

∶1.3.(2018湖北黃岡,11,3分)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB為☉O的直徑,∠CAB=60°,弦AD平分∠

CAB,若AD=6,則AC=

.

答案2

解析連接BD,因為AB為☉O的直徑,所以∠ADB=90°,因為∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以

∠BAD=30°,因為

=cos30°,所以AB=

=

=4

.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=4

×

=2

.4.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,24,9分)如圖,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,交BC的延長線

于點D,延長DA交△ABC的外接圓于點F,連接FB,FC.(1)求證:∠FBC=∠FCB;(2)已知FA·FD=12,若AB是△ABC外接圓的直徑,FA=2,求CD的長.

解析(1)證明:∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓,∴∠FBC+∠FAC=180°,又∵∠CAD+∠FAC=180°,∴∠FBC=∠CAD,

(1分)∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,∴∠EAD=∠CAD,又∵∠EAD=∠FAB,∴∠FAB=∠CAD.

(2分)又∵∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB.

(3分)(2)由(1)知∠FBC=∠FCB,∠FCB=∠FAB,∴∠FAB=∠FBC,

(4分)又∵∠BFA=∠BFD,∴△AFB∽△BFD.

(5分)于是有∠FBA=∠FDB,

=

,即BF2=FA·FD=12,∴BF=2

.

(6分)而FA=2,∴FD=6,AD=4,∵AB為圓的直徑,∴∠BFA=∠BCA=90°,

(7分)∴tan∠FBA=

=

=

,∴∠FBA=30°,

(8分)又∵∠FBA=∠FDB,∴∠FDB=30°,∴CD=2

.

(9分)5.(2016寧夏,23,8分)已知△ABC,以AB為直徑的☉O分別交AC于D,BC于E,連接ED.若ED=EC.(1)求證:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2

,求CD的長.

解析(1)證明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C,又∵四邊形ABED是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.

(4分)(2)連接AE,則AE⊥BC,

∴BE=EC=

BC,在△ABC與△EDC中,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,

(6分)∴

=

,得DC=

=

,由AB=4,BC=2

,得DC=

=

.

(8分)思路分析(1)由ED=EC可得∠CDE=∠C,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠CDE=∠B,進而求得

AB=AC;(2)連接AE,則AE⊥BC,證明△ABC∽△EDC,進而求得CD的長.6.(2018福建,24,12分)已知四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,AC是☉O的直徑,DE⊥AB,垂足為

E.(1)延長DE交☉O于點F,延長DC,FB交于點P,如圖1.求證:PC=PB;(2)過點B作BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點H,且點O和點A都在DE的左側(cè),如圖2.若AB=

,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.

圖1圖2解析(1)證明:∵AC是☉O的直徑,∴∠ABC=90°.又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形,∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)連接OD,∵AC是☉O的直徑,∴∠ADC=90°,

又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.又由(1)知BC∥DE,∴四邊形DHBC為平行四邊形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=

,tan∠ACB=

=

,∴∠ACB=60°,∠CAB=30°.從而BC=

AC=OD,∴DH=OD.在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH=20°.設(shè)DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°.∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.一題多解(1)證明:易證DF∥BC,從而CD=BF,且

=

=1,∴PB=PC.(2)連接OD,設(shè)∠BDE=x,則∠EBD=90°-x,易證四邊形BCDH為平行四邊形,∴BC=DH=1,∵AB=

,∴∠CAB=30°,AC=2,∴∠ADB=∠ACB=60°,∵OD=OA=1=DH,∴∠ODH=180°-2∠OHD=180°-2×80°=20°,∴∠OAD=∠ODA=∠ADB-(∠ODH+x)=60°-(20°+x)=40°-x.又∵∠AOD=2∠ABD,∴180°-2(40°-x)=2(90°-x),解得x=20°,即∠BDE=20°.考點一圓的有關(guān)概念和垂徑定理教師專用題組1.(2018山東威海,10,3分)如圖,☉O的半徑為5,AB為弦,點C為?的中點,若∠ABC=30°,則弦AB的長為

()

A.

B.5

C.

D.5

答案

D如圖,連接OA、OC,OC交AB于點M.根據(jù)垂徑定理可知OC垂直平分AB,因為∠ABC

=30°,故∠AOC=60°,在Rt△AOM中,sin60°=

=

=

,故AM=

,即AB=5

.故選D.

2.(2017新疆,9,5分)如圖,☉O的半徑OD垂直于弦AB,垂足為點C.連接AO并延長交☉O于點E,連

接BE,CE,若AB=8,CD=2,則△BCE的面積為

()

A.12

B.15

C.16

D.18答案

A∵☉O的半徑OD垂直于弦AB,AB=8,∴AC=BC=

AB=4.設(shè)OA=r,則OC=OD-CD=r-2,在Rt△AOC中,由勾股定理得42+(r-2)2=r2,解得r=5,∴AE=10,在Rt△ABE中,BE=

=

=6,∴S△BCE=

BC·BE=

×4×6=12.故選A.方法指導(dǎo)運用垂徑定理求相關(guān)線段長度的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,進而利用勾股定理求解.

其最常用的方法是“連接圓心和圓中弦的端點”.若弦長為l,圓心到弦的距離為d,半徑為r,則

根據(jù)勾股定理有

l=

.3.(2015廣西南寧,11,3分)如圖,AB是☉O的直徑,AB=8,點M在☉O上,∠MAB=20°,N是?的中點,P是直徑AB上一動點.若MN=1,則△PMN周長的最小值為

()

A.4

B.5

C.6

D.7答案

B△PMN的周長為PM、PN、MN的和,其中MN=1,所以只要PM、PN的和最小即可.如

圖,取N關(guān)于AB的對稱點C,連接MC交AB于P,此時PM、PN的和最小,PM、PN的和就是MC的長

度.連接OM、ON、OC.∵∠MAB=20°,∴∠MOB=40°.∵N為?的中點,∴∠NOB=20°.∵直徑AB⊥CN,∴∠COB=20°,∴∠MOC=60°.∵OM=OC,∴△MOC為等邊三角形.∵AB=8,∴MC=OM

=4,∴△PMN的周長的最小值為1+4=5.故選B.

4.(2014甘肅蘭州,13,4分)如圖,CD是☉O的直徑,弦AB⊥CD于E,連接BC,BD.下列結(jié)論中不一定

正確的是

()

A.AE=BE

B.?=?

C.OE=DE

D.∠DBC=90°答案

C∵CD是☉O的直徑,且CD⊥AB,∴AE=BE,?=?,∵CD是☉O的直徑,∴∠DBC=90°,但不能得出OE=DE.故選C.評析本題考查了垂徑定理,屬容易題.5.(2015寧夏,13,3分)如圖,在☉O中,CD是直徑,弦AB⊥CD,垂足為E,連接BC.若AB=2

,∠BCD=30°,則☉O的半徑為

.

答案

解析連接OB,∵∠BCD=30°,∴∠BOD=60°.∵CD是直徑,CD⊥AB,∴BE=

AB=

,∴OB=

=

=

.6.(2014陜西,16,3分)如圖,☉O的半徑是2.直線l與☉O相交于A、B兩點,M、N是☉O上的兩個動

點,且在直線l的異側(cè).若∠AMB=45°,則四邊形MANB面積的最大值是

.

答案4

解析連接OA,OB.四邊形MANB面積的最大值取決于三角形ABM和三角形ABN的面積的最大

值.當(dāng)點M,N分別位于優(yōu)弧AB和劣弧AB的中點時,四邊形MANB的面積取最大值.連接MN,此時

MN為☉O的直徑,故MN=4,∵∠AMB=45°,∴∠AOB=90°,∴AB=

OA=2

.故四邊形MANB面積的最大值為

AB·MN=

×2

×4=4

.7.(2015安徽,20,10分)在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點P在BC上,點Q在☉O上,且OP

⊥PQ.(1)如圖1,當(dāng)PQ∥AB時,求PQ長;(2)如圖2,當(dāng)點P在BC上移動時,求PQ長的最大值.

解析(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3×tan30°=

.

(3分)如圖,連接OQ,在Rt△OPQ中,

PQ=

=

=

.

(5分)(2)∵PQ2=OQ2-OP2=9-OP2,∴當(dāng)OP最小時,PQ最大.此時,OP⊥BC.

(7分)OP=OB·sin∠ABC=3×sin30°=

.∴PQ長的最大值為

=

.

(10分)1.(2018湖北武漢,10,3分)如圖,在☉O中,點C在優(yōu)弧

上,將弧?折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D.若☉O的半徑為

,AB=4,則BC的長是

()

A.2

B.3

C.

D.

考點二圓心角、圓周角、弧、弦之間的關(guān)系答案

B連接AO,并延長交☉O于點D',則∠ABD'=90°.連接BD',CD',DD',DD'交BC于點E,連接

OD,OB,OC,∵D為AB的中點,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',顯然點D與點D'關(guān)于直線BC對稱.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠

CBD'=45°,根據(jù)圓周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,根據(jù)勾股定理得CE=

=2

,所以BC=BE+CE=3

,故選B.

方法指導(dǎo)在求解涉及圓的性質(zhì)的問題時,通常運用垂徑定理或圓周角定理得到相等的線段

或角或垂直關(guān)系,求解過程中常需作合適的輔助線構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理等知識進行

求解.2.(2017甘肅蘭州,4,4分)如圖,在☉O中,

=?,點D在☉O上,∠CDB=25°,則∠AOB=

()

A.45°

B.50°

C.55°

D.60°答案

B連接OC,∵∠CDB=25°,∴∠COB=50°,又

=?,∴∠AOB=∠COB=50°,故選B.3.(2017黑龍江哈爾濱,7,3分)如圖,☉O中,弦AB、CD相交于點P,∠A=42°,∠APD=77°,則∠B的

大小是

()

A.43°

B.35°

C.34°

D.44°答案

B由三角形外角的性質(zhì)可得∠C=∠APD-∠A=77°-42°=35°,∵∠B與∠C所對的弧均為?,∴∠B=∠C=35°.故選B.4.(2016廣西南寧,9,3分)如圖,點A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,∠DCE=40

°,則∠P的度數(shù)為

()

A.140°

B.70°

C.60°

D.40°答案

B∵∠DCE=40°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠DOE=180°-40°=140°,∴∠P=

∠AOB=70°.故選B.5.(2015甘肅蘭州,9,4分)如圖,經(jīng)過原點O的☉P與x、y軸分別交于A、B兩點,點C是劣弧OB上

一點,則∠ACB=

()

A.80°

B.90°

C.100°

D.無法確定答案

B根據(jù)同弧所對的圓周角相等,得到∠ACB=∠AOB=90°,故選B.6.(2018北京,12,2分)如圖,點A,B,C,D在☉O上,?=?,∠CAD=30°,∠ACD=50°,則∠ADB=

°.

答案70解析∵?=?,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.(2017重慶A卷,15,4分)如圖,BC是☉O的直徑,點A在圓上,連接AO,AC,∠AOB=64°,則∠ACB=

°.

答案32解析∵

=

,∠AOB=64°,∴∠ACB=

∠AOB=32°.8.(2016廣東,16,4分)如圖,點P是四邊形ABCD外接圓☉O上任意一點,且不與四邊形頂點重合.

若AD是☉O的直徑,AB=BC=CD,連接PA,PB,PC.若PA=a,則點A到PB和PC的距離之和AE+AF=

.

答案

a解析如圖,連接OB、OC,∵AB=BC=CD,∴

=?=?.又∵AD是☉O的直徑,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,∴∠CPB=∠APB=30°,∴AE=

PA=

a,∠APC=60°,Rt△APF中,AF=APsin60°=

a,∴AE+AF=

a.

評析本題主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)與銳角三角函數(shù).9.(2016山東青島,11,3分)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的兩點,若∠BCD=28°,則∠ABD=

°.

答案62解析∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°,∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=∠ACD=62°.10.(2015內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AD是☉O的直徑,若☉O的半徑是4,

sinB=

,則線段AC的長為

.

答案2解析連接CD,在☉O中,因為AD為直徑,所以∠ACD=90°,因為∠B=∠D,所以AC=AD·sinD=8

×

=2.11.(2015江西南昌,10,3分)如圖,點A,B,C在☉O上,CO的延長線交AB于點D,∠A=50°,∠B=30°,則

∠ADC的度數(shù)為

.

答案110°解析在☉O中,∠BOC=2∠A=2×50°=100°,所以∠DOB=180°-∠BOC=180°-100°=80°,所以∠ADC=∠B+∠DOB=30°+80°=110°.12.(2015江蘇南京,15,2分)如圖,在☉O的內(nèi)接五邊形ABCDE中,∠CAD=35°,則∠B+∠E=

°.

答案215解析連接AO,CO,DO,則∠COD=2∠CAD=70°,又因為∠B=

(∠AOD+∠COD),∠E=

(∠AOC+∠COD),所以∠B+∠E=

(∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD)=

×(360°+70°)=215°.13.(2017安徽,20,10分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD

于BC,過點C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點E,連接AE.(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;(2)連接CO,求證:CO平分∠BCE.

證明(1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180°,∴∠D+∠DAE=180°,∴AE∥DC,∴四邊形AECD是平行四邊形.

(5分)(2)過點O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分別為M、N.∵四邊形AECD是平行四邊形,∴AD=EC.又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.

(10分)14.(2017湖北武漢,21,8分)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB=AC,CO的延長線交AB于點D.(1)求證:AO平分∠BAC;(2)若BC=6,sin∠BAC=

,求AC和CD的長.

解析(1)證明:連接BO.∵AB=AC,OB=OC,∴A、O在線段BC的中垂線上,∴AO⊥BC.又∵AB=AC,∴AO平分∠BAC.(2)如圖,延長AO交BC于點H,過點D作DK⊥AO,交AO于點K.

由(1)知AO⊥BC,∵OB=OC,BC=6,∴BH=CH=

BC=3,∠COH=

∠BOC,∵∠BAC=

∠BOC,∴∠COH=∠BAC.在Rt△COH中,∠OHC=90°,sin∠COH=sin∠BAC=

=

.∵CH=3,∴sin∠COH=

=

,∴CO=AO=5,∴OH=?=?=4,∴AH=AO+OH=5+4=9,tan∠COH=tan∠DOK=

.在Rt△ACH中,∠AHC=90°,AH=9,CH=3,∴tan∠CAH=

=

=

,AC=

=

=3

,由(1)知∠CAH=∠BAH,∴tan∠BAH=tan∠CAH=

.設(shè)DK=3a(a>0),在Rt△ADK中,tan∠DAK=

,在Rt△DOK中,tan∠DOK=

,∴OK=4a,DO=5a,AK=9a,∴AO=OK+AK=13a=5,∴a=

,∴DO=5a=

,∴CD=OC+DO=5+

=

.一題多解(1)證明:連接OB.∵AO=AO,BO=CO,AB=AC,∴△AOB≌△AOC,∴∠BAO=∠CAO.即AO平分∠BAC.(2)過點C作CE⊥AB,交AB于點E,∵sin∠BAC=

=

,∴可設(shè)AC=5m(m>0),則EC=3m,∴AE=4m,BE=m.在Rt△CBE中,BE2+EC2=BC2,即m2+(3m)2=36,解得m=

(舍負(fù)),∴AC=3

.延長AO交BC于點H,則AH⊥BC,且BH=CH=3,過點O作OF⊥AH,交AB于點F,

∵∠BOC=2∠BAC,∠BOC=2∠HOC,∴∠BAC=∠HOC,∴sin∠HOC=sin∠BAC=

,又HC=3,∴OC=5,OH=4,∴AH=OA+OH=9,∴tan∠BAH=

=

=

,∴OF=

OA=

.∵OF∥BC,∴

=

,即

=

,解得DC=

.15.(2015貴州遵義,26,12分)如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作☉O,交BC于點D,交CA的延

長線于點E,連接AD、DE.(1)求證:D是BC的中點;(2)若DE=3,BD-AD=2,求☉O的半徑;(3)在(2)的條件下,求弦AE的長.

解析(1)證明:∵AB為☉O的直徑,∴AD⊥BC.

(2分)又∵AB=AC,∴D是BC的中點.

(4分)(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠B=∠E,∴∠C=∠E,∴DC=DE,∴BD=DE=3,

(5分)又BD-AD=2,∴AD=1.

(6分)在Rt△ABD中,BD=3,AD=1,∴AB=

=

=

,

(7分)則☉O的半徑為

.

(8分)(3)解法一:在△CAB和△CDE中,∠B=∠E,∠C=∠C(公共角),∴△CAB∽△CDE,

(9分)∴

=

,

(10分)∵CA=AB=

,∴CE=

=

=

,

(11分)∴AE=CE-AC=

-

=

.

(12分)解法二:連接BE,

∵AB是☉O的直徑,∴∠BEC=90°.

(9分)在△ADC和△BEC中,∠ADC=∠BEC=90°,∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC,

(10分)∴

=

,∴CE=

=

=

,

(11分)∴AE=CE-AC=

.

(12分)16.(2014天津,21,10分)已知☉O的直徑為10,點A,點B,點C在☉O上,∠CAB的平分線交☉O于點D.(1)如圖①,若BC為☉O的直徑,AB=6,求AC,BD,CD的長;(2)如圖②,若∠CAB=60°,求BD的長.

解析(1)由已知,BC為☉O的直徑,得∠CAB=∠BDC=90°.在Rt△CAB中,BC=10,AB=6,∴AC=

=

=8.∵AD平分∠CAB,∴?=

,∴CD=BD.在Rt△BDC中,BC=10,CD2+BD2=BC2,∴BD2=CD2=50,∴BD=CD=5

.(2)如圖,連接OB,OD.

∵AD平分∠CAB,且∠CAB=60°,∴∠DAB=

∠CAB=30°.∴∠DOB=2∠DAB=60°.又∵在☉O中,OB=OD,∴△OBD是等邊三角形.∵☉O的直徑為10,∴OB=5,∴BD=5.17.(2014四川成都,27,10分)如圖,在☉O的內(nèi)接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,過C作AB的垂線l

交☉O于另一點D,垂足為E.設(shè)P是?上異于A,C的一個動點,射線AP交l于點F,連接PC與PD,PD交AB于點G.(1)求證:△PAC∽△PDF;(2)若AB=5,?=?,求PD的長;(3)在點P運動過程中,設(shè)

=x,tan∠AFD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出x的取值范圍)

解析(1)證明:連接PB.∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直徑,∴∠APB=90°,∴∠PAB+∠PBA=90°.∵l⊥AB于E,∴∠AFE+∠FAE=90°.∵∠PAB=∠FAE,∴∠PBA=∠AFE.∵∠ABP=∠ACP,∴∠AFE=∠ACP.又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.

(3分)

(2)在Rt△ABC中,AC=2BC,AB=5,由勾股定理得AC=2

,BC=

.∵S△ABC=

AB·CE=

AC·BC,∴CE=2,可得AE=4.

(4分)∵?=?,∴PA=PB,則△ABP為等腰直角三角形.∴∠PAB=45°,AP=

AB=

.∵EF⊥AB,∠PAB=45°.∴EF=AE=4.由垂徑定理得DE=CE=2,則DF=DE+EF=6.由(1)知△PAC∽△PDF,∴

=

.故PD=

=

=

.

(7分)(3)解法一:過點G作GH∥BP交AP于點H.則GH⊥AP,∠AGH=∠ABP=∠AFD,

=

=x.∵l⊥AB,∴?=

,∴∠ABC=∠APD.∴

=tan∠APD=tan∠ABC=

=2,即GH=2PH.∴y=tan∠AFD=tan∠AGH=

=

=

x.即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

x.

(10分)解法二:連接AD,BD,則AD=AC,BD=BC.∵∠APG=∠DBG,∠AGP=∠DGB,∴△APG∽△DBG,則

=

.①同理,由△PBG∽△ADG,得

=

.②由①÷②,得

·

=

,即

=

·

=

·

=

x.∴y=tan∠AFD=tan∠ABP=

=

x.即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

x.

(10分)1.(2015寧夏,6,3分)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,若∠BOD=88°,則∠BCD的度數(shù)是

()

A.88°

B.92°

C.106°

D.136°考點三圓內(nèi)接三角形、四邊形答案

D因為∠BOD=88°,所以∠A=44°,因為∠A+∠BCD=180°,所以∠BCD=136°.故選D.2.(2016江蘇南京,13,2分)如圖,扇形AOB的圓心角為122°,C是?上一點,則∠ACB=

°.

答案119解析如圖,在扇形AOB所在圓優(yōu)弧AB上取一點D,連接DA,DB.∵∠AOB=122°,∴∠D=61°,∵

∠ACB+∠D=180°,∴∠ACB=119°.

3.(2016新疆烏魯木齊,13,4分)設(shè)I為△ABC的外心,若∠BIC=100°,則∠A的度數(shù)為

.答案50°或130°解析當(dāng)I在△ABC的內(nèi)部時,如圖1,∠A=

∠BIC=50°;當(dāng)I在△ABC的外部時,如圖2,∠A+

∠BIC=180°,∴∠A=130°.

圖1圖24.(2018安徽,20,10分)如圖,☉O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5.(1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標(biāo)出它與劣弧?的交點E(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)若(1)中的點E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.

解析(1)尺規(guī)作圖如圖所示.

(4分)

(2)連接OE交BC于M,連接OC.因為∠BAE=∠CAE,所以

=?,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的長為

.

(10分)5.(2018云南,23,12分)如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是CD的中點,點F是BC邊上的點,AF=AD

+FC.平行四邊形ABCD的面積為S,由A、E、F三點確定的圓的周長為l.(1)若△ABE的面積為30,直接寫出S的值;(2)求證:AE平分∠DAF;(3)若AE=BE,AB=4,AD=5,求l的值.

解析(1)60.

(3分)(2)證明:延長AE,與BC的延長線交于點H.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠ADE=∠HCE,∠DAE=∠CHE.

(4分)∵點E為CD的中點,∴ED=EC.∴△ADE≌△HCE.∴AD=HC,AE=HE.∴AD+FC=HC+FC.由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH.∴∠FAE=∠CHE.

(6分)又∵∠DAE=∠CHE,∴∠DAE=∠FAE,∴AE平分∠DAF.

(7分)(3)連接EF.∵AE=BE,AE=HE,∴AE=BE=HE.∴∠BAE=∠ABE,∠HBE=∠BHE.由(1)知∠DAE=∠CHE,∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE,即∠DAB=∠CBA.由四邊形ABCD是平行四邊形得∠DAB+∠CBA=180°,∴∠CBA=90°,

(9分)∴AF2=AB2+BF2=16+(5-FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,解得FC=

.∴AF=FC+CH=

+5=

.∵AE=HE,AF=FH,∴FE⊥AH.∴AF是△AEF的外接圓的直徑.∴△AEF的外接圓的周長l=

.

(12分)6.(2014黑龍江哈爾濱,25,8分)如圖,☉O是△ABC的外接圓,弦BD交AC于點E,連接CD,且AE=

DE,BC=CE.(1)求∠ACB的度數(shù);(2)過點O作OF⊥AC于點F,延長FO交BE于點G,DE=3,EG=2,求AB的長.

解析(1)在☉O中,∠A=∠D,

(1分)∵∠AEB=∠DEC,AE=DE,∴△AEB≌△DEC.

(2分)∴EB=EC.

(3分)又∵BC=CE,∴BE=CE=BC,∴△EBC為等邊三角形,∴∠ACB=60°.

(4分)(2)∵OF⊥AC,∴AF=CF.

(5分)∵△EBC為等邊三角形,∴∠GEF=60°,∴∠EGF=30°,∵EG=2,∴EF=1.

(6分)又∵AE=ED=3,∴CF=AF=4,∴AC=8,CE=5,∴BC=5.

(7分)作BM⊥AC于點M,∵∠BCM=60°,∴∠MBC=30°,∴CM=

,BM=

=

,∴AM=AC-CM=

,∴AB=

=7.

(8分)7.(2014遼寧沈陽,22,10分)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AB為直徑,OD∥BC交☉O于點D,交AC

于點E,連接AD,BD,CD.(1)求證:AD=CD;(2)若AB=10,cos∠ABC=

,求tan∠DBC的值.

解析(1)證明:∵AB為☉O直徑,∴∠ACB=90°.又∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°.∴OD⊥AC.∴

=?.∴AD=CD.(2)∵AB=10,∴OA=OD=

AB=5.∵OD∥BC,∴∠AOE=∠ABC.在Rt△AEO中,OE=OAcos∠AOE=OAcos∠ABC=5×

=3.∴DE=OD-OE=5-3=2.由勾股定理得,AE=

=

=4.在Rt△AED中,tan∠DAE=

=

=

.又∵∠DBC=∠DAE,∴tan∠DBC=

.A組2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組考點一圓的有關(guān)概念和垂徑定理三年模擬1.(2018天津紅橋一模,8)一條公路彎道處是一段圓弧?,點O是這條弧所在圓的圓心,點C是?的中點,OC與AB相交于點D.已知AB=120m,CD=20m,那么這段彎道的半徑為

()

A.200mB.200

mC.100mD.100

m答案

C連接OA,

∵C是?的中點,OC與AB相交于點D,∴AB⊥OC,AD=

AB=

×120=60m,∴△AOD是直角三角形,設(shè)OA=rm,則OD=OC-CD=(r-20)m,在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即r2=602+(r-20)2,解得r=100,則這段彎道的半徑為100m.故選C.2.(2017天津紅橋,4)如圖,☉O的半徑為5,AB為弦,半徑OC⊥AB,垂足為點E,若OE=3,則AB的長

是

()

A.4

B.6

C.8

D.10答案

C連接OA,

∵OC⊥AB,OA=5,OE=3,∴AE=

=

=4,∴AB=2AE=8.故選C.3.(2018四川內(nèi)江資中一模,22)已知△ABC內(nèi)接于半徑為5的☉O,若∠A=60°,則BC的長為

.

答案5

解析連接OB,OC,過點O作OD⊥BC于點D,

∴BD=CD=

BC,∵∠A=60°,∴∠BOC=2∠A=120°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=

=30°,∵OB=6,∴BD=OB·cos30°=5×

=

,∴BC=2BD=5

.4.(2018上海浦東新區(qū)一模,22)如圖,在△ABC中,AB=AC=10,sin∠ABC=

,圓O經(jīng)過點B、C,圓心O在△ABC的內(nèi)部,且到點A的距離為2,求圓O的半徑.

解析過點A作AD⊥BC于點D,連接OB,

∵AB=AC,∴BD=CD,∴AD過圓心O,∵sin∠ABC=

,即

=

,∴AD=

AB=

×10=6,∴OD=AD-OA=6-2=4,∴BD=

=

=8,在Rt△OBD中,∵OD=4,BD=8,∴OB=

=

=4

,即☉O的半徑為4

.1.(2018天津河?xùn)|結(jié)課考試,6)如圖,☉O中,弦AB、CD相交于點P,若∠A=30°,∠APD=70°,則∠B

等于

()

A.30°

B.35°

C.40°

D.50°考點二圓心角、圓周角、弧、弦之間的關(guān)系答案

C∵∠APD是△APC的外角,∴∠APD=∠C+∠A.∵∠A=30°,∠APD=70°,∴∠C=∠APD-∠A=40°,又∵∠B和∠C為同弧所對的圓周角,∴∠B=∠C=40°.故選C.2.(2017黑龍江哈爾濱南崗,6)如圖,點O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(3,0),點B的坐標(biāo)為(0,4),☉D過

A,B,O三點,點C為?上的一點(不與O、A兩點重合),連接OC,AC,則cosC的值為

()

A.

B.

C.

D.

答案

D連接AB,∵點A的坐標(biāo)為(3,0),點B的坐標(biāo)為(0,4),∴AO=3,BO=4,∴AB=5,∵∠C=∠OBA,∴cosC=cos∠OBA=

=

.故選D.

3.(2016吉林長春,7)如圖,AB是☉O的直徑,點C在圓周上,連接BC、OC,過點A作AD∥OC交☉O

于點D,若∠B=25°,則∠BAD的度數(shù)是

()

A.25°

B.30°

C.40°

D.50°答案

D∵OB=OC,∴∠B=∠C=25°,∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=50°,∵AD∥OC,∴∠BAD=∠AOC=50°,故選D.4.(2018湖北襄陽谷城模擬,22)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=5,AC=7,點D在△ABC的外接圓☉O

上,BC=BD,CD交AB于點E.(1)求證:△ABC∽△CBE;(2)求BE的長.

解析(1)證明:∵BC=BD,∴∠BCE=∠BDC.∵∠BDC=∠BAC,∴∠BCE=∠BAC.∵∠CBE=∠ABC,∴△ABC∽△CBE.(2)由(1)知,△ABC∽△CBE,∴

=

,即

=

,∴BE=

.1.(2018天津紅橋一模,11)如圖,A、B、C、D四個點均在☉O上,∠AOD=50°,AO∥DC,則∠B的

度數(shù)為

()

A.50°

B.55°

C.60°

D.65°考點三圓內(nèi)接三角形、四邊形答案

D連接AD,

∵OA=OD,∠AOD=50°,∴∠ADO=

=65°,∵AO∥DC,∴∠ODC=∠AOD=50°,∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°,∴∠B=180°-∠ADC=65°.故選D.2.(2017吉林長春,12)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,點E在AB的延長線上,BF是∠CBE

的平分線,∠ADC=110°,則∠FBE=

.

答案55°解析∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∠ADC=110°,∴∠CBE=∠ADC=110°,∵BF是∠CBE的平分線,∴∠FBE=

∠CBE=55°,故答案為55°.3.(2018天津和平質(zhì)檢,21)在△ABC中,∠A=68°,以AB為直徑的☉O與AC,BC的交點分別為D,E.(1)如圖①,求∠CED的大小;(2)如圖②,當(dāng)DE=BE時,求∠C的大小.

解析(1)∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形,∴四邊形ABED的任意一個外角等于它的內(nèi)對角,∴∠CED=∠A.∵∠A=68°,∴∠CED=68°.(2)連接AE,

∵DE=BE,∴?=?,∴∠DAE=∠EAB=

∠CAB=

×68°=34°.∵AB為直徑,∴∠AEB=90°.∴∠AEC=90°.∴∠C=90°-∠DAE=90°-34°=56°.1.(2018黑龍江哈爾濱南崗一模,9)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AB為☉O的直徑,點C為?的中點,若∠DAB=50°,則∠ABC的大小是

()

A.55°

B.60°

C.65°

D.70°一、選擇題(每小題3分,共18分)B組2016—2018年模擬·提升題組(時間:30分鐘分值:45分)答案

C連接OC,OD,

∵點C為?的中點,∴∠BOC=

∠BOD,又∠BAD=

∠BOD,∴∠BOC=∠DAB=50°,∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB=

=65°,故選C.2.(2018貴州黔南州一模,11)如圖,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,則∠ADC的度數(shù)為

()

A.30°

B.35°

C.45°

D.70°答案

B∵OA⊥BC,∴由垂徑定理得,

=?,∵∠AOB=70°,∴∠ADC=

∠AOB=35°.故選B.3.(2018四川內(nèi)江資中一模,12)在半徑等于5cm的圓內(nèi)有長為5

cm的弦,則此弦所對的圓周角為

()A.120°

B.30°或120°

C.60°

D.60°或120°答案

D連接OA,OB,在優(yōu)弧AB上任取一點E,連接AE,BE,在劣弧AB上任取一點F,連接AF,

BF,過O作OD⊥AB,則D為AB的中點,

∵AB=5

cm,∴AD=BD=

AB=

cm,又OA=OB=5cm,OD⊥AB,∴OD平分∠AOB,即∠AOD=∠BOD=

∠AOB,∴在直角三角形AOD中,sin∠AOD=

=

,∴∠AOD=60°,∴∠AOB=120°,又圓心角∠AOB(小于180°的∠AOB)與圓周角∠AEB所對的弧都為劣弧AB,∴∠AEB=

∠AOB=60°,∵四邊形AEBF為圓O的內(nèi)接四邊形,∴∠AFB+∠AEB=180°,∴∠AFB=180°-∠AEB=120°,則此弦所對的圓周角為60°或120°.故選D.4.(2017陜西西安三十九中,9)如圖,AB為☉O的直徑,弦DC垂直AB于點E,∠DCB=30°,EB=3,則

弦AC的長為

()

A.3

B.4

C.5

D.6

答案

D連接OC,

∵弦DC垂直AB于點E,∠DCB=30°,∴∠ABC=60°,∵OB=OC,∴△BOC是等邊三角形,∵EB=3,∴CB=OB=6,∴AB=12,∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,AC=AB×sin60°=12×

=6

.故選D.5.(2016天津河西,11)已知A,B,C是☉O上的三個點,四邊形OABC是平行四邊形,那么下列結(jié)論

中錯誤的是

()

A.∠AOC=120°B.四邊形OABC一定是菱形C.若連接AC,則AC=

OAD.若連接AC、BO,則AC與BO互相垂直平分答案

C連接O