2024年江蘇南京市高三二模高考數(shù)學(xué)模擬試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁南京市2024屆高三年級第二次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知向量，．若，則（

）A． B． C．3 D．62．“”是“過點有兩條直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位4．我們把各項均為0或1的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計算機科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．把佩爾數(shù)列（，，，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1，得到數(shù)列．記的前n項和為，則（

）A．16 B．12 C．10 D．85．已知，，，則（

）A． B． C． D．6．在圓臺中，圓的半徑是圓半徑的2倍，且恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線交于另一點，的內(nèi)切圓與相切于點．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．在斜中，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分．9．已知，互為共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)滿足，則（

）A． B． C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)11．已知平行六面體的棱長均為2，，點在內(nèi)，則（

）A．平面 B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，，則集合的元素個數(shù)為．13．在平面四邊形中，，，，，則四邊形的面積為．14．已知函數(shù)的兩個極值點為，，記，．點B，D在的圖象上，滿足，均垂直于y軸．若四邊形為菱形，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070(1)從A，B，C，D，E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測廣告支出為10萬元時的銷售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．16．已知函數(shù)，其中．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．17．在五面體中，平面，平面．(1)求證：；(2)若，，點D到平面的距離為，求二面角的大小．18．已知拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點F，且．過F的直線1與拋物線C交于A，B兩點，與E的兩條近線交于P，Q兩點(均位于y軸右側(cè)).(1)求E的漸近線方程；(2)若實數(shù)滿足，求的取值范圍．19．已知數(shù)列的前n項和為．若對每一個，有且僅有一個，使得，則稱為“X數(shù)列”.記，，稱數(shù)列為的“余項數(shù)列”.(1)若的前四項依次為0，1，，1，試判斷是否為“X數(shù)列”，并說明理由；(2)若，證明為“X數(shù)列”，并求它的“余項數(shù)列”的通項公式；(3)已知正項數(shù)列為“X數(shù)列”，且的“余項數(shù)列”為等差數(shù)列，證明：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.【詳解】由，知，解得.故選：C.2．B【分析】由已知點在圓外，求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得答案.【詳解】由題意，點在圓外，則有，，所以“”是“過點有兩條直線與圓相切”的必要不充分條件.故選：B3．A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)平移的原則即可得到答案.【詳解】，則把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位即可，故選：A.4．C【分析】根據(jù)題意求得數(shù)列的前8項，通過觀察找到規(guī)律，即可求解.【詳解】因為，，，，所以，，，，，，…，可以看出數(shù)列的前20項為，故.故選：C.5．D【分析】首先由求出，再由條件概率公式計算可得.【詳解】因為，，，所以，所以，則.故選：D6．C【分析】令外接球的半徑為，作出圖象，求出圓臺的母線，即可求出圓臺的側(cè)面積，再求出球的表面積，即可得解.【詳解】令外接球的半徑為，依題意，，，過點作，則，所以，又，所以，所以圓臺的側(cè)面積，球的表面積，所以圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為.故選：C7．B【分析】由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得出的周長為，再由橢圓的定義得的周長為，列出等式即可求解．【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則，，設(shè)的內(nèi)切圓與，相切于點，如圖所示，則，，所以，所以的周長為，由橢圓定義可得，，所以，則，故選：B．

.8．B【分析】由得出，由為斜三角形，得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式，兩角和的正切公式，基本不等式求解即可．【詳解】因為，所以為銳角，，則，即，所以，即，所以，當時，即,所以，不合題意；當時，，所以，所以當且僅當，即時等號成立，故選：B．9．BCD【分析】由復(fù)數(shù)的四則運算和復(fù)數(shù)模長公式驗證各選項即可.【詳解】令，對A，，則不一定成立，故A選項錯誤；對B，，故B選項正確；對C，，故C選項正確；對D，，故D選項正確.故選：BCD10．AC【分析】利用賦值法求得，，可判斷各選項的正誤。【詳解】令，則，令，則，解得或，若，則恒成立，不合題意，故，A選項正確；，則,，B選項錯誤；函數(shù)，定義域為R，，為偶函數(shù)，C正確，D錯誤.故選：AC11．ABD【分析】由面面平行的判定及性質(zhì)即可判斷A；以為基底，證明出平面，即可判斷B；由即可判斷出D；由正弦定理，勾股定理及函數(shù)單調(diào)性即可判斷出C．【詳解】對于A，連接，由平行六面體得，平面平面，平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，同理可得，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故A正確；對于B，以為基底，則，，，因為平行六面體的棱長均為2，，所以，，所以，因為平面，且，所以平面，又平面，所以，故B正確；對于D，，，即，所以，當點共線時等號成立，故D正確；對于C，因為平面，則交的外心，連接，則，在中，由正弦定理得外接圓直徑，，則，，設(shè)，在中，，在中，，則，所以，故C錯誤；故選：ABD．【點睛】方法點睛：在平行六面體中，已知棱長均為2，，處理該幾何體中的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系時，以為基底，利用向量解決問題．12．2【分析】利用列舉法求解集合，即可求解.【詳解】當時，，2，4，分別為,均不能滿足，當時，時可滿足，時，，時，均不滿足，當時，可滿足，時，，時，均不滿足，所以，故集合的元素有2個，故答案為：213．【分析】設(shè)，，利用勾股定理得到，再由兩角和的正切公式及銳角三角函數(shù)求出、，最后根據(jù)計算可得.【詳解】連接，依題意，設(shè)，，則，又，即，即，即，顯然，則，即，又，所以，整理得，即，解得，所以，所以.故答案為：14．【分析】令得，四邊形為菱形，由得，又，得，由，代入函數(shù)解析式求的值.【詳解】函數(shù)，，若，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意，時，，得，則，，四邊形為菱形，則，，故，，，則，，由，化簡得，令，則，即，解得，故，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是用好四邊形為菱形，由對角線互相垂直利用直線斜率得，利用對角線互相平分有，求出，由求的值.15．(1)X的分布列見解析，期望(2)；預(yù)測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元．【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.【詳解】（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有C，D，E這3家超市，則隨機變量的可能取值為1，2，3，，，的分布列為：123數(shù)學(xué)期望．（2），，，．關(guān)于的線性回歸方程為；在中，取，得．預(yù)測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元．16．(1)(2)【分析】（1）由，分別求出及，即可寫出切線方程；（2）計算出，令，解得或，分類討論的范圍，得出的單調(diào)性，由在區(qū)間上的最小值為，列出方程求解即可．【詳解】（1）當時，，則，，所以，所以曲線在處的切線方程為：，即．（2），令，解得或，當時，時，，則在上單調(diào)遞減，所以，則，符合題意；當時，時，，則在上單調(diào)遞減，時，，則在上單調(diào)遞增，所以，則，不合題意；當時，時，，則在上單調(diào)遞減，所以，不合題意；綜上，．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面，平面，得，由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理，即可得出答案．（2）利用等體積法可得為等腰直角三角形，所以,建立坐標系，利用向量垂直可得,求解兩平面的法向量，進而可得求解．【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面平面，平面，所以．（2）由于平面，，所以平面，平面，故,又因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面由于，則,故,故為等腰直角三角形，所以,如圖以為坐標原點，所在的直線分別為，，軸建系，設(shè)，則，故由于，所以，故，設(shè)平面的法向量為,,，平面的法向量為,,，因為，，所以，即令，則，因為，，所以，即令，則，設(shè)成的角為，由圖可知為鈍角，所以，故，18．(1)(2)【分析】（1）由兩曲線有公共的焦點F，且，得，，可求漸近線方程；（2）通過設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，借助韋達定理，表示出和，由求的取值范圍．【詳解】（1）拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點F，設(shè)雙曲線E的焦距為，則有，又，則.由，得，所以E的漸近線的方程為（2）設(shè)，，1與E的兩條近線交于P，Q兩點均位于y軸右側(cè)，有，由，解得，，.設(shè)，由，消去得，則有，，由，，有，即，由，有，所以.

【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19．(1)不是“X數(shù)列”(2)證明見解析；，(3)證明見解析【分析】（1）依次求出，再根據(jù)“X數(shù)列”定義進行判斷即可.（2）由先求出數(shù)列通項公式，再依據(jù)“X數(shù)列”定義進行推算證明即可，接著由“余項數(shù)列”的定義公式進行計算即可.（3）先探究得出“余項數(shù)列”公差情況，再討論時推出矛盾得到，接著探究時若得出矛盾，從而得出，進而得出即可進一步推出.【詳解】（1）由題，所以有，，故根據(jù)“X數(shù)列”的定義不是“X數(shù)列”.（2）因為，所以當時，；當時，；則不滿足，所以，令，即，則當時，有，；當時，有；故即