高中數(shù)學(xué)人教A版選修23課時(shí)跟蹤檢測（十五）事件的相互獨(dú)立性

課時(shí)跟蹤檢測（十五）事件的相互獨(dú)立性層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是()A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件解析：選D根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的定義可知，A與B不是相互獨(dú)立事件．故選D．2．若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關(guān)系是()A．事件A與B互斥 B．事件A與B對(duì)立C．事件A與B相互獨(dú)立 D．事件A與B既互斥又獨(dú)立解析：選C因?yàn)镻(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，所以P(A)＝eq\f(1,3)，又P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,9)，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨(dú)立但不一定互斥．3．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊，則他們同時(shí)中靶的概率是()A．eq\f(14,25) B．eq\f(12,25)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,5)解析：選A由題意知P甲＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，P乙＝eq\f(7,10)，所以P＝P甲·P乙＝eq\f(14,25).4．有兩名射手射擊同一目標(biāo)，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，則目標(biāo)被擊中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94D．0.96解析：選C設(shè)事件A表示：“甲擊中”，事件B表示：“乙擊中”．由題意知A，B互相獨(dú)立．故目標(biāo)被擊中的概率為P＝1－P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－0.2×0.3＝0.94.5．從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，則eq\f(2,3)等于()A．2個(gè)球不都是紅球的概率B．2個(gè)球都是紅球的概率C．至少有1個(gè)紅球的概率D．2個(gè)球中恰好有1個(gè)紅球的概率解析：選C至少有1個(gè)紅球的概率是eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).6．有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.答案：0.267．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.解析：∵A，B相互獨(dú)立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.答案：0.650.38．設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A，B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率等于B發(fā)生A不發(fā)生的概率，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝________.解析：由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－P(A))(1－P(B))＝\f(1,9)，,P(A)(1－P(B))＝P(B)(1－P(A))，))解得P(A)＝P(B)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為eq\f(4,5)和eq\f(3,4).求：(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率．(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率．解：記“甲氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件A，“乙氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件B．顯然事件A，B相互獨(dú)立且P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,4).(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為P＝1－P(AB)＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(19,20).10．已知A，B，C為三個(gè)獨(dú)立事件，若事件A發(fā)生的概率是eq\f(1,2)，事件B發(fā)生的概率是eq\f(2,3)，事件C發(fā)生的概率是eq\f(3,4)，求下列事件的概率：(1)事件A，B，C只發(fā)生兩個(gè)；(2)事件A，B，C至多發(fā)生兩個(gè)．解：(1)記“事件A，B，C只發(fā)生兩個(gè)”為A1，則事件A1包括三種彼此互斥的情況，A·B·eq\x\to(C)；A·eq\x\to(B)·C；eq\x\to(A)·B·C，由互斥事件概率的加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(A·B·eq\x\to(C))＋P(A·eq\x\to(B)·C)＋P(eq\x\to(A)·B·C)＝eq\f(1,12)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，∴事件A，B，C只發(fā)生兩個(gè)的概率為eq\f(11,24).(2)記“事件A，B，C至多發(fā)生兩個(gè)”為A2，則包括彼此互斥的三種情況：事件A，B，C一個(gè)也不發(fā)生，記為A3，事件A，B，C只發(fā)生一個(gè)，記為A4，事件A，B，C只發(fā)生兩個(gè)，記為A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝eq\f(1,24)＋eq\f(6,24)＋eq\f(11,24)＝eq\f(3,4).∴事件A，B，C至多發(fā)生兩個(gè)的概率為eq\f(3,4).層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．在某段時(shí)間內(nèi)，甲地下雨的概率為0.3，乙地下雨的概率為0.4，假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否下雨之間沒有影響，則這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩地都不下雨的概率為()A．0.12 B．0.88C．0.28 D．0.42解析：選DP＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42.2．如圖所示，在兩個(gè)圓盤中，指針落在本圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)解析：選A設(shè)A表示“第一個(gè)圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”，則P(A)＝eq\f(2,3)，B表示“第二個(gè)圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”，則P(B)＝eq\f(2,3).故P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).3.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時(shí)，均從一片荷葉跳到另一片荷葉)，而且順時(shí)針方向跳的概率是逆時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9) D．eq\f(8,27)解析：選A按A→B→C→A的順序的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，按A→C→B→A的順序的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，故跳三次之后停在A葉上的概率為P＝eq\f(1,27)＋eq\f(8,27)＝eq\f(1,3).4.如圖，已知電路中4個(gè)開關(guān)閉合的概率都是

，且是互相獨(dú)立的，則燈亮的概率為()A．eq\f(3,16) B．eq\f(3,4)C．eq\f(13,16) D．eq\f(1,4)解析：選C記“A，B，C，D四個(gè)開關(guān)閉合”分別為事件A，B，C，D，可用對(duì)立事件求解，圖中含開關(guān)的三條線路同時(shí)斷開的概率為：P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))[1－P(AB)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(3,16).∴燈亮的概率為1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).5．加工某零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________．解析：加工出來的零件的正品率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，所以次品率為1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).答案：eq\f(3,70)6．某次知識(shí)競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于________．解析：此選手恰好回答4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪，說明此選手第2個(gè)問題回答錯(cuò)誤，第3、第4個(gè)問題均回答正確，第1個(gè)問題答對(duì)答錯(cuò)都可以．因?yàn)槊總€(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，故所求的概率為1×0.2×0.82＝0.128.答案：0.1287．某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為0.6,0.4,0.5,0.2.已知各輪問題能否正確回答互不影響．(1)求該選手被淘汰的概率；(2)求該選手在選拔中至少回答了2個(gè)問題后最終被淘汰的概率．解：記“該選手能正確回答第i輪的問題”為事件Ai(i＝1,2,3,4)，則P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.(1)法一：該選手被淘汰的概率：P＝P(eq\x\to(A)1∪A1eq\x\to(A)2∪A1A2eq\x\to(A)3∪A1A2A3eq\x\to(A)4)＝P(eq\x\to(A)1)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(eq\x\to(A)4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)·P(A3)·P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)法一：P＝P(A1eq\x\to(A)2∪A1A2eq\x\to(A)3∪A1A2A3eq\x\to(A)4)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(eq\x\to(A)4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.法二：P＝1－P(eq\x\to(A)1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.8．某學(xué)生語、數(shù)、英三科競賽成績，排名全班第一的概率為：語文為0.9，數(shù)學(xué)為0.8，英語為0.85，問一次考試中：(1)三科成績均未獲得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少？解：分別記“該生語、數(shù)、英競賽成績排名全班第一”為事件A，B，C，則P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(1)該學(xué)生三科成績均未獲得第一名的概率P1＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝0.1×0.2×0.15＝0.003.(2)該學(xué)生恰有一科成績未獲得第一名的概率P2＝P(eq