七級(jí)數(shù)學(xué)思維探究（16）平面直角坐標(biāo)系含試卷分析詳解

笛卡兒（），法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、思想家．迪卡兒的最大貢獻(xiàn)是，建立以他的名字命名的迪卡兒坐標(biāo)系，將過(guò)去對(duì)立著的兩個(gè)研究對(duì)象“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)，他在數(shù)學(xué)中引入“變量”，完成了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)劃時(shí)代的變革，年出版的《方法論》一書(shū)成為哲學(xué)經(jīng)典，這本書(shū)的個(gè)著名附錄《幾何》、《折光》和《氣象》奠定了笛卡兒在數(shù)學(xué)、物理和天文學(xué)中的地位．16．平面直角坐標(biāo)系解讀課標(biāo)在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系，從而坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用平面直角坐標(biāo)系是確定位置的有效方法之一，解與此相關(guān)的問(wèn)題需注意：（1）理解點(diǎn)的坐標(biāo)意義；（2）熟悉象限內(nèi)的點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征；（3）善于促成坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)化．如果說(shuō)數(shù)軸撞開(kāi)了數(shù)形結(jié)合的“一線天”，那么直角坐標(biāo)系則撞開(kāi)了一片廣闊的天地．問(wèn)題解決例1（1）已知點(diǎn)，且點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．（2）如圖，圍棋盤放置在某個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，白棋②的坐標(biāo)為，白棋④的坐標(biāo)為，那么，黑棋的坐標(biāo)應(yīng)該分別是________．試一試對(duì)于（1），由橫縱坐標(biāo)的聯(lián)系建立方程．例2如圖，一個(gè)粒子在第一象限內(nèi)及、軸上運(yùn)動(dòng)，在第一分鐘內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，而后它接著按圖所示在軸、軸平行的方向上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，且每分鐘移動(dòng)個(gè)長(zhǎng)度單位，那么，在分鐘后這個(gè)粒子所處的位置是（）．A．B．C．D．試一試從尋找第一象限特殊點(diǎn)的坐標(biāo)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系入手．例3如果將點(diǎn)繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)重合，那么稱點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，定點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，此時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，如圖，在直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、，點(diǎn)，，，…中相鄰兩點(diǎn)都關(guān)于的一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，…對(duì)稱中心分別是，，，，，，…且這些對(duì)稱中心依次循環(huán)，已知的坐標(biāo)是．試寫(xiě)出點(diǎn)、、的坐標(biāo)．試一試在操作的基礎(chǔ)上，探尋點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，，，．（1）求此四邊形的面積．（2）在坐標(biāo)軸上，你能否找到一點(diǎn)，使?若能，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．試一試對(duì)于（1），通過(guò)作輔助線把表示為常規(guī)圖形面積的和差；對(duì)于（2），因點(diǎn)位置不確定，故需分類討論．例5如圖①，已知是一個(gè)長(zhǎng)方形，其中頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為和，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在上，且．點(diǎn)在上，且使的面積為，的面積為，試求的值．解設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，即．①同理，由，得，即．②解由①②聯(lián)立的方程組得．棋盤上的數(shù)學(xué)例6下象棋是很多人喜愛(ài)的事，你知道象棋里充滿著數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？如圖①，象棋盤上有一只馬，它跳七步能回到原來(lái)的位置上嗎？若能，請(qǐng)給出一種跳法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析與解不論怎么跳，馬都不能回到原來(lái)的位置，理由如下：如圖②，我們可在棋盤上建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)這只馬所在的位置的坐標(biāo)為．那么，馬跳一步后的位置的坐標(biāo)應(yīng)為，這里的和只可能是，，，這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)（想一想，為什么）．同樣，跳第二步后，馬所在的位置的坐標(biāo)應(yīng)為，這里的和也只可能是，，，．依此類推，跳七步后，馬所在的位置的坐標(biāo)為．如果這時(shí)馬又回到原來(lái)的位置，那么有，．也即，將兩式相加，有．由于上式中個(gè)數(shù)都只能取，，，，而且每一次跳的兩個(gè)坐標(biāo)之和不能為，，，和，因此，，，，，，這七個(gè)數(shù)只能取，，，．但是不論怎樣取法，由于奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和為奇數(shù)，所以這樣取出的七個(gè)數(shù)的和不可能等于．故馬跳七步不可能回到原來(lái)的位置．?dāng)?shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．2．已知點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱，則的值為_(kāi)______．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如，，，，，……根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)______．4．在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．已知點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的整點(diǎn)，記內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的所有可能值是_______；當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)）時(shí)，________（用含的代數(shù)式表示）．5．已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，則的取值范圍是（）．A．B．C．D．6．如果點(diǎn)在第四象限，那么的取值范圍是（）．A．B．C．D．7．線段在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，線段關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A．B．C．D．8．甲乙兩位同學(xué)用圍棋子做游戲．如圖所示，現(xiàn)輪到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的個(gè)棋子組成軸對(duì)稱圖形，白棋的個(gè)棋子也成軸對(duì)稱圖形，則下列下子方法不正確的是（）．[說(shuō)明：棋子的位置用數(shù)對(duì)表示，如點(diǎn)在]A．黑；白B．黑；白C．黑；白D．黑；白9．中國(guó)象棋棋盤中蘊(yùn)含著平面直角坐標(biāo)系，如圖是中國(guó)象棋棋盤的一半，棋子“馬”走的規(guī)則是沿“日”形的對(duì)角線走．例如：圖中“馬”所在的位置可以直接走到點(diǎn)、處．（1）如果“帥”位于點(diǎn)，“相”位于點(diǎn)，則“馬”所在的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．（2）若“馬”的位置在點(diǎn)，為了到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)按“馬”走的規(guī)則，在圖中畫(huà)出一種你認(rèn)為合理的行走路線，并用坐標(biāo)表示．10．在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)個(gè)單位．其行走路線如圖所示．（1）填寫(xiě)下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：（______，_______）；（______，______）；（______，______）．（2）寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（是正整數(shù)）．（3）指出螞蟻從點(diǎn)到點(diǎn)的移動(dòng)方向．思維方法天地11．在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請(qǐng)你觀察圖中的正方形，，，…，每個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，推算出正方形四條邊上的整點(diǎn)共有________個(gè)．12．如圖，正方形在坐標(biāo)系中的位置如圖，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．13．如圖，把自然數(shù)按圖的次序排在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)自然數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)坐標(biāo)．如的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是原點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，那么的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．14．若關(guān)于、的方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在第二象限，則符合條件的實(shí)數(shù)的范圍是（）．A．B．C．D．15．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)，若規(guī)定以下三種變換：①．如；②．如；③．如．按照以上變換有：，那么，等于（）．A．B．C．D．16．設(shè)平面直角坐標(biāo)系的軸以作為長(zhǎng)度單位，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，其中，若該三角形的面積為，則的值是（）．A．B．C．D．E．17．如圖，長(zhǎng)方形的各邊分別平行于軸或軸，物體甲和物體乙由點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿長(zhǎng)方形的邊作環(huán)繞運(yùn)動(dòng)，物體甲按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵雮€(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，物體乙按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵雮€(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，求兩個(gè)物體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后的第次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)．18．在平面直角坐標(biāo)系中，如圖①，將線段平移至線段，連接、．（1）直接寫(xiě)出圖中相等的線段、平行的線段；（2）已知、，點(diǎn)在軸的正半軸上．點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且，求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一定點(diǎn)，，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，請(qǐng)你探索是否存在以兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、為端點(diǎn)的線段平行于線段且等于線段．若存在，求以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．應(yīng)用探究樂(lè)園19．如圖，是放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為，，，若點(diǎn)在梯形內(nèi)，且，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．20．操作與研究（1）對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．點(diǎn)，在數(shù)軸上，對(duì)線段上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段，其中點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，．如圖①，若點(diǎn)表示的數(shù)是，則點(diǎn)表示的數(shù)是______；若點(diǎn)表示的數(shù)是，則點(diǎn)表示的數(shù)是______；已知線段上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)表示的數(shù)是_________．（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)正方形及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)，將得到的點(diǎn)先向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，．已知正方形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)．16．平面直角坐標(biāo)系問(wèn)題解決例1（1）、；（2）、例2D弄清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，先觀察橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的相同的點(diǎn)：，粒子運(yùn)動(dòng)了分鐘；，粒子運(yùn)動(dòng)了分鐘，將向左運(yùn)動(dòng)；粒子運(yùn)動(dòng)了分鐘，將向下運(yùn)動(dòng)；，粒子運(yùn)動(dòng)了分鐘，將向左運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)了分鐘，將向下運(yùn)動(dòng)，…，于是將有：點(diǎn)處粒子運(yùn)動(dòng)了分鐘，這時(shí)粒子將向下運(yùn)動(dòng)，從而在運(yùn)動(dòng)了分鐘后，粒子所在位置是，故選D．例3點(diǎn)與點(diǎn)重合，個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)循環(huán)，，．，點(diǎn)與點(diǎn)坐標(biāo)相同，為．例4（1）．（2）①當(dāng)點(diǎn)在軸上，設(shè)，則，由，得或，，．②當(dāng)點(diǎn)在軸上，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于，設(shè)，，，．又，解得，．設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，，，解得；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，，，解得，綜上，，，滿足題意．?dāng)?shù)學(xué)沖浪1．2．3．以最外邊的正方形邊上的點(diǎn)為準(zhǔn)，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)等于該正方形右下角（即軸上）的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方．4．或；5．B6．D7．D8．C9．（1），，；（2）略10．（1），，；（2），；（3）向上11．提示：每個(gè)正方形四條邊的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為12．13．所有奇數(shù)的平方數(shù)都在第四象限的角平分線上，且數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，而，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．B15．B16．B17．因?yàn)殚L(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為和，所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為．因?yàn)槲矬w乙的速度是物體甲的倍，故相同時(shí)間內(nèi)，物體甲與物體乙行的路程比為．（1）因?yàn)榈诖蜗嘤鰰r(shí)，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們?cè)谶呄嘤?，此時(shí)相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）因?yàn)榈诖蜗嘤鰰r(shí)，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們?cè)谶呄嘤觯藭r(shí)相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）因?yàn)榈诖蜗嘤鰰r(shí)，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們?cè)邳c(diǎn)相遇．此時(shí)甲