山東省東營市2022-2023學年高一上學期期末數(shù)學試題

20222023學年第一學期期末教學質(zhì)量調(diào)研高一數(shù)學試題2023年01月一、單項選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合，由此求得.【詳解】，解得或，所以，而，所以.故選：A2.十名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)其中位數(shù)為a，眾數(shù)為b，第一四分位數(shù)為c，則a，b，c大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、分位數(shù)的定義求解.【詳解】對生產(chǎn)件數(shù)由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，所以中位數(shù)眾數(shù)為17，，所以第一四分位數(shù)為第三個數(shù)，即14，所以，故選:B.3.已知函數(shù)定義域為，則“”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】通過反例和奇函數(shù)的性質(zhì)可直接得到結(jié)論.【詳解】若，則，此時為偶函數(shù)，充分性不成立；若為奇函數(shù)，且其定義域為，則恒成立，必要性成立；函數(shù)的定義域為，則“”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.4.如圖是函數(shù)的圖象，則下列說法不正確的是（）A. B.的定義域為C.的值域為 D.若，則或2【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象和定義域，值域等性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：由圖象知正確，函數(shù)的定義域為，正確，函數(shù)的最小值為，即函數(shù)的值域為，，故錯誤，若，則或2，故正確故選：．5.世紀，在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運算，數(shù)學家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”.已知，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進行判斷即可.【詳解】因為.6644，所以.故選：C6.方程的根所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用零點存在定理可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)為上的增函數(shù)，，，則，因此，方程的根所在的區(qū)間為.故選：B.7.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且2是它的一個零點，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式.【詳解】因為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又因為2是它的一個零點，所以，所以，所以當時，所以由可得解得，故選:A.8.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的滿足且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，判斷出的奇偶性、單調(diào)性，由此求得不等式的解集.【詳解】設(shè)，由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以是定義在上的偶函數(shù).任取，，則：，，所以在上遞增，則在上遞減.，，對于不等式，當時，有，即；當時，由，即，綜上所述，不等式的解集為.故選：A二、多項選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差和極差的定義求解.【詳解】數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A錯誤；若數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故B錯誤；數(shù)據(jù)的標準差為，新數(shù)據(jù)的標準差為，故C正確；若數(shù)據(jù)中的最大數(shù)為最小數(shù)為，則極差為，則數(shù)據(jù)的極差為，故D正確，故選：CD.10.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】應用特殊值，判斷A、C，根據(jù)，的單調(diào)性判斷B、D.【詳解】當時，則，而，又，∴A，C不正確；∵，都是上單調(diào)遞增函數(shù)，∴B，D是正確的.故選：BD.11.關(guān)于的方程的解集中只含有一個元素，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由方程有意義可得且，并將方程化為；根據(jù)方程解集中僅含有一個元素可分成三種情況：方程有且僅有一個不為和的解、方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為、方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由此可解得所有可能的值.【詳解】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一個元素，則有以下三種情況：①方程有且僅有一個不為和的解，，解得：，此時的解為，滿足題意；②方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；③方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；綜上所述：或或.故選：ABD.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若，則B.在R上單調(diào)遞增C.當時，D.函數(shù)圖像關(guān)于點成中心對稱【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)不等式、函數(shù)單調(diào)性、對稱性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，即，A選項正確.B選項，，由于在上遞減，所以在上遞增，B選項正確.C選項，當時，，所以，即，所以，C選項正確.D選項，，D選項錯誤.故選：ABC三、填空題：（每題5分，共20分）13.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的的知識求得，然后根據(jù)反函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】依題意，冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，所以，所以，令，解得，交換得，所以故答案為：14.設(shè)兩個相互獨立事件A與B，若事件A發(fā)生的概率為p，B發(fā)生的概率為，則A與B同時發(fā)生的概率的最大值為______.【答案】##0.25【解析】【分析】求出相互獨立事件同時發(fā)生的概率，利用二次函數(shù)求最值.【詳解】因為事件A與B同時發(fā)生的概率為，所以當時，最大值為.故答案為：15.已知函數(shù)，且，寫出函數(shù)的一個解析式：________．【答案】【解析】【分析】利用累乘的方法可求解函數(shù)解析式.【詳解】因為，所以，即，所以函數(shù)的一個解析式為，故答案為:.16.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，且，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】將表示為分段函數(shù)的形式，對進行分類討論，求得，由此求得的取值范圍.【詳解】，當時，方程有個不相等的實數(shù)根，在上遞增，所以時，有個根，且時，有個根，所以，解得.由于，則，所以，，，，.當時，當時，方程的判別式，所以此時不符合題意.當時，，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點睛】研究含有絕對值的函數(shù)的零點，關(guān)鍵點在于去絕對值，將所研究的函數(shù)表示為分段函數(shù)的形式，由此再對參數(shù)進行分類討論，結(jié)合零點個數(shù)來求得參數(shù)的取值范圍.在分類討論時，要注意做到不重不漏.四、解答題：本題共6題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.求解下列問題：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)根式、指數(shù)運算求得正確答案.（2）根據(jù)對數(shù)運算求得正確答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.甲、乙兩人想?yún)⒓幽稠椄傎?，根?jù)以往20次的測試，將樣本數(shù)據(jù)分成［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］五組，并整理得到如下頻率分布直方圖：已知甲測試成績的中位數(shù)為75.（1）求，的值，并分別求出甲、乙兩人測試成績的平均數(shù)（假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間中點值代替）；（2）從甲、乙兩人測試成績不足60分的試卷中隨機抽取3份，求恰有2份來自乙的概率.【答案】（1）；；甲的平均分為，乙的平均分為；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)甲測試成績的中位數(shù)為75，由，求得y,再利用各矩形的面積的和為1，求得x,然后利用平均數(shù)公式求解.（2）易得甲測試成績不足60分的試卷數(shù)2，乙測試成績不足60分的試卷數(shù)3，先得到從中抽3份的基本事件數(shù)，再找出恰有2份來自乙的基本事件數(shù)，代入古典概型公式求解.【詳解】（1）∵甲測試成績的中位數(shù)為75，∴，解得.∴，解得.同學甲的平均分為.同學乙的平均分為.（2）甲測試成績不足60分的試卷數(shù)為，設(shè)為，.乙測試成績不足60分的試卷數(shù)為，設(shè)為，，.從中抽3份的情況有，，，，，，，，，，共10種情況.滿足條件有，，，，，，共6種情況，故恰有2份來自乙的概率為.19.已知關(guān)于x的不等式的解集為或（）.（1）求a，b的值；（2）當，，且滿足時，有恒成立，求k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法可得1和a是方程的兩個實數(shù)根且，從而利用韋達定理建立方程組即可求解；（2）由均值不等式中“1”的靈活運用可得，從而解一元二次不等式即可得答案.【小問1詳解】解：因為不等式的解集為或（），所以1和a是方程的兩個實數(shù)根且，所以，解得；【小問2詳解】解：由（1）知，且，，所以，當且僅當，即時等號成立，依題意有，即，所以，解得，所以k的取值范圍為.20.甲?乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）求乙獲勝的概率；（2）求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)規(guī)則乙先投進，分情況討論，求各個情況下概率和即可；（2）根據(jù)規(guī)則第四次乙先進球或第五次甲先進球，符合題意，求概率和即可.【詳解】（1）記“乙獲勝”為事件C，記甲第次投籃投進為事件，乙第次投籃投進為事件由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知（2）記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件D，則由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知.21.提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況．一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：輛/千米）滿足關(guān)系式：研究表明，當隧道內(nèi)的車流密度達到120輛/千米時會造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．（1）若車流速度不小于40千米/小時，求車流密度的取值范圍；（2）隧道內(nèi)車流量（單位時間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時）滿足．求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時）及隧道內(nèi)車流量達到最大時的車流密度（精確到1輛/千米）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（1）車流速度不小于40千米小時，車流密度的取值范圍為，；（2）（2）隧道內(nèi)車流量的最大值為3250輛小時，車流量最大時的車流密度87輛千米．【解析】分析】（1）由（輛千米）時，（千米小時）求得，可得關(guān)于的關(guān)系式，再由求解的范圍得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）寫出隧道內(nèi)的車流量關(guān)于的函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求出分段函數(shù)的最值，則答案可求．【小問1詳解】解：由題意，當（輛千米）時，（千米小時），代入，得，解得．，當時，，符合題意；當時，令，解得，．綜上，．故車流速度不小于40千米小時，車流密度的取值范圍為，；【小問2詳解】由題意得，，當時，為增函數(shù)，，等號當且僅當時成立；當時，．當且僅當，即，時成立，綜上，的最大值約為3250，此時約為87．故隧道內(nèi)車流量的最大值為3250輛小時，車流量最大時的車流密度87輛千米．22.函數(shù)．（1）若的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當時，若的值域為R，求實數(shù)a的值；（3）在（2）條件下，為定義域為R的奇函數(shù)，且時，，對任意的，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）；（3）答案詳見解析.【解析】【分析】（1）由恒成立分離常數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案；（2）令，結(jié)合的值域包含列不等式，由此求得正確答案；（3）先求得的解析式，由此化簡不等式.對進行分類討論，由此