2023-2024學(xué)年湖南省常德市漢壽一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

湖南省常德市漢壽縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則在時(shí)間內(nèi)相應(yīng)的平均速度為（

）A． B． C． D．2．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．3．若數(shù)列滿(mǎn)足，且，則（

）A．－1 B．2 C． D．4．已知空間四邊形ABCO中，，，，M為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，則等于（

）A． B．C． D．5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．6．若直線與直線平行，則的值為（

）A． B．C．或 D．1或7．如圖，方格蜘蛛網(wǎng)是由一族正方形環(huán)繞而成的圖形．每個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在其外接正方形的四邊上，且分邊長(zhǎng)為．現(xiàn)用米長(zhǎng)的鐵絲材料制作一個(gè)方格蜘蛛網(wǎng)，若最外邊的正方形邊長(zhǎng)為米，由外到內(nèi)順序制作，則完整的正方形的個(gè)數(shù)最多為（參考數(shù)據(jù):）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)8．是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，I是的內(nèi)切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且，則下列選項(xiàng)中一定成立的有（

）A． B． C． D．10．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．11．在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱(chēng)為“芻童”．已知棱臺(tái)是一個(gè)側(cè)棱相等、高為2的“芻童”，其中，則（

）A．該“芻童”的表面積為B．該“芻童”中平面C．該“芻童”外接球的球心到平面的距離為D．該“芻童”側(cè)棱與平面所成角的正弦值為12．已知橢圓，雙曲線（，），橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，離心率分別為，，橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為且，則（

）A．若，則B．的最小值為C．的內(nèi)心為，到軸的距離為D．的內(nèi)心為，過(guò)右焦點(diǎn)做直線的垂線，垂足為，點(diǎn)的軌跡為圓三、填空題13．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)B)，求的最大值.15．已知＝(0,－5,10)，＝(1,－2,－2)，＝4，＝12，則＝.16．已知數(shù)列，滿(mǎn)足，則四、解答題17．已知正數(shù)數(shù)列前項(xiàng)和為，且任意，與2的等差中項(xiàng)等于與2的正的等比中項(xiàng)．（1）求，，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．18．已知圓，圓．(1)證明：圓與圓相交，并求出圓與圓的公共弦所在直線l的方程；(2)過(guò)直線l上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，求四邊形的面積．19．已知點(diǎn)是拋物線C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求直線l的斜率.20．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，是圓的直徑，，求二面角的余弦值.21．已知在數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式在和之間插入k個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，將插入的k個(gè)數(shù)之和記為，其中，2，…，n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．22．已知雙曲線的離心率為，A、F分別為左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)B，的面積為(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：1．D【解析】由平均變化率的定義計(jì)算．【詳解】.故選：D．2．C【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的斜率，進(jìn)而求出傾斜角即可計(jì)算作答.【詳解】直線的斜率為，而直線與直線垂直，于是得，而，則，所以.故選：C3．A【分析】根據(jù)遞推公式求出的周期即可.【詳解】由題意，，又，是周期為3的周期數(shù)列，.故選：A.4．D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，即可求解．【詳解】如圖所示：點(diǎn)N在BC上，且，∴，由，，，為中點(diǎn)，，，．故選：D．5．B【分析】畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象以及拋物線的定義，計(jì)算，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】如圖：由題意可知，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，不妨設(shè)在第四象限，，，在線段上，設(shè)，在中，，故，作準(zhǔn)線于，軸于，，即，，，，故選：B【點(diǎn)睛】有關(guān)拋物線的題目，可考慮結(jié)合拋物線的定義來(lái)進(jìn)行求解.6．C【分析】若直線∥直線，則，代入數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】直線與直線平行，,或.故答案為：或7．B【分析】根據(jù)條件可得由外到內(nèi)的正方形的邊長(zhǎng)依次構(gòu)成等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得這些正方形的周長(zhǎng)，列不等式，解得結(jié)果.【詳解】記由外到內(nèi)的第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則..令，解得，故可制作完整的正方形的個(gè)數(shù)最多為個(gè).

應(yīng)選B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式以及解指數(shù)不等式，考查基本分析化簡(jiǎn)求解能力，屬中檔題.8．B【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式表示出，然后再根據(jù)兩個(gè)三角形的面積關(guān)系求出.【詳解】設(shè)橢圓方程為：如圖，設(shè)三角形的周長(zhǎng)為，由橢圓的定義可得，又，解之：故選：B9．BC【分析】先根據(jù)條件得到，且，然后通過(guò)計(jì)算確定，的正負(fù)即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榈炔顢?shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，所以，又，所以，所以，又，解得所以，所以，A錯(cuò)誤，B正確；又所以，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．AC【分析】利用基本函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可.【詳解】選項(xiàng)A，，故A正確；選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，故C正確；選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．ACD【分析】對(duì)于A，把兩個(gè)相鄰的側(cè)高求出來(lái)，然后就可以求側(cè)面積，最終求表面積驗(yàn)算即可；對(duì)于B，可以證明與不垂直，即可推翻結(jié)論（結(jié)合線面垂直的性質(zhì)）；對(duì)于C，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，可設(shè)，由，即，求出的值即可；對(duì)于D，由線面角的正弦值的向量公式進(jìn)行驗(yàn)算即可.【詳解】設(shè)上下兩底面的中心分別為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，由題意面，設(shè)分別為的中點(diǎn)，則，而面，所以，所以?xún)蓛纱怪?，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：對(duì)于A，因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，同理過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，所以側(cè)面面積之和為，而上下底面之和為，所以該“芻童”的表面積為，故A正確；對(duì)于B，由題意知四邊形為矩形，，，但，這表明了與不垂直，所以不垂直平面（否則由線面垂直的性質(zhì)得，導(dǎo)出矛盾），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由對(duì)稱(chēng)性可知該“芻童”外接球的球心在直線上，不妨設(shè)它為，而，所以，由，即得，，解得，所以該“芻童”外接球的球心到平面的距離為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，又面，故取平面的法向量為，不妨設(shè)該“芻童”側(cè)棱與平面所成角為，則該“芻童”側(cè)棱與平面所成角的正弦值為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是對(duì)于A選項(xiàng)的判斷，先求相鄰面的側(cè)高，對(duì)于CD選項(xiàng)的判斷可以關(guān)鍵是用空間向量來(lái)驗(yàn)算.12．AC【分析】由橢圓、雙曲線定義及余弦定理得到，即可判斷A；再由離心率公式及基本不等式“1”的代換求最小值判斷B；根據(jù)圓切線的性質(zhì)及雙曲線定義求雙曲線與軸切點(diǎn)橫坐標(biāo)判斷C；延長(zhǎng)交于，若為中點(diǎn)，連接，根據(jù)已知易得為平行四邊形，令有，結(jié)合已知條件判斷D.【詳解】若橢圓、雙曲線半焦距為，則，且分別為左右焦點(diǎn)，中，令，則，，所以，則，上式消去，得，而，若，即，則，A對(duì)；由上知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)；若為內(nèi)切圓與各邊切點(diǎn)，如下圖，則，又，所以，即切點(diǎn)為雙曲線右頂點(diǎn)，有軸，所以到軸的距離為，C對(duì)；延長(zhǎng)交于，若為中點(diǎn)，連接，由題意且平分，故為等腰三角形且，所以，在中為中位線，則，且，故為平行四邊形，令，則，所以，又在第一象限且不定，故點(diǎn)的軌跡不為圓，D錯(cuò).

故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用橢圓、雙曲線定義、余弦定理得到判斷A、B的關(guān)鍵，由圓切線性質(zhì)和雙曲線定義判斷C的關(guān)鍵，找到點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離并寫(xiě)出方程為關(guān)鍵.13．6【詳解】=3=.故答案為6.14．2【分析】設(shè)點(diǎn)，列出的表達(dá)式并整理，令，轉(zhuǎn)化成直線與圓有公共點(diǎn)即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，于是得，令，即有，顯然直線與圓有公共點(diǎn)，則，整理得，解得，得，所以的最大值為2.故答案為：215．120°/【分析】利用空間向量數(shù)量級(jí)的運(yùn)算律可得，再由已知及空間向量數(shù)量積的定義求即可【詳解】由題設(shè)，，∴，又＝(1,－2,－2)，＝12，∴，又∈[0°,180°]，∴＝120°.故答案為：120°16．【分析】根據(jù)已知條件可得，，進(jìn)而求結(jié)果.【詳解】由，則,，兩式作差，得,，所以，故.故答案為：17．（1），，；（2）．見(jiàn)解析【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，分別取，，代入計(jì)算得到答案.（2）猜測(cè)，再利用數(shù)列歸納法證明：時(shí)成立，假設(shè)時(shí)成立，再利用時(shí)，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）與2的等差中項(xiàng)等于與2的正的等比中項(xiàng)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）猜想當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足假設(shè)時(shí)滿(mǎn)足，即則當(dāng)時(shí)，解得，故時(shí)也成立.綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的掌握情況.18．(1)證明見(jiàn)解析；(2)8【分析】（1）將兩圓化成標(biāo)準(zhǔn)式，判斷圓心距與半徑的關(guān)系可證相交，兩圓的方程直接作差可求公共弦方程；（2）由（1）求得，判斷在圓外，先求出，結(jié)合勾股定理求出，再由即可求解.【詳解】（1）圓的方程配方可得，圓心，半徑，圓的方程配方可得，圓心，半徑，所以?xún)蓤A心的距離，，，所以，所以，圓與圓相交．將方程與相減，得：，所以圓與圓的公共弦所在直線的方程為；（2）由（1）可得，代入圓的方程，，因?yàn)樗裕?，，即四邊形的面積為8．19．（1）；（2）1或.【解析】（1）由焦半徑公式求得，得拋物線方程；（2）設(shè)，直線方程為，代入拋物線方程后由韋達(dá)定理得，然后由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得．【詳解】（1）由題意，，∴拋物線方程為；（2）由（1）知焦點(diǎn)為，若直線斜率不存在，則，不合題意，因此設(shè)直線方程為，由得，設(shè)，則，，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦半徑公式，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，掌握拋物線的定義是解題關(guān)鍵．20．.【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系得出各點(diǎn)坐標(biāo)，向量坐標(biāo)，由二面角的向量求解方法可求得答案．【詳解】由題意可知.，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即.，令，則，∴平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，令，則，平面的一個(gè)法向量為..由題圖可以判斷二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的空間向量求解方法，屬于中檔題．21．(1)(2)【分析】（1）方法1：根據(jù)遞推關(guān)系式，先變形；再采用累積法求數(shù)列通項(xiàng)公式；方法2：根據(jù)遞推關(guān)系式，先構(gòu)造出等比數(shù)列，再求數(shù)列通項(xiàng)公式.（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.【詳解】（1）方法1：，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴又也適合上式，∴；方法2：∵，∴，又，故