2023-2024學(xué)年安徽省六安市金安區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．下列函數(shù)中，的值隨值的增大而減小的是A． B． C． D．2．如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么的值是A． B． C． D．23．已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．4．大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度是A． B． C． D．5．如圖，中，是中線，，，則線段的長為A．4 B． C．6 D．6．阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學(xué)知識——杠桿原理，即“阻力阻力臂動力動力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則這一杠桿的動力和動力臂之間的函數(shù)圖象大致是A． B． C． D．7．正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值為A． B． C．1 D．8．大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是．A． B．6 C． D．89．如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象相交于、兩點，則函數(shù)的圖象可能是A．B．C．D．10．如圖，在中，，，，為上任意一點，為的中點，連接，在上且，連結(jié)，則的最小值為A． B． C． D．3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11．若，則的值為．12．若拋物線與軸只有一個公共點，則的值為．13．（5分）如圖，，，，則．14．（5分）如圖，點在直線上，軸于點，點在線段上，以為邊作正方形，點恰好在反比例函數(shù)為常數(shù)，第一象限的圖象上，連接．（1）若，，則；（2）若，則．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15．（8分）計算：．16．（8分）定義新運算：對于任意實數(shù)、都有．例如：，根據(jù)以上知識解決下列問題：求拋物線的頂點坐標．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17．（8分）如圖，在中，，，，求的長．18．（8分）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出△和△；（1）把先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△；（2）以圖中的為位似中心，將△作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19．（10分）學(xué)生到工廠勞動實踐，學(xué)習(xí)制作機械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形為矩形，點、分別在、上，，，，．求零件的截面面積．參考數(shù)據(jù)：，．20．（10分）如圖，將矩形紙片沿著過點的直線折疊，使點落在邊上，落點為，折痕交邊于點．（1）求證：；（2）若，，求的長；六、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）21．（12分）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點，與軸的負半軸交于點，且．（1）求函數(shù)和的表達式；（2）已知點，試在該一次函數(shù)圖象上確定一點，使得，求此時點的坐標．22．（12分）在中，，，，現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿向點方向運動，動點從點出發(fā)，沿線段也向點方向運動，如果點的速度是，點的速度是，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動時間為秒．求：（1）當時，這時，，兩點之間的距離是多少？（2）若的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）當為多少時，以點，，為頂點的三角形與相似？七、（本大題共1小題，共14分）23．（14分）如圖，已知拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，點是上方拋物線上的一動點，作軸于點，點的橫坐標為，交于點．（1）求，的坐標和直線的解析式；（2）連接，求面積的最大值；（3）已知點也在拋物線上，點的橫坐標為，作軸于點，交于點，若，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，求的值．2023-2024學(xué)年九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下列函數(shù)中，的值隨值的增大而減小的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)各函數(shù)解析式可得隨的增大而減小時的取值范圍．【解答】解：選項中，函數(shù)，時，隨的增大而減小；故不符合題意；選項中，函數(shù)，時，隨的增大而減??；故不符合題意；選項中，函數(shù)，隨的增大而增大；故不符合題意；選項中，函數(shù)，隨的增大而減?。史项}意；故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．2．（4分）（2008?安徽）如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么的值是A． B． C． D．2【答案】【分析】把已知點的坐標代入可求出值，即得到反比例函數(shù)的解析式．【解答】解：由題意得：的圖象經(jīng)過點，則，解得：．故選：．【點評】用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)，求出函數(shù)解析式．3．（4分）（2023?濟南）已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】【分析】首先根據(jù)得函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大，然后根據(jù)點，，的橫坐標得，點，在第二象限內(nèi)，點在第四象限內(nèi)，進而可判定，，，最后再根據(jù)得，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：，，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大，又點，，，點，在第二象限內(nèi)，點在第四象限內(nèi)，，，，又，，．故選：．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握：對于反比例函數(shù)，當時，圖象的兩個分支在第一、三象限內(nèi)變化，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而減小；當時，圖象的兩個分支在第二、四象限內(nèi)變化，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大．4．（4分）（2023秋?金安區(qū)期末）大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度是A． B． C． D．【答案】【分析】由黃金分割知：，由此可求得的長．【解答】解：為的黃金分割點，，即．故選：．【點評】本題考查黃金分割的應(yīng)用，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．5．（4分）（2016?安徽）如圖，中，是中線，，，則線段的長為A．4 B． C．6 D．【答案】【分析】根據(jù)是中線，得出，再根據(jù)證出，得出，求出即可．【解答】解：，，在和中，，，，，，；故選：．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證出，是一道基礎(chǔ)題．6．（4分）（2023?湘潭縣三模）阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學(xué)知識——杠桿原理，即“阻力阻力臂動力動力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則這一杠桿的動力和動力臂之間的函數(shù)圖象大致是A． B． C． D．【答案】【分析】直接利用阻力阻力臂動力動力臂，進而得出動力關(guān)于動力臂的函數(shù)關(guān)系式，從而確定其圖象即可．【解答】解：阻力阻力臂動力動力臂，且阻力和阻力臂分別為和，動力關(guān)于動力臂的函數(shù)解析式為：，即，是反比例函數(shù)，又動力臂，故選項符合題意．故選：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確讀懂題意得出關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．7．（4分）（2023秋?金安區(qū)期末）正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值為A． B． C．1 D．【答案】【分析】連接，根據(jù)勾股定理可以得到，則是等腰三角形底邊上的中線，根據(jù)三線合一定理，可以得到是直角三角形．根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．【解答】解：如圖，連接，，設(shè)正方形的網(wǎng)格邊長是1，則根據(jù)勾股定理可以得到：，，在中，由等腰三角形三線合一得：，則，，故選：．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的概念，注意到圖中的等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．8．（4分）（2023?白銀二模）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是．A． B．6 C． D．8【答案】【分析】過點作，垂足為，延長交于點，根據(jù)題意可得：，，，，然后利用平行線的性質(zhì)可得：，從而可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．【解答】解：如圖：過點作，垂足為，延長交于點，由題意得：，，，，，，，，，，，解得：，蠟燭火焰的高度是，故選：．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（4分）（2023?包頭模擬）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象相交于、兩點，則函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．【答案】【分析】由一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象相交于第一象限的、兩點，得出函數(shù)與軸有兩個交點，兩個交點在軸的正半軸，即可進行判斷．【解答】解：由圖象可知一次函數(shù)與二次函數(shù)交于第一象限的、兩點，函數(shù)與軸有兩個交點，兩個交點在軸的正半軸，符合條件，故選：．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，直線和拋物線的交點，交點坐標和方程的關(guān)系以及方程和二次函數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（4分）（2023?貴池區(qū)二模）如圖，在中，，，，為上任意一點，為的中點，連接，在上且，連結(jié)，則的最小值為A． B． C． D．3【答案】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，再利用中位線定理得到，最后根據(jù)、、三點共線的時，的值最小即可解答．【解答】解：取的中點，連接，，為的中點，，，，，，，，，當、、三點共線的時，的值最小，．故選：．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11．（5分）（2023秋?金安區(qū)期末）若，則的值為．【分析】將分式化成含有的形式，再代入的值計算即可．【解答】解：．【點評】本題考查了分式的求值，將分式轉(zhuǎn)化為含已知值的形式，利用整體代入法是解本題的關(guān)鍵．12．（5分）（2023?荔灣區(qū)一模）若拋物線與軸只有一個公共點，則的值為9．【分析】根據(jù)拋物線與軸只有一個公共點，得出，解出即可．【解答】解：拋物線與軸只有一個公共點，，，故答案為：9．【點評】本題考查拋物線與軸只有公共點、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握這兩個知識點的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．13．（5分）（2023秋?金安區(qū)期末）如圖，，，，則．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：，，，，，故答案為：．【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊的比相等，都等于相似比．14．（5分）（2023秋?金安區(qū)期末）如圖，點在直線上，軸于點，點在線段上，以為邊作正方形，點恰好在反比例函數(shù)為常數(shù)，第一象限的圖象上，連接．（1）若，，則16；（2）若，則．【分析】（1）根據(jù)，可以計算出點的坐標為，進而計算出的值；（2）設(shè)正方形的邊長為，，則，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得，，點在反比例函數(shù)的圖象上，，可得，再代入計算．【解答】解：（1）點在直線上，，，即，，，，點的橫坐標為：，點的坐標為：，．故答案為：16；（2）設(shè)正方形的邊長為，，則，，，，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，即，．故答案為：14．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15．（8分）（2009?安徽）計算：．【分析】本題涉及絕對值、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡四個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．【解答】解：原式．【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．16．（8分）（2023秋?金安區(qū)期末）定義新運算：對于任意實數(shù)、都有．例如：，根據(jù)以上知識解決下列問題：求拋物線的頂點坐標．【答案】．【分析】利用新定義運算法則列出方程，然后利用配方法寫出頂點式解析式，可以直接得到答案．【解答】解：根據(jù)題意知，，頂點坐為．【點評】本題主要考查了解一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，求拋物線的頂點坐標，解題的關(guān)鍵是掌握新定義運算法則．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17．（8分）（2012?安徽）如圖，在中，，，，求的長．【分析】過作于，求出，推出，根據(jù)含30度角的直角三角形求出，根據(jù)勾股定理求出，相加即可求出答案．【解答】解：過作于，，，，，，，，，由勾股定理得：，，答：的長是．【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．18．（8分）（2011?安徽）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出△和△；（1）把先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△；（2）以圖中的為位似中心，將△作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△．【分析】（1）把、、三點先向右平移4個單位，再向上平移1個單位得到，，，順次連接得到的各點即可；（2）延長到，使，同法得到其余各點，順次連接即可．【解答】解：如圖【點評】本題考查圖形的平移變換及位似變換，注意圖形的變換，看關(guān)鍵點作變換即可．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19．（10分）學(xué)生到工廠勞動實踐，學(xué)習(xí)制作機械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形為矩形，點、分別在、上，，，，．求零件的截面面積．參考數(shù)據(jù)：，．【分析】由四邊形為矩形，可得，則，又，結(jié)合三角函數(shù)值可求出與的長度，又是，在中，結(jié)合三角函數(shù)值可求出，的長度，由零件的截面面積矩形的面積的面積的面積，即可得出結(jié)論．【解答】解：法一、如圖，四邊形為矩形，，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，截面的面積．法二、如圖，延長交的延長線于點，，，，，，，，截面的面積．【點評】本題主要考查解直角三角形，題目本身不難，但是計算比較復(fù)雜，清楚了解每一步如何計算是解題基礎(chǔ)．20．（10分）（2023秋?金安區(qū)期末）如圖，將矩形紙片沿著過點的直線折疊，使點落在邊上，落點為，折痕交邊于點．（1）求證：；（2）若，，求的長；【分析】（1）由折疊性質(zhì)得，再根據(jù)互余性質(zhì)得出和的兩個銳角相等，便可由相似三角形的判定得出結(jié)論；（2）由折疊性質(zhì)得，再由勾股定理求得，由線段和差求得，由勾股定理可求解．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，，根據(jù)折疊性質(zhì)知，，，，；（2）解：由折疊性質(zhì)知，，，，，，．，．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，注意對應(yīng)相等關(guān)系．六、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）21．（12分）（2020?鄂爾多斯）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點，與軸的負半軸交于點，且．（1）求函數(shù)和的表達式；（2）已知點，試在該一次函數(shù)圖象上確定一點，使得，求此時點的坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解答；（2）設(shè)點的坐標為，根據(jù)，得到，即可解答．【解答】解：（1）把點代入函數(shù)得：，．，，，點的坐標為，把，代入得：解得：．（2）方法一：點在一次函數(shù)上，設(shè)點的坐標為，，解得：，點的坐標為．方法二：、，，的中垂線為：直線，當時，，即，點的坐標為．【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，解決本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求解析式．22．（12分）（2021?羅湖區(qū)校級模擬）在中，，，，現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿向點方向運動，動點從點出發(fā)，沿線段也向點方向運動，如果點的速度是，點的速度是，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動時間為秒．求：（1）當時，這時，，兩點之間的距離是多少？（2）若的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）當為多少時，以點，，為頂點的三角形與相似？【分析】（1）在中，當，可知、的長，運用勾股定理可將的長求出；（2）由點，點的運動速度和運動時間，又知，的長，可將、用含的表達式求出，代入直角三角形面積公式求解；（3）應(yīng)分兩種情況：當時，