定積分的物理應(yīng)用

定積分的物理應(yīng)用復(fù)習(xí)微元法一、非均勻細(xì)桿的質(zhì)量二、變力沿直線所作的功三、液體的側(cè)壓力四、引力問題1微元法的步驟和關(guān)鍵:復(fù)習(xí)微元法（定積分概念的一個簡化）1.將非均勻分布在區(qū)間[a,b]上的所求總量A分割成分布在各子區(qū)間的局部量,........A必須對區(qū)間[a,b]具有可加性，即22.關(guān)鍵的一步確定部分量的近似值,只需考慮任意小區(qū)間[x,x+dx]上部分量的近似值，小微元d

A條3.對小微元取定積分3條4扇形5xyo曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體體積體積元素薄片計算體積6求旋轉(zhuǎn)體體積柱殼法:p286.19abf(x)yx0曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y

軸xdxabyx0xf(x)dx內(nèi)表面積dV=2

xf(x)dx殼70ab利用均勻細(xì)桿質(zhì)量一、求線密度為思考：非均勻分布在一個細(xì)桿上的能量、電量、熱量怎么求？8例1.解：03p292.1y9二、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿x軸從x

a移動到力的方向與運(yùn)動方向平行,求變力所做的功.在其上所作功微元因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為利用常力作功10例1.

有一圓錐形儲水池,深15m,口徑20m,尖頭在下,盛滿水,今將水抽干,需作功多少？p292.6解:yxO1015-10如圖建立坐標(biāo)系．取任一小區(qū)間[x,x+dx]，這一薄層水的重力為做功微元斜線方程為做功11例2.半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同,從水中取出球,做功多少(p293.7)解：yx02r選取x為積分變量，其變化區(qū)間[0,2r]（注意：球比重與水相同，即在水上方的行程中才做功）重力微元：在小區(qū)間[x,x+dx]上相應(yīng)的球體薄片隨球體離開水面后，在水上方的行程做功微元做功12面積為A的平板三、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為

深為h處的壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時,

當(dāng)平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為??13

在端面建立坐標(biāo)系.解例1.1415

建立坐標(biāo)系如圖.解：例2.壓力元16四、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體對質(zhì)點的引力,則需用積分解決.17將典型小段近似看成質(zhì)點建立坐標(biāo)系如圖.解例1.18小段與質(zhì)點的距離為水平方向的分力元素為注意：引力元的方向各不相同，這些力不能直接按數(shù)量相加，因而也不能直接積分。19例2.有一半徑為r的均勻半圓弧，質(zhì)量為m，求它對位于圓心處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力。P292.12解：(1)建立如圖的坐標(biāo)系,確定積分變量和積分區(qū)間：0y

xr-r設(shè)線密度為

取為積分變量，則(2)求微元：對將對應(yīng)的弧長質(zhì)量看成一個質(zhì)點,

則

對應(yīng)的弧長質(zhì)量為

200y

xr-r它對單位質(zhì)點的引力微元為由對稱性知所以有(3)求定積分：把對位于圓心處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力表示成定積分計算得故圓弧對質(zhì)點的引力為方向從圓心指向半圓弧的中點，即

軸方向.21

小結(jié)：1.定積分可以計算非均勻分布在某區(qū)間的量。微元法---建立所求量的積分表達(dá)式。2.應(yīng)用定積分解決實際問題時，必須把所求的量適當(dāng)?shù)闹糜谧鴺?biāo)系下，利用以‘不變’代‘變’，以直代曲的思想方法確定