數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)論文指導(dǎo) 傳染病模型1

傳染病模型(Xing)王秀蓮第一頁，共三十三頁。一(Yi)、問題在人類的生活中，一直受傳染病的困繞，盡管諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的疾病已經(jīng)得到有效的控制，但是一些新的、不斷變異著的傳染病卻悄悄向人類襲來，如20世紀80年代開始的十分險惡的愛滋?。?1世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的SARS（俗稱非典型肺炎）等等，給人們的生命財產(chǎn)帶來極大的危害。長期以來，建立傳染病模型，描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國專家和官員關(guān)注的課題。第二頁，共三十三頁。研究傳染病模型，不可能通過實驗獲取數(shù)據(jù)，而從醫(yī)療部門得到的資料也是不完全和不充分的，同時(Shi)不同的傳染病的傳播過程各有不同的特點，所以，我們在這里只能是按照機理分析的方法，按一般的傳播機理建立幾種簡單的模型。第三頁，共三十三頁。*機理分析法根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其(Qi)因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律.第四頁，共三十三頁。１、模型(Xing)的假設(shè)1、在疾病傳播期內(nèi)，所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康人（易感染者Susceptible）和病人（已感染者Infective）。設(shè)在t時刻它們所占總?cè)藬?shù)的比例分別為s（t）和i（t）2、每個病人在t時刻有效接觸的人數(shù)為，在較短時間內(nèi)，可以設(shè)為常數(shù)（成為日接觸率）。3、在開始時刻病人數(shù)為第五頁，共三十三頁。模型1（SI模型）（控制前自(Zi)然傳播）每個病人每天可使個健康人變?yōu)椴∪?，所以有?/p>

（此模型為阻滯增長

logistic）模型）第六頁，共三十三頁。解此微分方程組(Zu)得

第七頁，共三十三頁。此式中當時，，說明在不進行控制的情況下，最終所有人全變?yōu)椴∪?。同時由（1）式知，當時，達到(Dao)最大，這個時刻為第八頁，共三十三頁。這時病人增加得最快，預(yù)示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療部門關(guān)注的時刻(Ke)。與成反比。說明的值越大，該地區(qū)的衛(wèi)生水平越高，傳染病高峰期的到來越遲。第九頁，共三十三頁。模型2（SIS模型）（控制后的傳播模型）有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等，病人治愈后又成為病人，所以應(yīng)考慮治療情況。設(shè)每天治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為（稱為日治愈率）。顯然，為這(Zhe)種傳染病的平均傳染期。于是模型變?yōu)椋?/p>

第十頁，共三十三頁。（2）第十一頁，共三十三頁。此微分方程的解(Jie)為（3）第十二頁，共三十三頁。定義（整個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)(Shu)，稱為接觸數(shù)(Shu)）。此時方程組（2）的第一、二式可以改寫為（4）第十三頁，共三十三頁。此時(Shi)（3）式變?yōu)椋旱谑捻?，共三十三頁。當時，由（4）可(Ke)以看出，時，達到最大，預(yù)示著傳染病高潮的到來；同時當時，病人比例越來小?？?Ke)見是一個閾值。第十五頁，共三十三頁。模型3（SIR模型）有一些傳染病如天花、肝炎等治愈后具有很強的免疫(Yi)能力，所以治愈的人既非健康人又非病人，他們已經(jīng)退出了傳染系統(tǒng)，此時，人群分為三類，健康人、病人和治愈后的移出者。設(shè)他們所占總?cè)藬?shù)的比例分別為s（t）、i（t）、r（t）。又設(shè)開始時病人數(shù)，移出者數(shù)為，于是所建立模型為：第十六頁，共三十三頁。方程（5）無法求出相應(yīng)的解析解，我們利用相軌線討論解的性質(zhì)。平面稱為相平面，相軌線在相平面上(Shang)的定義域為（5）第十七頁，共三十三頁。

若微分方程(Cheng)組其右端的函數(shù)不顯含自變量t，稱為一階n維駐定系統(tǒng)(自治系統(tǒng)、動力系統(tǒng)).第十八頁，共三十三頁。一般(Ban)二維駐定系統(tǒng)形式為第十九頁，共三十三頁。存在(Zai)且唯一，則在(Zai)三維空間(x,y,t)中有且僅有一條解曲線通過點(x0,y0,t0).基本思想將空間曲線投影到平面上進行分析.

第二十頁，共三十三頁。定義：稱平面(x,y)為(Wei)相平面，稱解曲線在相平面上的投影為相軌線，相軌線族稱為相位圖.第二十一頁，共三十三頁。xytot0(x,y,t)解(Jie)曲線投影曲線相軌線

軌線方程由原方程（2）消去t而得到,相點的運動方向由原方程確定.

第二十二頁，共三十三頁。使P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0的(x0,y0)稱(Cheng)為方程(2)的平衡點.第二十三頁，共三十三頁。在（5）式中消去，并注意到的定義，得：解得：1、可以證明極限都存在，并且，即病人最終全部(Bu)消失。（6）第二十四頁，共三十三頁。2、最終未被感染的健康人數(shù)的比例滿足（在（6）式中，令）：（7）該方程在內(nèi)有根(Gen)，即取值在內(nèi)。第二十五頁，共三十三頁。3、當(Dang)時，達到最大4、當時，傳染病會蔓延時，傳染病不會蔓延，是一個閾值。于是提高閾值，減少接觸數(shù)，即日接觸率減小，日治愈率增大，也即提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。第二十六頁，共三十三頁。5、（群體免疫和預(yù)防）當時，傳染病不會蔓延，所以除了提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平外，另一控制傳染病蔓延的途徑是降低，從而提高，即通過群體免疫，使開(Kai)始時的移出者增大。

第二十七頁，共三十三頁。6、實際中，的值很難估計，在（7）式中求得：可以通過此式來分析傳染病(Bing)的蔓延過程。第二十八頁，共三十三頁。7、（被傳染比(Bi)例的估計）令，則由（6）式得：取對數(shù)函數(shù)泰勒展開的前兩項，并忽略得：即得

第二十九頁，共三十三頁。

為該地區(qū)人口比例中超過閾值的部分(Fen)，當這個值充分(Fen)小時當閾值提高時，這個比例會降低。第三十頁，共三十三頁。第三十一頁，共三十三頁。第三十二頁，共三十三頁。內(nèi)(Nei)容總結(jié)傳染病模型。21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的SARS（俗稱