(小升初備考講義)專題一 容斥原理(計(jì)算技巧篇)

第1頁（共1頁）專題一容斥原理(知識(shí)精講+典題分析+鞏固提升)【考點(diǎn)概況】在\t"/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank"計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意沒有重復(fù)，沒有遺漏。為了使\t"/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank"重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目\t"/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank"排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理?！痉椒偨Y(jié)】在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考．容斥原理1：三量重疊問題1、A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)﹣既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是A類、B類、C類的元素個(gè)數(shù)．2、用符號(hào)表示為：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C容斥原理2：兩量重疊問題1、A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)2、用符號(hào)可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B（其中符號(hào)“∪”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思，符號(hào)“∩”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思）．【典例分析】【典例1】某校六⑴班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項(xiàng)都參加的有多少人？【分析】參加足球隊(duì)的人數(shù)25人為A類元素，參加排球隊(duì)人數(shù)22人為B類元素，參加游泳隊(duì)的人數(shù)24人為C類元素，既是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項(xiàng)都參加的是A類B類C類的總和設(shè)為X。注意：這個(gè)題說的每人都參加了體育訓(xùn)練隊(duì)，所以這個(gè)班的總?cè)藬?shù)即為A類B類和C類的總和?！敬鸢浮?5+22+24-12-9-8+X=45，解得X=3【典例2】某個(gè)班的全體學(xué)生在進(jìn)行了\t"/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank"短跑、游泳、投擲三個(gè)項(xiàng)目的測試后，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一項(xiàng)達(dá)到了優(yōu)秀，達(dá)到了優(yōu)秀的這部分學(xué)生情況如下表：短跑游泳投擲短跑游泳短跑投擲游泳投擲短跑游泳投擲1718156652求這個(gè)班的學(xué)生共有多少人？【分析】這個(gè)班的學(xué)生數(shù)，應(yīng)包括達(dá)到優(yōu)秀和沒有達(dá)到優(yōu)秀的。4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）【典例3】在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？【分析】很顯然，要計(jì)算木棍被鋸成多少段，只需要計(jì)算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎(chǔ)上加1就是段數(shù)了。若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復(fù)的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應(yīng)該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個(gè)呢？想一想，被計(jì)數(shù)的事物有那幾類？每一類的元素個(gè)數(shù)是多少？【解答】總長看成單位1分別分成10、12、15段。1/10與1/12的\t"/item/%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%8E%9F%E7%90%86/_blank"最小公倍數(shù)1/2，1/10與1/15的最小公倍數(shù)1/5，1/12與1/15的最小公倍數(shù)1/3，1/10，1/12和1/15的最小公倍數(shù)為1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28一．選擇題（共10小題）1．在使用計(jì)算器時(shí)，可以用（）鍵開機(jī)。A．ON/C B．CE C．OFF D．M+2．某班同學(xué)積極參加跳繩比賽，參加集體比賽的有10人、參加個(gè)人比賽的有19人，兩項(xiàng)都參加的有8人，這個(gè)班共有（）人參加跳繩比賽．A．21 B．27 C．29 D．373．三（1）班有30人，訂閱《少兒書畫》的有20人，訂閱《少年博覽》的有25人，每人至少訂閱一種刊物，兩種刊物都訂閱的有（）人．A．15 B．25 C．354．同學(xué)們?nèi)デ镉?，休息時(shí)玩了2個(gè)游戲．玩貼鼻子的有27人，玩搶椅子的有34人，兩個(gè)游戲都玩的有11人，參加秋游的同學(xué)共（）人．A．72 B．61 C．505．媽媽昨天買的菜有：蘿卜、黃瓜、白菜、茄子、排骨、魚．今天買的菜有：豆腐、白菜、茄子、牛肉、黃瓜、蝦．媽媽兩天一共買了（）種菜．A．8 B．9 C．106．小強(qiáng)和小剛經(jīng)常向王爺爺借書來讀．已知王爺爺有100本書，其中小強(qiáng)讀過的書有60本，小剛讀過的書有50本，兩人都讀過的書有20本，那么（）A．兩人都沒讀過的書有20本 B．小強(qiáng)讀過但小剛沒讀過的書有30本 C．小剛讀過但小強(qiáng)沒讀過的書有40本 D．只有一人讀過的書有70本7．李老師出了兩道題，全班43人中答對(duì)A題的有25人，答對(duì)B題的有19人，兩道題都不會(huì)的有5人。兩道題都答對(duì)的有（）人。A．1 B．4 C．6 D．88．有30人參加跳高和跳遠(yuǎn)比賽，其中參加跳高比賽的有17人，參加跳遠(yuǎn)比賽的有20人，兩項(xiàng)比賽都參加的有（）人。A．5 B．6 C．7 D．89．小明統(tǒng)計(jì)了四年級(jí)二班同學(xué)參加航模和輪滑兩個(gè)課外小組的人數(shù)，分別是19人和28人，總?cè)藬?shù)為42人，他用圖表示如下，（）圖是正確的。A．B． C．10．陽光小學(xué)三（2）班有48人參加了兩種興趣班，其中27人參加了書法興趣班，28人參加了英語興趣班，有（）人既參加了書法興趣班，又參加了英語興趣班．A．9 B．8 C．7二．填空題（共20小題）11．北街小學(xué)三（1）班有55個(gè)同學(xué)，一次半期測試后統(tǒng)計(jì)語文成績達(dá)到優(yōu)秀的有39人，數(shù)學(xué)成績達(dá)到優(yōu)秀的有41人，語文和數(shù)學(xué)成績都達(dá)到優(yōu)秀的有人．12．同學(xué)們到動(dòng)物園游玩，參觀熊貓館的有25人，參觀大象館的有30人，兩個(gè)館都參觀的有18人．去動(dòng)物園的一共有人．13．學(xué)校藝術(shù)團(tuán)開始報(bào)名了!三（2）班參加鼓號(hào)隊(duì)的有14人，參加合唱隊(duì)的有21人，兩個(gè)隊(duì)都參加的有7人．三（2）班參加鼓號(hào)隊(duì)和合唱隊(duì)的一共有人．14．三（1）班有40人，全部都參加了藝術(shù)培訓(xùn)．有20人學(xué)唱歌，有32人學(xué)美術(shù)，兩種都學(xué)的學(xué)生有人．15．三年級(jí)（1）班有12人參加了數(shù)學(xué)競賽，有15人參加了語文競賽，有4人兩項(xiàng)競賽都參加了，三年級(jí)（1）班參加數(shù)學(xué)和語文競賽的一共有人．16．如圖是三（1）班參加繪畫組和硬筆書法組的情況，根據(jù)圖意填空。（1）三（1）班參加繪畫組的有人；既參加繪畫組又參加硬筆書法組的有人。（2）三（1）班參加繪畫組的和硬筆書法組的一共有人。17．同學(xué)們?nèi)?dòng)物園參觀，參觀熊貓館的有10人，參觀大象館的有18人，兩個(gè)館都參觀的8人．一共有人參觀動(dòng)物園．18．一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)只有兩道題，全班40人參加，答對(duì)第一題的學(xué)生有30人，答對(duì)第二題的有21人，兩道題都答對(duì)的有15人，兩道題都沒有答對(duì)的有人．19．三年級(jí)同學(xué)參加朗誦比賽的有52人，參加繪畫比賽的有49人，兩項(xiàng)都參加的有15人，三年級(jí)有人參加了比賽．20．興趣小組有9人參加跳繩比賽、6人參加踢毽子比賽，其中有3人兩項(xiàng)比賽都參加了，沒有不參賽的，這個(gè)興趣小組一共人．21．三（3）班有25人訂閱了《趣味數(shù)學(xué)》，有19人訂閱了《科學(xué)畫報(bào)》，有11人兩種刊物都訂閱了，訂閱這兩種刊物的共人．22．學(xué)校樂隊(duì)招收了若干名新學(xué)員，其中會(huì)拉小提琴的有25名，會(huì)彈電子琴的有22名，兩項(xiàng)都會(huì)的有3名．學(xué)校樂隊(duì)共有名新學(xué)員．23．三（1）班有32人，校運(yùn)會(huì)上，參加跳繩的有22人，參加踢毽子的有16人，其中兩項(xiàng)都參加的有8人，兩項(xiàng)都沒參加的有人．24．元旦聯(lián)歡的時(shí)候，三一班一共有36人表演了三項(xiàng)節(jié)目，其中18人表演了團(tuán)體操，15人表演了舞蹈，6人只表演了唱歌．團(tuán)體操和舞蹈兩項(xiàng)都表演的有人．25．三年級(jí)有學(xué)生100人，喜歡數(shù)學(xué)的有72人，喜歡語文的有53人．這兩科都喜歡的有人．26．去年某學(xué)?！靶@藝術(shù)周”繪畫展出了許多幅圖，其中22幅不是初一的，25幅不是初二的，現(xiàn)在知道初一、初二共有33幅圖，因此初三年級(jí)的共有幅圖.27．四年級(jí)（2）班參加繪畫興趣小組有38人，參加唱歌興趣小組的有27人，每人至少參加一樣，兩樣都參加的有9人，四年級(jí)（2）班有人．28．四（1）班有46人，其中會(huì)彈鋼琴的有30人，會(huì)拉小提琴的有28人，則這個(gè)班既會(huì)彈鋼琴又會(huì)拉小提琴的至少有人．29．如圖是三年級(jí)學(xué)生參加社團(tuán)情況．（1）三年級(jí)參加書法組的有人．既參加書法組又參加畫畫組的有人．只參加畫畫組的有人．（2）參加這兩項(xiàng)的一共有人．30．三（2）班參加圍棋、繪畫小組的學(xué)生名單如下．參加這兩種興趣小組的一共有人．圍棋小組張芳陳歡王貝曾小琴楊樂繪畫小組李軍劉麗陳歡張芳馬曉玲三．判斷題（共1小題）31．參加語文課外小組的有8人，參加數(shù)學(xué)課外小組的有9人，其中有3人兩樣都參加，參加課外小組的一共有14人．四．應(yīng)用題（共14小題）32．三年級(jí)一班有45人，他們?nèi)W(xué)習(xí)書法和繪畫，每人至少學(xué)一門．學(xué)習(xí)書法的有26人，學(xué)習(xí)繪畫的有25人．書法和繪畫都學(xué)習(xí)的有多少人？33．三年級(jí)2班有54人，所有的同學(xué)都參加了興趣小組，參加舞蹈小組的有27人，參加聲樂小組的有34人，兩個(gè)興趣小組都參加的有多少人？34．四年級(jí)（1）班有52人，參加美術(shù)小組的有14人，參加音樂小組的有28人，有8人兩個(gè)小組都參加了，這個(gè)班兩個(gè)小組都沒參加的有多少人？35．同學(xué)們到植物園游玩，參觀玫瑰園的有34人，參觀菊花園的有27人，兩個(gè)園都參觀的有19人．（1）請(qǐng)根據(jù)題意填寫圖．（2）去植物園的一共有人．（3）你能提出其他數(shù)學(xué)問題并解答嗎？36．一次數(shù)學(xué)小測試，只有兩道題，結(jié)果全班有20人全對(duì)。其中第1道題有31人做對(duì)，第2道題有29人做對(duì)。（1）只做對(duì)第1道題的有多少人？（2）只做對(duì)第2道題的有多少人？37．少年宮準(zhǔn)備成立“雙滑社團(tuán)”，要求必須至少會(huì)輪滑、滑雪中的一項(xiàng)，才有資格成為社團(tuán)成員。已知有900名符合上述要求的人來報(bào)名，其中只會(huì)輪滑的有206人，只會(huì)滑雪的有260人。兩種運(yùn)動(dòng)都會(huì)的有多少人？38．3名小朋友比賽看誰寫出的帶“馬”字的成語多，小麗寫出了12個(gè)，小紅寫出了10個(gè)，小芳寫出了7個(gè)。小紅寫出的10個(gè)成語中有6個(gè)小麗也寫出來了。小芳寫出的7個(gè)成語小麗都寫出來了。（1）小麗和小芳一共寫出了多少個(gè)成語？（2）小麗和小紅一共寫出了多少個(gè)成語？39．三年級(jí)有20個(gè)同學(xué)參加興趣小組，其中參加數(shù)學(xué)小組的有15人，參加語文小組的有13人．（1）既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有多少人？（2）只參加數(shù)學(xué)小組的有多少人？只參加語文小組的呢？40．學(xué)校開展體育活動(dòng)，三年級(jí)第一小組參加跳繩的同學(xué)有王平、馮華、林芳、劉明、周娟、毛萍、王佳、鐘林．參加拔河的同學(xué)有蔣倩、張峰、王平、周娟、林芳、李宇、馮華、毛萍（每人至少參加一項(xiàng)體育活動(dòng)）．（1）如圖．（2）三年級(jí)第一小組一共有多少人？41．三（1）班聯(lián)歡會(huì)上歌舞小組一共有16人，共9人參加跳舞表演，12人參加歌唱表演，每人至少參加一種節(jié)目．兩種節(jié)目都參加了多少人？42．三（4）班同學(xué)去社區(qū)開展“尊老愛幼，互幫互助”社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，幫助老人的有32人，幫助兒童的有24人，既幫助老人又幫助兒童的有11人．三（4）班參加這次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的一共有幾人？43．二（2）班慶“六一”聯(lián)歡會(huì)上，參加唱歌表演的有25人，參加舞蹈表演的有18人；兩項(xiàng)都參加的有6人，兩項(xiàng)都沒參加的有10人．二（2）班有學(xué)生多少人？44．五（3）班有學(xué)生40人，報(bào)名參加英語閱讀競賽的有35人，參加數(shù)學(xué)競賽的有27人．如果每個(gè)學(xué)生至少參加一項(xiàng)學(xué)科競賽活動(dòng)，那么，有多少學(xué)生兩項(xiàng)比賽都參加？45．訂閱《作文大王》的有24人，訂閱《傳統(tǒng)文化故事》的有17人，兩種都訂閱的有5人．只訂閱《作文大王》和《傳統(tǒng)文化故事》的一共有多少人？

參考答案一．選擇題（共10小題）1．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)計(jì)算器各個(gè)按鍵的功能的了解，ON是開機(jī)鍵，OFF是關(guān)機(jī)鍵，據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓菏褂糜?jì)算器時(shí)，開機(jī)按ON鍵，關(guān)機(jī)按OFF鍵。故選：A?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了對(duì)計(jì)算器各個(gè)按鍵的功能的了解，其中常用的鍵要記住：ON是開機(jī)鍵，OFF是關(guān)機(jī)鍵，CE是清除鍵等。2．【答案】A【分析】根據(jù)容斥原理，用參加集體比賽的10人加參加個(gè)人比賽的19人，求出和，然后再減去兩項(xiàng)都參加的8人（重復(fù)計(jì)算了1次），即得總?cè)藬?shù)．【解答】解：10+19﹣8＝29﹣8＝21（人）答：這個(gè)班共有21人參加跳繩比賽．故選：A?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是理解兩項(xiàng)都參加的人數(shù)是既參加集體比賽又參加個(gè)人比賽的重疊部分，知識(shí)點(diǎn)是：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．3．【答案】A【分析】把20和25相加求出兩者的人數(shù)和，因?yàn)閮煞N刊物都訂閱了的是重疊部分的人數(shù)，重復(fù)計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理，用兩者的人數(shù)和，減去總?cè)藬?shù)30就是兩種刊物都訂閱的人數(shù)；據(jù)此解答．【解答】解：20+25﹣30＝45﹣30＝15（人）答：兩種刊物都訂閱的有15人．故選：A?！军c(diǎn)評(píng)】本題為基本的容斥原理題目，其公式為：A類B類元素個(gè)數(shù)總和＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．4．【答案】C【分析】參加玩貼鼻子的和玩搶椅子的中有11人是重復(fù)的，所以用27+34﹣11，求出參加秋游的同學(xué)共多少人即可【解答】解：27+34﹣11＝61﹣11＝50（人）答：參加秋游的同學(xué)共50人．故選：C?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是求出至少參加一種的人數(shù)，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．5．【答案】B【分析】媽媽昨天買的菜有：蘿卜、黃瓜、白菜、茄子、排骨、魚共6種．今天買的菜有：豆腐、白菜、茄子、牛肉、黃瓜、蝦共6種．其中黃瓜、白菜、茄子重疊了，然后求出兩天的種數(shù)和，再減去重疊的3種即可．【解答】解：6+6﹣3＝12﹣3＝9（種）答：媽媽兩天一共買了9種菜．故選：B?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題．6．【答案】D【分析】根據(jù)兩集合容斥原理公式，A+B﹣A∩B＝全部﹣都不，可知60+50﹣20＝100﹣兩人都沒讀過，求得兩人都沒讀過的書有10本；小強(qiáng)讀過但小剛沒讀過的書，即A﹣A∩B，有60﹣20＝40本；小剛讀過但小強(qiáng)沒讀過的書，即B﹣A∩B，有50﹣20＝30本；只有一人讀過的書有40+30＝70本，據(jù)此解答即可．【解答】解：兩人都沒讀過的書：100﹣（60+50﹣20）＝10（本）小強(qiáng)讀過但小剛沒讀過的書：60﹣20＝40（本）小剛讀過但小強(qiáng)沒讀過的書：50﹣20＝30（本）只有一人讀過的書：40+30＝70（本）所以D項(xiàng)正確；故選：D?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查了兩集合容斥原理的計(jì)算和運(yùn)用．7．【答案】C【分析】至少答對(duì)一道又43﹣5＝38（人），根據(jù)“答對(duì)A題的有25人，答對(duì)B題的有19人”可得兩者的總?cè)藬?shù)：25+19＝44（人），這其中把兩道題都答對(duì)的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理可得兩道題都答對(duì)的人數(shù)是：44﹣38＝6（人），據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓?3﹣5＝38（人）25+19＝44（人）44﹣38＝6（人）答：兩道題都答對(duì)的有6人。故選：C?！军c(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。8．【答案】C【分析】根據(jù)“其中參加跳高比賽的有17人，參加跳遠(yuǎn)比賽的有20人”可得兩者的總?cè)藬?shù)：20+17＝37（人），這其中把兩項(xiàng)比賽都參加的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理可得兩項(xiàng)比賽都參加的人數(shù)是：37﹣30＝7（人），據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓?0+17＝37（人）37﹣30＝7（人）答：兩項(xiàng)比賽都參加的有7人。故選：C?！军c(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。9．【答案】B【分析】分別是19人和28人，兩者共有19+28＝47人，大于實(shí)際的總?cè)藬?shù)42人，那么兩種都參加的47﹣42＝5人，據(jù)此選擇即可?！窘獯稹拷猓?9+28﹣42＝47﹣42＝5（人）所以他用圖表示如下：故選：B?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B。10．【答案】C【分析】參加書法班的人數(shù)加上參加英語班的人數(shù)，減去參加兩種班的總?cè)藬?shù)，就等于兩種班都參加的人數(shù)，據(jù)此列式．【解答】解：27+28﹣48＝55﹣48＝7（人）答：有7人既參加了書法興趣班，又參加了英語興趣班．故選：C?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查了容斥原理，明確容斥關(guān)系中，各部分之間的數(shù)量關(guān)系，是本題解題的關(guān)鍵．二．填空題（共20小題）11．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，用39+41就是只有語文成績達(dá)到優(yōu)秀的、只有數(shù)學(xué)成績達(dá)到優(yōu)秀的以及兩科都達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)的2倍，再減總?cè)藬?shù)55，即得語文和數(shù)學(xué)成績都達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)．【解答】解：39+41﹣55＝80﹣55＝25（人）答：語文和數(shù)學(xué)成績都達(dá)到優(yōu)秀的有25人．故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．12．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，用30+25就是只參觀熊貓館、只參觀大象館以及兩個(gè)館都參觀的人數(shù)的2倍，再減去重復(fù)計(jì)算的兩個(gè)館都參觀的人數(shù)，即得動(dòng)物園的總?cè)藬?shù)．【解答】解：30+25﹣18＝55﹣18＝37（人）答：去動(dòng)物園的一共有37人．故答案為：37．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是求出至少參觀一種的人數(shù)，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．13．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)“參加鼓號(hào)隊(duì)的有14人，參加合唱隊(duì)的有21人”可知：（14+21）人包括三部分：只參加合唱隊(duì)的人數(shù)、只參加鼓號(hào)隊(duì)的人數(shù)、兩種都參加的人數(shù)的2倍，所以參加合唱隊(duì)和參加鼓號(hào)隊(duì)的總?cè)藬?shù)是：14+21﹣7＝28人，據(jù)此解答．【解答】解：14+21﹣7＝35﹣7＝28（人）答：三（2）班參加鼓號(hào)隊(duì)和合唱隊(duì)的一共有28人．故答案為：28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．14．【答案】12．【分析】用總?cè)藬?shù)減去學(xué)唱歌的人數(shù)，等于沒有學(xué)唱歌的人數(shù)，再用學(xué)美術(shù)的人數(shù)，減去沒有學(xué)唱歌的人數(shù)，就是兩種都學(xué)的學(xué)生的人數(shù)．【解答】解：沒有學(xué)唱歌的人數(shù)：40﹣20＝20（人）兩種都學(xué)的人數(shù)：32﹣20＝12（人）答：兩種都學(xué)的學(xué)生有12人．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了容斥原理，明確容斥關(guān)系中，各部分元素之間的數(shù)量關(guān)系，是本題解題的關(guān)鍵．15．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，用12+15就是只參加了數(shù)學(xué)競賽、只參加了語文競賽以及兩項(xiàng)競賽都參加的人數(shù)的2倍，再減去重疊的4人，就是三年級(jí)（1）班參加數(shù)學(xué)和語文競賽的總?cè)藬?shù)．【解答】解：12+15﹣4＝27﹣4＝23（人）答：三年級(jí)（1）班參加數(shù)學(xué)和語文競賽的一共有23人．故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．16．【答案】（1）7，3。（2）12。【分析】觀察圖可知繪畫組的在左側(cè)橢圓中，硬筆書法組的在右側(cè)的橢圓中，這兩個(gè)橢圓重復(fù)的部分是既參加繪畫組又參加硬筆書法組的人，數(shù)出它們的人數(shù)即可；再用參加美術(shù)小組的人數(shù)加上參加書法小組的人數(shù)，減去既參加美術(shù)小組又參加書法小組的人數(shù)，即可求出總?cè)藬?shù)?！窘獯稹拷猓河^察圖可知：（1）三（1）班參加繪畫組的有7人；既參加繪畫組又參加硬筆書法組的有3人。（2）7+8﹣3＝12（人）答：共有12人參加美術(shù)小組或書法小組。故答案為：7，3，12?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查了容斥原理，關(guān)鍵是理解3人是既參加繪畫組又參加硬筆書法組的學(xué)生的重疊部分；總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B。17．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，用10+18就是只參觀熊貓館、只參觀大象館以及兩個(gè)館都參觀的人數(shù)的2倍，再減去重復(fù)計(jì)算的兩個(gè)館都參觀的人數(shù)（8人），即得去動(dòng)物園的總?cè)藬?shù)．【解答】解：10+18﹣8＝28﹣8＝20（人）答：一共有20人參觀動(dòng)物園．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．18．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先用30+21＝51求出兩者的和，再減去重疊的人數(shù)15，求出至少答對(duì)一題的人數(shù)，列式為：30+21﹣15＝36人，然后用40減去36人，就是兩題都沒答對(duì)的人數(shù)，據(jù)此解答．【解答】解：40﹣（30+21﹣15）＝40﹣36＝4（人），答：兩題都沒答對(duì)的有4人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是理解15人是兩題都答對(duì)的學(xué)生的重疊部分，知識(shí)點(diǎn)是：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．19．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，用49+52＝101求出至少參加一個(gè)比賽項(xiàng)目的同學(xué)的總?cè)藬?shù)，再減去兩項(xiàng)都參加的人數(shù)就是三年級(jí)參加比賽的總?cè)藬?shù)．【解答】解：49+52﹣15＝101﹣15＝86（人）答：三年級(jí)有86人參加了比賽．故答案為：86．【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題．20．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)容斥原理“A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)”，用9+6﹣3即可求出這個(gè)興趣小組一共有多少人．【解答】解：9+6﹣3＝12（人）答：這個(gè)興趣小組一共有12人．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題．21．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】因?yàn)橛?1人兩種刊物都訂閱了是的重疊部分的人數(shù)，所以根據(jù)容斥原理求至少參加訂閱一種的人數(shù)是：25+19﹣11＝33（人），然后加上10就是總?cè)藬?shù)；據(jù)此解答．【解答】解：25+19﹣11＝33（人）；答：訂閱這兩種刊物的共33人．故答案為：33．【點(diǎn)評(píng)】本題依據(jù)了容斥原理公式之一：A類B類元素個(gè)數(shù)總和＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．22．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)“其中會(huì)拉小提琴的有25名，會(huì)彈電子琴的有22名，”可知：25+22＝47人包括三部分，只會(huì)拉小提琴的人數(shù)、只會(huì)彈電子琴的人數(shù)、兩種都會(huì)的人數(shù)，所以兩項(xiàng)都會(huì)的總?cè)藬?shù)是：25+22﹣3＝44（人），據(jù)此解答．【解答】解：25+22﹣3＝47﹣3＝44（名）答：學(xué)校樂隊(duì)共有44名新學(xué)員．故答案為：44．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是求出至少會(huì)一種的人數(shù)，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．23．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)容斥原理“既A又B＝總?cè)藬?shù)﹣（A+B）”，用參加跳繩的22人加參加踢毽子的16人求出和，減去兩項(xiàng)都參加的8人即得參加的人數(shù)，然后用總?cè)藬?shù)32減去參加的人數(shù)就是兩項(xiàng)都沒參加的人數(shù)．【解答】解：22+16﹣8＝30（人）32﹣30＝2（人）答：兩項(xiàng)都沒參加的有2人．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是理解兩項(xiàng)都參加的人數(shù)是既參加跳繩比賽又參加踢毽子的重疊部分，知識(shí)點(diǎn)是：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．24．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】三一班一共有36人表演了三項(xiàng)節(jié)目，6人只表演了唱歌，所以團(tuán)體操和舞蹈兩項(xiàng)的人數(shù)是36﹣6＝30（人），再用其中18加上15求出兩者的總?cè)藬?shù)（團(tuán)體操和舞蹈兩項(xiàng)都表演的重復(fù)計(jì)算了1次），然后再減去30人就是團(tuán)體操和舞蹈兩項(xiàng)都表演的人數(shù)．【解答】解：36﹣6＝30（人）18+15﹣30＝33﹣30＝3（人）答：團(tuán)體操和舞蹈兩項(xiàng)都表演的有3人．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是求出團(tuán)體操和舞蹈至少表演一種的人數(shù)，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．25．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)兩量重疊問題：A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)可得：用72加上53求出兩者的人數(shù)和，再減去總?cè)藬?shù)100人，就是重疊的人數(shù)，即這兩科都喜歡的人數(shù)．【解答】解：72+53﹣100＝125﹣100＝25（人）答：這兩科都喜歡的有25人．故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題．26．【答案】7?！痉治觥扛鶕?jù)“其中有22幅不是初一的”，說明初三、初二有22幅，根據(jù)“有25幅不是初二的”可得：初一、初三共有25幅畫，那么22+25就是初一、初二的和再加上初三的2倍，據(jù)此解答即可。【解答】解：（22+25﹣33）÷2＝14÷2＝7（幅）答：因此初三年級(jí)的畫共有7幅。故答案為：7。【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。27．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由于參加唱歌興趣小組的有27人和參加繪畫興趣小組的有38人，都包含兩樣都參加的有9人，所以從“參加唱歌興趣小組的27人和參加繪畫興趣小組的38人”中減去9人，就是總?cè)藬?shù)，據(jù)此解答．【解答】解：38+27﹣9＝65﹣9＝56（人）答：四年級(jí)（2）班有56人．故答案為：56．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是理解總?cè)藬?shù)包括三部分的人數(shù)，知識(shí)點(diǎn)是：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．28．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，用30+28就是只會(huì)彈鋼琴、只會(huì)拉小提琴以及兩樣都會(huì)的人數(shù)的2倍，再減總?cè)藬?shù)46人，就是兩樣都會(huì)的人數(shù)．【解答】解：30+28﹣46＝58﹣46＝12（人）答：這個(gè)班既會(huì)彈鋼琴又會(huì)拉小提琴的至少有12人．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．29．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)圖示可得，用30加上25就是三年級(jí)參加書法組的人數(shù)．既參加書法組又參加畫畫組的有25人．求只參加畫畫組的有20人．（2）把圖中三部分的數(shù)據(jù)相加就是參加這兩項(xiàng)的一共有幾人．【解答】解：（1）30+25＝55（人）即，三年級(jí)參加書法組的有55人．既參加書法組又參加畫畫組的有25人．只參加畫畫組的有20人．（2）30+25+20＝55+20＝75（人）答：參加這兩項(xiàng)的一共有75人．故答案為：55，25，20；75．【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題．30．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由圖表可知，參加圍棋小組的有5人，參加繪畫小組的有5人，兩個(gè)小組都參加的有2人（張芳、陳歡）；用5+5＝10求出參加圍棋、繪畫小組的人數(shù)和，再減去重疊的人數(shù)2人即可．【解答】解：5+5﹣2＝10﹣2＝8（人）答：參加這兩種興趣小組的一共有8人．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題利用容斥原理的基本公式之一：A類B類元素個(gè)數(shù)總和＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．三．判斷題（共1小題）31．【答案】√【分析】根據(jù)容斥原理公式，參加課外小組人數(shù)＝參加語文小組的人數(shù)+參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)﹣兩個(gè)小組都參加的人數(shù)，據(jù)此判斷?！窘獯稹拷猓?+9﹣3＝17﹣3＝1414＝14所以，原題說法正確。故答案為：√?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查了容斥原理，需要學(xué)生熟練掌握容斥原理公式。四．應(yīng)用題（共14小題）32．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，用26+25就是只學(xué)習(xí)書法、只繪畫以及書法和繪畫都學(xué)習(xí)的人數(shù)的2倍，再減去總?cè)藬?shù)，即得重復(fù)計(jì)算的書法和繪畫都學(xué)習(xí)的人數(shù)．【解答】解：26+25﹣45＝51﹣45＝6（人）答：書法和繪畫都學(xué)習(xí)的有6人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是求出至少參加一種的人數(shù)，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．33．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)“參加舞蹈小組的有27人，參加聲樂小組的有34人．”可得兩者的總?cè)藬?shù)：34+27＝61人，這其中把兩種興趣小組都參加的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理可得兩種興趣小組都參加的人數(shù)是：61﹣54＝7（人），據(jù)此解答即可．【解答】解：34+27﹣54＝61﹣54＝7（人）答：兩種興趣小組都參加的有7人．【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）．34．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】用14人加上28人求出兩者的和，由于8人是重復(fù)計(jì)算的部分，再減去8人，就是至少參加一項(xiàng)的人數(shù)是：28+14﹣8＝34（人），然后用總?cè)藬?shù)52人減去至少參加一項(xiàng)的人數(shù)，就是兩個(gè)小組都沒參加的人數(shù)，即52﹣34＝18（人）．【解答】解：52﹣（28+14﹣8）＝52﹣34＝18（人）答：這個(gè)班兩個(gè)小組都沒參加的有18人．【點(diǎn)評(píng)】容斥原理的計(jì)算公式：A+B﹣既A又B＝至少參加一項(xiàng)的人數(shù)．35．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）兩個(gè)園都參觀的有19人，那么只參觀玫瑰園的有：34﹣19＝15（人），只參觀菊花園的有：27﹣19＝8（人），據(jù)此填圖即可．（2）把圖中三部分的人數(shù)相加即可．（3）提問：只參觀玫瑰園的比只參觀菊花園的多多少人？然后把這兩部分的人數(shù)作差即可．【解答】解：（1）34﹣19＝15（人）27﹣19＝8（人）（2）15+19+8＝34+8＝42（人）答：去植物園的一共有42人．（3）只參觀玫瑰園的比只參觀菊花園的多多少人？15﹣8＝7（人）答：只參觀玫瑰園的比只參觀菊花園的多7人．故答案為：42．【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題．36．【答案】（1）11人；（2）9人?！痉治觥浚?）求只做對(duì)第1道題的有多少人，用第1道題做對(duì)的31人減去全班全對(duì)的20人即可；（2）求只做對(duì)第2道題的有多少人，用第2道題做對(duì)的29人減去全班全對(duì)的20人即可?！窘獯稹拷猓海?）31﹣20＝11（人）答：只做對(duì)第1道題的有11人。（2）29﹣20＝9（人）答：只做對(duì)第2道題的有9人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。37．【答案】434人?！痉治觥肯扔?06加上260求出兩者的總?cè)藬?shù)，然后再用原來的總?cè)藬?shù)900人減去兩者的總?cè)藬?shù)，就是重疊的人數(shù)，即兩種運(yùn)動(dòng)都會(huì)的有多少人。【解答】解：900﹣（206+260）＝900﹣466＝434（人）答：兩種運(yùn)動(dòng)都會(huì)的有434人。【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問題。38．【答案】（1）12；（2）16?！痉治觥浚?）小麗寫出了12個(gè)，小芳寫出了7個(gè)，小芳寫出的7個(gè)成語小麗都寫出來了，所以小麗寫出的12個(gè)，就是小麗和小芳一共寫出的個(gè)數(shù)。小麗和小芳一共寫出了多