蘇科版九年級上12月月考數(shù)學試卷含答案解析

九年級上學期月考數(shù)學試卷（12月份）

一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）

1.方程x2=2x的解是（）_

A.x=2B.xi=2,X2=0C.xi=-A/2>X2=0D.X=0

2.若二次函數(shù)y=（a-1）x2+3x+a2-1的圖象經(jīng)過原點，則a的值必為（）

A.1或-1B.1C.-1D.0

3.二次函數(shù)y=-2(x-1)2+3的圖象的頂點坐標是()

A.(l,3)B.(-1,3)C.(l?-3)D.(-1,-3)

4.學校組織才藝表演比賽，前6名獲獎.有13位同學參加比賽且他們所得的分數(shù)互不相同.某同

學知道自己的比賽分數(shù)后，要判斷自己能否獲獎，在這13名同學成績的統(tǒng)計量中只需知道一個量，它

是（）

A.眾數(shù)B.方差C.中位數(shù)D.平均數(shù)

5.已知圓錐的底面的半徑為3cm,高為4cm,則它的側面積為（）

A.nl5ncm2B.16ncm2C.19ncm2D.24Ttem?

A.0個B.1個C.2個D.3個

7.如圖，A、D是。O上的兩個點，BC是直徑，若/D=35。，則/OAC的度數(shù)是（）

A.35°B.55°C.65°D.70°

8.如圖，正^ABC的邊長為3cm,動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿AfB玲C的方向運動,

到達點C時停止，設運動時間為x（秒），y=PC2,則y關于x的函數(shù)的圖象大致為（）

9.如圖，等邊aABC的周長為6n,半徑是1的。O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在aABC外部

按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，則。O自轉了（）

A.2周B.3周C.4周D.5周

10.二次函數(shù)y=x?+bx的圖象如圖，對稱軸為直線x=l,若關于x的一元二次方程x?+bx-t=0（t為實

數(shù)）在-l<x<4的范圍內有解，貝肛的取值范圍是（）

A.t>-IB.-l<t<3C.-l<t<8D.3<t<8

二、填空題（本大題共8小題，每空2分，共16分）

11.圓弧的半徑為3,弧所對的圓心角為60。，則該弧的長度為.

12.現(xiàn)有甲、乙兩個合唱隊隊員的平均身高為170cm,方差分別是S甲2、sJ,月$甲2>s/,則兩

個隊的隊員的身高較整齊的是.

13.某廠一月份生產(chǎn)某機器100臺，計劃三月份生產(chǎn)160臺.設二、三月份每月的平均增長率為x,根

據(jù)題意列出的方程是.

14.一個正多邊形的每個外角都是36。，這個正多邊形的邊數(shù)是.

15.關于x的一元二次方程x2「3x+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，貝必的取值范圍是

16.己知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=-1.若其與x軸的一個交點

為A,則由圖象可知，當自變量x的取值范圍是時，函數(shù)值yVO.

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=V3>AD=1,把該矩形繞點A順時針旋轉a度得矩形ABCD,點

C落在AB的延長線上，則線段CD掃過部分的面積（圖中陰影部分）是.

R'

18.如圖，已，知拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標為-2,現(xiàn)將拋物線向右

平移2個單位，得到拋物線y=aix2+bix+ci，則下列結論正確的是.（寫出所有正確結

論的序號）

①b>0

②a-b+c<0

③陰影部分的面積為4

④若c=-1,則b?=4a.

三、解答題（本大題共10小題，共84分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證

明過程或演算步驟）

19.解方程：x2-2x-1=0.

20.解方程：(x-3)2+4X(x-3)=0.

21.在"全民讀書月”活動中，小明調查了班級里40名同學本學期計劃購買課外書的花費情況，并將結

果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，請根據(jù)相關信息，解答下列問題：（直接填寫結果）

（1）本次調查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是;

這次調查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是;

（3）若該校共有學生1000人，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計本學期計劃購買課外書花費50元的學生有一

人.

22.一只不透明袋子中裝有1個紅球，2個黃球，這些球除顏色外都相同，小明攪勻后從中任意摸出

一個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球，用畫樹狀圖或列表法列出摸出球的所有

等可能情況，并求兩次摸出的球都是紅球的概率.

23.如圖，點O為RtZ\ABC斜邊AB上一點，以OA為半徑的。O與BC切于點D,與AC交于點

E,連接AD.

（1）求證：AD平分NBAC；若/BAC=60。，OA=2,求陰影部分的面積（結果

保留n）.

24.如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過格點A、B、C.

（1）畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并連接AD、CD.請在（1）

的基礎上，以點O為原點、水平方向所在直線為x軸、豎直方向所在直線為y軸，建立平面直角

坐標系，完成下列問題：

①。D的半徑為（結果保留根號J

②若用扇形ADC圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面圓半徑是；

③若E(7,0)試判斷直線EC與。D的位置關系并說明你的理由.

25.某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構.這種許愿

瓶的進價為6元/個，根據(jù)市場調查，一段時間內的銷售量y(個)與銷售單價x(元/個)之間的對

應關系如圖所不：

(1)試判斷y與x之間的函數(shù)關系，并求出函數(shù)關系式；按照上述市場調查的銷售規(guī)

律，當利潤達到1200元時，請求出許愿瓶的銷售單價x；

(3)請寫出銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/個)之間的函數(shù)關系式；若許愿瓶的進貨成本不超過900

元，要想獲得最大的利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤.

N(個)

》六元個)

in1?1416

26.如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使4PAB的周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，

請說明理由；

(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N,使4NAC的面積最大？若存在，請

求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

27.如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6,點M為AB上一定點.思

考

如圖1,圓心為0的半圓形紙片在AB,CD之間（包括AB,CD）,其直徑MN在AB上，MN=8,點P

為半圓上一點，設NMOP=a.

當0（=度時，點P至IJCD的距離最小，最小值為_

_________________.探究一

在圖1的基礎上，以點M為旋轉中心，在AB,CD之間順時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉動

為止，如圖2,得到最大旋轉角NBMO=度，此時點N至UCD的距離是一

__________________________________________________.探究二

將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對a的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB,CD之間順時

針旋轉.

（1）如圖3,當a=60°時，求在旋轉過程中，點P至IJCD的最小距離，并請指出旋轉角/BMO的最大值；

如圖4,在扇形紙片MOP旋轉過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定a的取值范圍.

（參考數(shù)據(jù)：5m49。=衛(wèi)，cos4「=gtan370=衛(wèi)）

444

AP__JBAni------------------1BA———xBA'J-----------1B

aiyO6

28.在平面直角坐標系中，O為原點，直線y=-2x-1與y軸交于點A,與直線y=-x交于點B,點

B關于原點的對稱點為點C.

（1）求過A,B,C三點的拋物線的解析式；

P為拋物線上一點，它關于原點的對稱點為Q.

①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；

②若點P的橫坐標為t（-當t為何值時，四邊形PBQC面積最大？并說明理由.

y=-2x-l

江蘇省無錫市宜興市桃溪中學屆九年級上學期月考數(shù)學試

卷(12月份)

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分)

1.方程X2=2X的解是()_

A.x=2B.xi=2,X2=0C.xi=--\[2,X2=0D.x=0

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】把右邊的項移到左邊，用提公因式法因式分解求出方程的根.

【解答】解：X2=2X,

x2-2x=0,x(x-2)

=0,

*'?x=0,x-2=0,

，xi=0,X2=2,故選：

B.

【點評】本題考查了運用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右邊化為0,再把方程左邊進

行因式分解，然后一元二次方程就可化為兩個一元一次方程，解兩個一元一次方程即可.

2.若二次函數(shù)y=(a-I)x2+3x+a2-I的圖象經(jīng)過原點，則a的值必為()

A.1或-1B.1C.-1D.0

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的定義.

【分析】先把原點坐標代入二次函數(shù)解析式得到a的方程，解方程得到a=l或a=-l,根據(jù)二次函數(shù)

的定義可判斷a=-1.

【解答】解：把(0,0)代入y=(a-1)x2+3x+a2-1,得

a2-1=0,解得a=l或a=-1,

因為a-1*0,

所以a—1,即a=7.故

選C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)丫=2*2+5*+?(a、b、c為常數(shù)，awO)圖

象上的點的坐標滿足其解析式，同時考查了二次函數(shù)的定義.

3.二次函數(shù)y=-2(x-1)2+3的圖象的頂點坐標是()

A.(l,3)B.(-1,3)C.(l,-3)D.(-1,-3)

【考點】二次函數(shù)的性質.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可.

【解答】解：二次函數(shù)y=-2(x-1)2+3的圖象的頂點坐標為(1,3).故選A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標的方法是解題的關鍵.

4.學校組織才藝表演比賽，前.6名獲獎.有13位同學參加比賽且他們所得的分數(shù)互不相同.某同

學知道自己的比賽分數(shù)后，要判斷自己能否獲獎，在這13名同學成績的統(tǒng)計量中只需知道一個量，它

是（）

A.眾數(shù)B.方差C.中位數(shù)D.平均數(shù)

【考點】統(tǒng)計量的選擇.

【分析】由于比賽設置了6個獲獎名額，共有13名選手參加，故應根據(jù)中位數(shù)的意義分析.

【解答】解：因為6位獲獎者的分數(shù)肯定是13名參賽選手中最高的，

而且13個不同的分數(shù)按從小到大排序后，中位數(shù)及中位數(shù)之后的共有6個數(shù)，

故只要知道自己的分數(shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎了.

故選C.

【點評】此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義.反映數(shù)據(jù)集

中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計量進行合理的選擇和

恰當?shù)倪\用.

5.已知圓錐的底面的半徑為3cm,高為4cm，則它的側面積為（）

9000

A.15mm’B.16Tlem-C.19ncm2D.24ncm2

【考點】圓錐的計算；弧長的計算；扇形面積的計算.

【專題】計算題.

【分析】先利用勾股定理計算出母線長PA,然后根據(jù)圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐

的底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，利用扇形的面積公式計算即可.

【解答】解：如圖，0A=3cm,高P0=4cm,

在RtZ\PAO中，PA=7OA2+PO2=V32+42=5>

圓錐的側面積=1*2iT?3x5=15n（cm2）.故

2

選A.

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.也考查了扇形的面積公式以及勾股定理.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】等弧必須同圓中長度相等的弧；不在同一直線上任意三點確定一個圓；在等圓中相等的圓心

角所對的弦相等；外心在三角.形的一條邊上的三角形是直角三角形.

【解答】解：①等弧必須同圓中長度相等的弧，故本選項錯誤.

②不在同一直線上任意三點確定一個圓，故B本項錯誤.

⑤在等圓中相等的圓心角所對的弦相等，故本選項錯誤.

④外心在三角形的一條邊上的三角形是直角三角形，故本選項正確.所以只有

④一項正確.

故選B.

7.如圖，A、D是。O上的兩個點，BC是直徑，若/D=35。，則/OAC的度數(shù)是（）

A.35°B.55°C.65°D.70°

【考點】圓周角定理.

【分析】在同圓和等圓中，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，所以/AOC=2/D=70。，而aAOC中,

AO=CO,所以/OAC=/OCA,而180°-ZAOC=110°,所以/OAC=55°.

【解答】解：???ND=35°,

,ZAOC=2ZD=70°,

/.ZOAC=（180°-ZAOC）+2=11022=55°.

故選：B.

【點評】本題考查同弧所對的圓周角和圓心角的關系.規(guī)律總結:解決與圓有關的角度的相關計算時，

一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相

等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關系求解，特別地，當有一直徑這一條件時，往往要用到直

徑所對的圓周角是直角這一條件.

8.如圖，正4ABC的邊長為3cm,動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿A玲B玲C的方向運動，

到達點C時停止，設運動時間為x（秒），y=PC2,則y關于x的函數(shù)的圖象大致為（）

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

【專題】壓軸題.

【分析】需要分類討論：①當0SM3,即點P在線段AB上時，根據(jù)余弦定理知cosA=M^+AC2-PC所以

......2PA.-AC__

將相關線段的長度代入該等式，即可求得y與x的函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)決素氐牖藤鹵數(shù)的圖

象.②當3<xS6,即點P在線段BC上時，y與x的函數(shù)關系式是丫=(6-x)2=(x-6)2

(3<x<6)根據(jù)該函數(shù)關系式可以確定該函數(shù)的圖象.

【解答】解：:,正4ABC的邊長為3cm,

***ZA=ZB=ZC=60O,AC=3cm.

①當例(0<X<3)；根據(jù)余弦定理知cosA=."AC2-PC,

2PA-.AC__一

即工史，

OC..

解得，y=x2-3x+9(0<x<3)；該函數(shù)圖象是

開口向上的拋物線；

解法二：過C作CDJ_AB,則AD=1.5cm,CD=m,

點P在AB上時，AP=,

.\y=PC2=(4^)2+(1.5-X)2=x2-3x+9(0<x<3)該函數(shù)圖象是開口向上的

拋物線；

②當3<(3<x<6i)

則戶（6-x）2=（x-6）2（3<x<6）

?:該函數(shù)的圖象是在3<xV6上的拋物線;

故選：C.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象.解答該題時.，需要對點P的位置進行分類討論，以防錯

選.

9.如圖，等邊4ABC的周長為6TI,半徑是1的。O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在aABC外

部按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，則。0自轉了（）

【考點】直線與圓的位置關系；等邊三角形的性質.

【專題】壓軸題.

【分析】該圓運動可分為兩部分：在三角形的三邊運動以及繞過三角形的三個角，分別計算即可得到

圓的自傳周數(shù).

【解答】解：圓在三邊運動自轉周數(shù)：旦3,圓繞過三角形外角時，共自轉了

2兀

三角形外角和的度數(shù)：360。，即一周；可見，。0自轉了3+1=4周.

故選：C.

【點評】本題考查了圓的旋轉與三角形的關系，要充分利用等邊三角形的性質及圓的周長公式解答.

10.二次函數(shù)y=x?+bx的圖象如圖，對稱軸為直線x=l,若關于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t為實

數(shù)）在-l<x<4的范圍內有解，貝亞的取值范圍是（）

A.t>-IB.-l<t<3C.-l<t<8D.3<t<8

【考點】二次函數(shù)與不等式（組）

【專題】壓軸題.

【分析】根據(jù)對稱軸求出b的值，從而得到X=-1、4時的函數(shù)值，再根據(jù)一元二次方程x?+bx-t=0

(t為實數(shù))在-l<x<4的范圍內有解相當于y=x?+bx與y=t在x的范圍內有交點解答.

【解答】解：對稱軸為直線x=--^=1,

2X1

解得b=-2,

所以，二次函數(shù)解析式為y=x?-2x,

y=(x-1)2-1,

x=-1時，y=1+2=3,

x=4時，y=16-2x4=8,

*.*x2+bx-t=0相當于y=x?+bx與直線y=t的交點的橫坐標，

...當-Mt<8時，在-l<x<4的范圍內有

解.故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，把方程的解轉化為兩個函數(shù)圖象的交點的問題求解是解題的

關鍵，作出圖形更形象直觀.

二、填空題(本大題共8小題，每空2分，共16分)

11.圓弧的半徑為3,弧所對的圓心角為60。，則該弧的長度為

【考點】弧長的計算.

【分析】利用弧長公式即可直接求解.

【解答】解：弧長是：6071X3

180

-re.故答案是：n.

【點評】本題考查了弧長的計算公式，正確記憶公式是關鍵.

12.現(xiàn)有甲、乙兩個合唱隊隊員的平均身高為170cm,方差分別是S甲2、S乙2,且s甲2>S乙2,則

兩個隊的隊員的身高較整齊的是工」.

【考點】方差.

【分析】利用方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程

度越小，穩(wěn)定性越好，進而分析得出答案.

【解答】解：甲2>S乙2,

兩個隊的隊員的身高較整齊的是：

乙.故答案為：乙.

【點評】此題主要考查了方差的意義，正確理解方差的意義是解題關鍵.

13.某廠一月份生產(chǎn)某機器100臺，計劃三月份生產(chǎn)160臺.設二、三月份每月的平均增長率為x,

根據(jù)題意列出的方程是100(1+x)2=160.

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】增長率問題.

【分析】設二，三月份每月平均增長率為x,根據(jù)一月份生產(chǎn)機器100臺，三月份生產(chǎn)機器160臺，

可列出方程.

【解答】解：設二，三月份每月平均增長率為X,

100(1+x)2=160.

故答案為:100(1+x)2=160.

【點評】本題考查理解題意的能力，本題是個增長率問題，發(fā)生了兩次變化，先找出一月份的產(chǎn)量和

三月份的產(chǎn)量，從而可列出方程.

14.一個正多邊形的每個外角都是36。，這個正多邊形的邊數(shù)是_10.

【考點】多邊形內角與外角.

【分析】多邊形的外角和等于360。，因為所給多邊形的每個外角均相等，故又可表示成36F,列方

程可求解.

【解答】解：設所求正n邊形邊數(shù)為n,

則36°n=360°,

解得n=10.故正多邊形

的邊數(shù)是10.

【點評】本題考查根據(jù)多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和

數(shù)據(jù)處理.

15.關于x的一元二次方程x2-3x+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，則b的取值范圍是b<j_.

4

【考點】根的判別式.

【專題】計算題.

【分析】根據(jù)判別式的意義得到4=(-3)2-4b>0,然后解不等式，即可.

【解答】解：根據(jù)題意得△尸(-3)2-4b>0,解

得b<2

4

故答案為：b<l

A

【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(awO)的根的判別式-4ac：當△>(),方程有兩

個不相等的實數(shù)根；當△=()，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方程沒有實數(shù)根.

16.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=-l.若其與x軸的一個交

點為A,則由圖象可知，當自變量x的取值范圍是x>2或x<-4時,函數(shù)值y<0.

x=-ly

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】利用二次函數(shù)的對稱性，得出圖象與X軸的另一個交點坐標，再結合圖象，得出y的取值

小于0時，圖象為x軸下方部分，即可得出自變量x的取值范圍.

【解答】解：??,二次函數(shù)對稱軸為直線x=-1,與x軸交點為A,

二根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可得到圖象與x軸的另一個交點坐標為（-4,0）,又

???函數(shù)開口向下，x軸下方部分y<0,

；.x>2或x<-4,故答案為：

x>2或x<-4.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的對稱性，以及結合二次函數(shù)圖象觀察函數(shù)的取值問題.

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=F，AD=1,把該矩形繞點A順時針旋轉a度得矩形AB，CD，,

點C，落在AB的延長線上，則線段CD掃過部分的面積（圖中陰影部分）是——.

Rr

【考點】扇形面積的計算；旋轉的性質.

【分析】根據(jù)圖示知，S陰影=SACC-SAAEC,+（—S矩也ABCD-Sa?ADD'-SAAD（E）.根據(jù)圖形的面積

2

公式、旋轉的性質以及勾股定理求得相關數(shù)據(jù)代入即可求得陰影部分的面積.

【解答】解：如圖，連接AC.

在矩形ABCD中，AB=CD=遮，AD=1,則AC=?居于=2.根據(jù)旋

轉的性質得至ij：NDAD，=NCAC=a,AD=AD,=1,CD=CD=心所以

S陰影=SmACC-SAAEC+（矩形ABCD-S國彩ADD,-SAAD-E）

2

=S招ACC'-SAACV+^S矩形ABCD-S扇形ADD,，

2

=-lxix^+lxix^-onXI

22......360.

?.?a=NCAC'=30°,

.Ka_

?,120一

—.故答里是

_4.

D

【點評】此題主要考查了矩形的性質以及旋轉的性質以及扇形面積公式等知識，此題利用了"分割法”對

不規(guī)則圖形進行面積的計算.

18.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標為-2,現(xiàn)將拋物線向

右平移2個單位，得到拋物線y=aix2+bix+ci，則下列結論正確的是⑶⑷.（寫出所有正確結論的

序號）

①b>0

②a-b+c<0

③陰影部分的面積為4

④若c=-1,J1iJb2=4a.

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】壓軸題.

【分析】①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a>0；然后根據(jù)對稱軸為x=-電>0,可得b<0,據(jù)

2a

此判斷即可.

②根據(jù)拋物線y=ax?+bx+c的圖象，可得x=-l時，y>0>即a-b+c>0,據(jù)此判斷即可.

③首先判斷出陰影部分是一個平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積=底*高，求出陰影部分的面

積是多少即可.

2

④根據(jù)函數(shù)的最小值是《ac-b=-2,判斷出c=-l時，a、.b的關系即可.

....….4a....._____

【解答】解：???拋物線開口向上，

Aa>0,

又：對稱軸為x=-A>o,

2a

/.b<0,

二結論①不正確；

***x=-1時，，y>0,

/?a-b+c>0,

結論②不正確；

???拋物線向右平移了2個單位，

，平行四邊形的底是2,

,函數(shù)y=ax?+bx+c的最小值是y=-2,

???平行四邊形的高是2,

,陰影部分的面積是：2x2=4,

???結論③正確；

...…4a________

b2=4a,

.??結論④正確.綜上，結論正

確的是：@（4）.故答案為：

③④.

【點評】（1）此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要熟練掌握，解答此類問題的關鍵是要明

確：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方

法：一.是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后

的頂點坐標，即可求出解析式.此題還考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，要熟練掌握，解.答此

題的關鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁>0時，拋物線向上開口;

當a<0時，拋物線向下開口；

②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab>0）對稱軸在y軸左;

當a與b異號時（即ab<0）對稱軸在y軸右.（簡稱：左同右異）③.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交

點.拋物線與y軸交于（0,c）

三、解答題（本大題共10小題，共84分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、

證明過程或演算步驟）

19.解方程：x2-2x-1=0.

【考點】解一元二次方程-公式法.

【專題】計算題.

【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可.

【解答】解：解法一：；a=l,b=-2,c=-1

b2-4ac=4-4x1x（-1）=8>0

...jb±'b2-4ac_2±近十

x=2a-2X1-72

：_;

'Xi=1+72'x2=lV2

雌二：（x-1）2=2

?'*x-1=±^2

，

**,x1=l+V2X2=1-V2-

(b2-4ac>0)

20.解方程：（x-3）2+4X（x-3）=0.

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】壓軸題；因式分解.

【分析】方程的左邊提取公因式x-3,即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解.

【解答】解：原式可化為：（x-3）（x-3+4x）=0

Ax-3=0或5x-3=0

解得XJ=3>X<2=^,

【點苗i未施瞽看了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公

式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法.

21.在"全民讀書月”活動中，小明調查了班級里40名同學本學期計劃購買課外書的花費情況，并將結

果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，請根據(jù)相關信息，解答下列問題：（直接填寫結果）

（1）本次調查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是30元：

這次調查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是50元；

（3）若該校共有學生1000人，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計本學期計劃購買課外書花費50元的學生有.250

人.

【分析】（1）眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，據(jù)此即可判斷；中位數(shù)就是大小處于中間位置的數(shù)，根據(jù)

定義判斷；

（3）求得調查的總人數(shù)，然后利用1000乘以本學期計劃購買課外書花費50元的學生所占的比例即可

求解.

【解答】解：（1）眾數(shù)是：30元，故答案是：30元；中

位數(shù)是：50元，故答案是：50元；

（3）調查的總人數(shù)是：6+12+10+8+4=40（人）則估計本學期計劃購買課

外書花費50元的學生有：1000x^=250（人）

故答案是：250.

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必

要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部

分占總體的百分比大小.

22.一只不透明袋子中裝有1個紅球，2個黃球，這些球除顏色外都相同，小明攪勻后從中任意摸

出一個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球，用畫樹狀圖或列表法列出摸出球的所

有等可能情況，并求兩次摸出的球都是紅球的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的球都是紅球的

情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得：

開始

紅黃黃

/1\/1\/N

黃黃CE黃黃黃黃

???共有9種等可能的結果，兩次摸出的球都是紅球的只有1種情況，

兩次摸出的球都是紅球的概率為：工.

,9

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.如圖，點0為RtZ\ABC斜邊AB上一點，以0A為半徑的。O與BC切于點D,與AC交于點

E,連接AD.

（1）求證：AD平分/BAC；若/BAC=60。，0A=2,求陰

影部分的面積（結果保留田.

份汨（1）扭t/XABC中，ZC=90°,?0切BC于D,易證得AC〃0D,繼而證得AD平分NCAB.如圖,

連接ED,根據(jù)（1）中AC〃0D和菱形的判定與性質得到四邊形AED0是菱形，則

△AEM^ADMO,則圖中陰影部分的面積=扇形EOD的面積.

【解答】（1）證明：切BC于D,

A0D1BC,

VAC1BC,

，AC〃OD,

二ZCAD=ZADO,

,/OA=OD,

/.ZOAD=ZADO,

，ZOAD=ZCAD,

即AD平分NCAB；

設EO與AD交于點M,連接ED.

,/ZBAC=60°,OA=OE,

AZAEO是等邊三角形，

.,.AE=OA,ZAOE=60°,

，AE=AO=OD,

又由（1）知，AC〃OD即AE〃OD,

二四邊形AEDO是菱形，則△AEM也△DMO,NEOD=60°,

?'?SAAEM=SADMO，

??s陰影=s扇形

【點評】此題考查了切線的性質、等腰三角形的性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意

數(shù)形結合思想的應用.

24.如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過格點A、B、C.

（1）畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并連接AD、CD.請在（1）

的基礎上，以點O為原點、水平方向所在直線為x軸、豎直方向所在直線為y軸，建立平面直角

坐標系，完成下列問題：

①OD的半徑為2A/5一（結果保留根號）

②若用扇形ADC圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面圓半徑是_亞_；

2

③若E（7,0）試判斷直線EC與。D的位置關系并說明你的理由.

【考點】圓的綜合題.

【分析】（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系，然后作出弦AB的垂直平分線，以及BC的垂直平分線,

兩直線的交點即為圓心D,連接AD,CD；

①根據(jù)第一間畫出的圖形即可得出C及D的坐標；

②在直角三角形AOD中，由OA及OD的長，利用勾股定理求出AD的長，即為圓O的半徑；

③直線CE與圓O的位置關系是相切，理由為：由圓的半徑得出DC的長，在直角三角形CEF中,

由CF及FE的長，利用勾股定理求出CE的長，再由DE的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形

DCE為直角三角形，即EC垂直于DC,可得出直線CE為圓O的切線.

【解答】解：（1）根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示：

①在RtaAOD中，OA=4,OD=2,根據(jù)勾

股定理得：AD=7OA2+OD2=2則

0D的半徑為2遍；

@AC=^22+62=2710-CD=2A/5.

AD2+CD2=AC2,

二ZADC=90°.

扇形ADC的弧長==V5n,

圓錐的底面的半徑=;

③直線EC與。D的位置關系為相切，

理由為：在Rt/XCEF中，CF=2,EF=1,根

據(jù)勾股定理得：

CE=^CF2+EF2=V5-

^△CDE中，CD=2在，CE=旄，DE=5,

,/CE2+CD2=（旄）2+2=5+20=25,DE2=25,

.,?CE2+CD2=DE2,

.?.△CDE為直角三角形，即NDCE=90。，則

CE與圓D相切.

【點評】此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：坐標與圖形性質，垂徑定理，勾股定理及逆

定理，切線的判定，利用了數(shù)形結合的思想，根據(jù)題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵.

25.某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構.這種許

愿瓶的進價為6元/個，根據(jù)市場調查，一段時間內的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的

對應關系如圖所不：

（1）試判斷y與x之間的函數(shù)關系，并求出函數(shù)關系式；按照上述市場調查的銷售規(guī)

律，當利潤達到1200元時，請求出許愿瓶的銷售單價x；

(3)請寫出銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/個)之間的函數(shù)關系式：若許愿瓶的進貨成本不超過900

元，要想獲得最大的利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤.

(個)

元個)

【考點】二次函數(shù)的應用.

【分析】(1)觀察可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù)，設出一次函數(shù)解析式，把其中兩點代入即可求得該函

數(shù)解析式，進而把其余兩點的橫坐標代入看縱坐標是否與點的縱坐標相同；銷售利潤=每個許愿瓶

的利潤x銷售量；

(3)根據(jù)進貨成本可得自變量的取值，結合二次函數(shù)的關系式即可求得相應的最大利潤.

【解答】解：(1)y是x的一次函數(shù)，設丫=10^^圖象過點(10,300X12,240)

解得，

故丫=-30x+600,

當x=14時，y=180；當x=16時,y=120,即點(14,180),(16,

120)均在函數(shù)丫=-30x+600的圖象上，

?'?y與x之間的函數(shù)關系式為y=-30x+600.

(x-6)(-30x+600)=1200,解

得：x=10或x=16,

答：許愿瓶的銷售單價x為10元或16元；

(3)w=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x-3600

即w與x之間的函數(shù)關系式為w=-30X2+780X-3600.由題意

得6(-30X+600)<900,解得x215,w=-30x2+780x-3600圖

象對稱軸為x=-——78°、=13，

?2ae>X4ii■acrli-ira3t0)!

Va=-30<0,

???拋物線開口向下，當X215時，w隨x增大而減小，

?,?當x=15時，w我大=1350.

即以15元/個的價格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤1350元.

【點評】考查了二次函數(shù)的應用，(1)問中，主要考察用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的綜合應用；(3)問

中，主要結合(1)問中一次函數(shù)的性質，求出二次函數(shù)的最值問題.

26.如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

在拋物線的對稱軸上是否存在一點p,使APAB的周長最??？若存在，請求出點p的坐標；若不存

在，請說明理由；

(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N,使4NAC的面積最大？若存在，請

求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析XI)拋物線經(jīng)過點A(0,4)B(1,0)C(5,0)可利用兩點式法設拋物線的解析式為廣a

(x-l)(x-5)代入A(0,4)即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；

點A關于對稱軸的對稱點A，的坐標為(6,4),連接BA，交對稱軸于點P,連接AP,此時aPAB的周長

最小，可求出直線BA，的解析式，即可得出點P的坐標.

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使aNAC面積最大.設N點的橫坐標為t,此時點N

(t,$,24t+4)(0<t<5),再求得髏AC的解析式，即可求得NG的長與aACN的面積，由二次

_5

函數(shù)最大臉問題即可求得答案.

【解答】解：⑴根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為尸a(x7)(x-5),把點A(0,

4)代入上式得：a=&

.5

(x-l)(x-5)=-^x2-坐x+4=《(x-3)2-坐

二拋百線的對稱軸是：x』；P(

點坐標為(3,包).理由如

上

下：

,點A(0,4)拋物線的對稱軸是x=3,

...點A關于對稱軸的對稱點A，的坐標為(6,4)

如圖1,連接BA，交對稱軸于點P,連接AP,此時4PAB的周長最小.

圖1

設直線BA，的解析式為y=kx+b,

把A，(6,4),B(l,0)代入得［*6k+b,解

I0=k+b

得用,

'b=-&

???尸烏-w

?.?點P的橫坐標為3,

.?.y=Wx3-曳圖，

3上上

.'.P(3,圖)

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使aNAC面積最

大.設N點的橫坐標為3此時點N(t,32_24^(o<t<5),

上一￡

如圖2,過點N作NG〃y軸交AC于G；作AD_LNG于D,

圖2

由點A(0,4)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為：y=-Wx+4,把

石

x=t代入得：y=-&+4,則G(t,--1+4),此時：NG=-W

上上上

t+4-(―t2-罵+4)=-A2+4t,

.5.5.5

,/AD+CF=CO=5,

SAACN=SAANG+SACGN=-ADXNG+1NGXCF=」NG?OC=L(-42+4t)x5=-2t2+10t=-2(t-殳

222252

2

十+25,

.2.

.?.當t=_§時，^CAN面積的最大值為公，

22

由t=9得：y=-t2--{+^=-3,

2上一抗

.,.N(5，-3)

2

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合

思想的靈活應用.

27.如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6,點M為AB上一定點.思考

如圖1,圓心為0的半圓形紙片在AB,CD之間（包括AB,CD）,其直徑MN在AB上，MN=8,點P

為半圓上一點，設NMOP=a.

當a=90度

時，點P到CD的距離最小，最小值為2

___________.探究一

在圖1的基礎上，以點M為旋轉中心，在AB,CD之間順時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉

動為止，如圖2,得到最大旋轉角NBMO=30度,此時點N到CD的距離是

探究二

將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對a的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB,CD之間順

時針旋轉.

（1）如圖3,當a=60。時，求在旋轉過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉角NBMO的最大

值；

如圖4,在扇形紙片MOP旋轉過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定a的取值范圍.

（參考數(shù)據(jù)：sin49-=2cos4「=旦tan37°=^）

【考點】直線與圓的位置關系；點到直線的距離；平行線之間的距離；旋轉的性質；解直角三角形.

【專題】壓軸題.

【分析】思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，以及切線的性質定理，直接得出答案；探究一：根

據(jù)由MN=8,MO=4,OY=4,得出UO=2,即可得出得到最大旋轉角/BMO=30度，此時點N至UCD

的距離是2；

探究二：（1）由已知得出M與P的距離為4,PM」_AB時，點MP到AB的最大距離是4,從而點P

到CD的最小距離為6-4=2,即可得出/BMO的最大值；

分別求出a最大值為/OMH+/OHM=3（F+90。以及最小值a=2/MOH,即可得出a的取值范圍.

【解答】解：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當a=90度時，點P到CD的距離

最小，

：MN=8,

.??OP=4,

.??點P至IJCD的距離最小值為：6-

4=2.故答案為：90,2；

探究一：???以點M