平面向量知識點(diǎn)總結(jié)

平面向量知識點(diǎn)總結(jié)2平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)平面向量知識點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1.向量的概念:既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示.注意,不能說向量就是有向線段,為什么,提示,向量可以平移.舉例1已知,,則把向量按向量平移后得到的向量是_____.結(jié)果,ABA(1,2)B(4,2)a,,(1,3)(3,0)02.零向量:長度為0的向量叫零向量，記作:，規(guī)定:零向量的方向是任意的;ABAB3.單位向量:長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是);,||AB.相等向量:長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性;4b5.平行向量(也叫共線向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作:aab?，規(guī)定:零向量和任何向量平行.注,?相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等,?兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念,兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合,?平行向量無傳遞性，,因?yàn)橛?,0?三點(diǎn)共線共線.,ABAC、ABC、、6.相反向量:長度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.a,a舉例2如下列命題,,1,若,則.||||ab,ab,,2,兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同.,3,若,則是平行四邊形.ABDC,ABCD,4,若是平行四邊形,則.ABDC,ABCD,5,若,,則.bc,ab,ac,,6,若,則.其中正確的是.結(jié)果,,4,,5,ab//bc//ac//二、向量的表示方法AB1.幾何表示:用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后;b2.符號表示:用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，，等;acij,3.坐標(biāo)表示:在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量為yxaxiyjxy,，,(,)(,)xyaxy,(,)基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫aa做向量的坐標(biāo)表示.a結(jié)論:如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理ee,定理設(shè)同一平面內(nèi)的一組基底向量，是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對a12(,),,aee,，,,，使.121122(1)定理核心:;(2)從左向右看，是對向量的分解，且表達(dá)式唯一;反之，是對向量的合成.a,，λeλeaa1122(3)向量的正交分解:當(dāng)時(shí)，就說為對向量的正交分解(ee,a,，λeλea12112213ab,舉例3,1,若,b,,(1,1),,則.結(jié)果,.a,(1,1)c,,(1,2)c,22,2,下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是B13,,e,,,A.,B.,C.,D.,e,(0,0)e,,(1,2)e,,(1,2)e,(5,7)e,(3,5)e,(6,10)e,,(2,3)2,,121212124,,ADBE,,3,已知分別是的邊,上的中線,且,,則可用向量ab,表示為.結(jié)果,BEb,ADa,BCAC?ABCBC24ab，.33Drs，,,4,已知中,點(diǎn)在邊上,且,,則的值是.結(jié)果,0.CDDB,2CDrABsAC,，?ABCBC1平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)四、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下:a,a,||||||,,aa,,(1)模:;(2)方向:當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相,aa,aa,,0,,0,a,0反，當(dāng)時(shí)，，,,0注意,.,a,0五、平面向量的數(shù)量積，,,,AOB,,,(0)bOAa,OBb,1.兩個(gè)向量的夾角:對于非零向量，，作，，則把稱ab為向量，的夾角.a,bbb當(dāng)時(shí)，，同向;當(dāng)時(shí)，，反向;當(dāng),時(shí)，，垂直.aaa,,0,,,,2b2.平面向量的數(shù)量積:如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量a,||||cosab,bab,叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作:，即.aabab,,,||||cos,規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注,數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不再是一個(gè)向量.舉例4,1,中,,,,則_________.結(jié)果,.||3AB,||4AC,||5BC,ABBC,,?ABC,9,11,,,,a,1,b,,0,,2,已知,,,,與的夾角為,則____.結(jié)果,1.dcakb,，dab,,ck,,,,,224,,,,,3,已知,,,則____.結(jié)果,.||5b,||ab，,ab,,,323||2a,,4,已知是兩個(gè)非零向量,且,則與的夾角為____.結(jié)果,.ab,||||||abab,,,ab，30ab3.向量在向量上的投影:，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0.a||cosb,12舉例5已知,,且,則向量在向量上的投影為______.結(jié)果,.||5b,bab,,12||3a,a5||aab,ab,b4.的幾何意義:數(shù)量積等于的模與在上的投影的積.aab5.向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則:a,abab,,,,0(1);222b(2)當(dāng)、同向時(shí)，，特別地，;aaaaaa,,,,,||||aabab,,,||||b是、同向的充要分條件;aabab,,,||||bb當(dāng)、反向時(shí)，，是、反向的充要分條件;aaabab,,,,||||abab,,,,||||ab,,0bab,,0當(dāng)為銳角時(shí)，，且、不同向，是為銳角的必要不充分條件;a,,ab,,0bab,,0當(dāng)為鈍角時(shí)，，且、不反向;是為鈍角的必要不充分條件.a,,ab,b(3)非零向量，夾角的計(jì)算公式:cos,;?.a,,abab,,||||||||ab六、向量的運(yùn)算1.幾何運(yùn)算(1)向量加法運(yùn)算法則:?平行四邊形法則;?三角形法則.ABa,BCb,ACabABBCAC，,，,運(yùn)算形式:若，，則向量叫做與b的和，即;a作圖:略.注,平行四邊形法則只適用于不共線的向量.(2)向量的減法運(yùn)算法則:三角形法則.2平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)ABa,ACb,abABACCA,,,,運(yùn)算形式:若，，則，即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).作圖:略.注,減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.舉例7,1,化簡,?,?,?.結(jié)果,?,()()ABCDACBD,,,,ADABBCCD，，,ABADDC,,,?,?,CB0,2,若正方形的邊長為1,,,,則.結(jié)果,,||abc，，,ABa,BCb,ACc,22ABCDOBOCOBOCOA,,，,2,3,若是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則的形狀為.結(jié)果,直角三角形,?ABC?ABCO||APDP,4,若為的邊的中點(diǎn),所在平面內(nèi)有一點(diǎn),滿足,設(shè),則的值為.PABPCP，，,0,,?ABC?ABCBC,||PD結(jié)果,2,,5,若點(diǎn)是的外心,且,則的內(nèi)角為.結(jié)果,.OAOBCO，，,0120?ABC?ABCOCaxy,(,)2.坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)，，則bxy,(,)1122(1)向量的加減法運(yùn)算:，.abxxyy，,，，(,)abxxyy,,,,(,)12121212P舉例8,1,已知點(diǎn),,,若,則當(dāng)____時(shí),點(diǎn)在第一、三象限的角平分APABAC,，,,,()RA(2,3)B(5,4)C(7,10),,1線上.結(jié)果,,21,,,,xy,(,),,,,2,已知,,且,,則.結(jié)果,或,ABxy,(sin,cos)A(2,3)B(1,4)xy，,62222,3,已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力,,,則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是.結(jié)果,.F,(3,4)F,,(2,5)F,(3,1)FFFF,，，A(1,1)(9,1)123123,,,,axyxy,,(,)(,)(2)實(shí)數(shù)與向量的積:.1111Axy(,)Bxy(,)(3)若，，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向ABxxyy,,,(,)11222121量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).111舉例9設(shè),,且ACAB,,,則的坐標(biāo)分別是__________.結(jié)果,(1,),(7,9),.A(2,3)B(1,5),ADAB,3CD,33(4)平面向量數(shù)量積:.abxxyy,,，1212舉例10已知向量,,.bxx,(sin,sin)axx,(sin,cos)c,,(1,0),,x,1,若,求向量、的夾角,ac33,,11,,x[,],2,若,函數(shù)的最大值為,求的值.結(jié)果,,1,,,2,或.fxab(),,,150,,21,2284222222(5)向量的模:.aaxyaxy,,，,,，||||舉例11已知均為單位向量,它們的夾角為,那么,.結(jié)果,.ab,|3|ab，,601322Axy(,)Bxy(,)||()()ABxxyy,,，,(6)兩點(diǎn)間的距離:若，，則.11222121七、向量的運(yùn)算律,,,,()()aa,abba，,，abba,,,1.交換律:，，;2.結(jié)合律:，，;abcabc，，,，，()abcabc,,,,，()()()(),,,ababab,,,,(),,,,，,，aaa3.分配律:，，.,,,()abab，,，()abcacbc，,,,，,222舉例13給出下列命題,?,?,?,abcabac,,,,,,()abcabc,,,,,()()()||2||||||abaabb,,,，abb,22222222,?若,則或,?若則,?||aa,,?,?()abab,,,,?()2abaabb,,,,，.ab,,0a,0b,0abcb,,,ac,2aa其中正確的是.結(jié)果,???.說明,,1,向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別,對于一個(gè)向量等式,可以移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù),兩邊同時(shí)取模,兩邊同乘以一個(gè)向量,但不能兩邊同除以一個(gè)向量,即兩邊不能約去一個(gè)向量,切記兩向量不能相除(相約),abcabc,,,,,()(),2,向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即,為什么,八、向量平行(共線)的條件3平面向量基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)22..ababababxyyx//()(||||)0,,,,,,,,1212九、向量垂直的充要條件.ababababxxyy,,,,,，,,,，,0||||012123m,(1)已知,,若,則.結(jié)果,,m,OA,,(1,2)OBm,(3,)OAOB,2B,2,以原點(diǎn)和為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形,,則點(diǎn)的坐標(biāo)是.結(jié)果,(1,3)或,3,,1,,,A(4,2)OOAB，,:B903,已知向量,且,則的坐標(biāo)是.結(jié)果,或.,nab,(,)||||nm,(,)ba,(,),banm,m,十、線段的定比分點(diǎn)PPPP1.定義:設(shè)點(diǎn)是直線上異于、的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，P,PPPP,,121212則實(shí)數(shù)叫做點(diǎn)分有向線段所成的比，點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分PP,,,PPPP1212點(diǎn).2.的符號與分點(diǎn)的位置之間的關(guān)系P,PP(1)內(nèi)分線段，即點(diǎn)在線段上;PPPP,,,01212PPPP(2)外分線段時(shí)，?點(diǎn)在線段的延長線上，?點(diǎn)在線段的反PPP,,,,1PP121212向延長線上.,,,,10,1PP注:若點(diǎn)分有向線段所成的比為，則點(diǎn)分有向線段所成的比為.PPPP,1221,37PA,舉例16若點(diǎn)分所成的比為,則分所成的比為.結(jié)果,.ABBP433.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:Pxy(,)Pxy(,)Pxy(,)設(shè)，，點(diǎn)分有向線段所成的比為，則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為,PP11122212xx，,xx，,,1212x,,x,,,,,,1，2,PP(1),,.特別地，當(dāng)時(shí)，就得到線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式,,1,,,12yy，yy，,1212,,y.,y,.,,1，,,2,說明,,1,在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí),應(yīng)明確,、的意義,即分別為分點(diǎn),起點(diǎn),終點(diǎn)的坐標(biāo).(,)xy(,)xy(,)xy1122,2,在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件,靈活地確定起點(diǎn),分點(diǎn)和終點(diǎn),并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比.,17P舉例17,1,若,,且,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.結(jié)果,(6,),,,MPMN,,M(3,2),