山西省忻州市靜樂一中2024年高考沖刺數(shù)學模擬試題含解析

山西省忻州市靜樂一中2024年高考沖刺數(shù)學模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點在所在的平面內(nèi)，，，，，且，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．射線測厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，，結(jié)果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．4．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．5．設，，，則，，三數(shù)的大小關(guān)系是A． B．C． D．6．在中，，則（）A． B． C． D．7．定義運算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．8．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．設命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．10．雙曲線：（），左焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．11．拋物線的焦點為，則經(jīng)過點與點且與拋物線的準線相切的圓的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數(shù)個12．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角的平分線交于，，，則面積的最大值為__________．14．3張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎．甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,兩人都未抽得特等獎的概率是__________．15．已知，，且，則的最小值是______.16．由于受到網(wǎng)絡電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失統(tǒng)計如圖所示，估算月經(jīng)濟損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求實數(shù)的值；（2）用表示中的最小值，設函數(shù)，若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四個季度）統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計銷量的中位數(shù)；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預計年的銷售量.19．（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足∥，寬度為．圓為江中的一個半徑為的小島，小鎮(zhèn)位于岸線上，且滿足岸線，．現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側(cè)），為保護小島，段設計成與圓相切．設．（1）試將通道的長表示成的函數(shù)，并指出定義域；（2）若建造通道的費用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？20．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．21．（12分）在直角坐標系中，已知直線的直角坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線和直線的極坐標方程；（2）已知直線與曲線、相交于異于極點的點，若的極徑分別為，求的值.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

確定點為外心，代入化簡得到，，再根據(jù)計算得到答案.【詳解】由可知，點為外心，則，，又，所以①因為，②聯(lián)立方程①②可得，，，因為，所以，即．故選：【點睛】本題考查了向量模長的計算，意在考查學生的計算能力.2、D【解析】

討論，，三種情況，求導得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時，，故，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；當時，；當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；如圖所示畫出函數(shù)圖像，則，故.故選：.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.3、C【解析】

根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.4、D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故選D.5、C【解析】

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式，將a，b，c與，比較即可.【詳解】由，，，所以有.選C.【點睛】本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎題，解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.6、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心，從而，故可得，利用可得，故可計算的值．【詳解】因為所以為的重心，所以,所以,所以，因為，所以，故選A．【點睛】對于，一般地，如果為的重心，那么，反之，如果為平面上一點，且滿足，那么為的重心．7、A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項中的圖象符合要求，故選A.8、C【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力，屬于中等題.9、C【解析】根據(jù)命題的否定，可以寫出：，所以選C.10、B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進而求出漸近線的方程.【詳解】設左焦點為，一條漸近線的方程為，由左焦點到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點到直線的距離公式，屬于中檔題.11、B【解析】

圓心在的中垂線上，經(jīng)過點，且與相切的圓的圓心到準線的距離與到焦點的距離相等，圓心在拋物線上，直線與拋物線交于2個點，得到2個圓．【詳解】因為點在拋物線上，又焦點，，由拋物線的定義知，過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點，這樣的交點共有2個，故過點、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種．故選：．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上．12、D【解析】

連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設正方體的棱長為2，取的中點為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設正方體的棱長為2，則，，在等腰中，取的中點為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形：因為，，由角平分線定理得,設，則由余弦定理得：即當且僅當，即時取等號所以面積的最大值為15故答案為：15【點睛】此題考查解三角形面積的最值問題，通過三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.14、【解析】

利用排列組合公式進行計算,再利用古典概型公式求出不是特等獎的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎,甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,則兩人同時抽取兩張共有：種排法排除特等獎外兩人選兩張共有：種排法.故兩人都未抽得特等獎的概率是：故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應用,是基礎題.15、1【解析】

先將前兩項利用基本不等式去掉，，再處理只含的算式即可．【詳解】解：，因為，所以，所以，當且僅當，，時等號成立，故答案為：1．【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，但是由于有3個變量，導致該題不易找到思路，屬于中檔題．16、360【解析】

先計算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過0.5，所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）先求導，然后利用導數(shù)等于求出切點的橫坐標，代入兩個曲線的方程，解方程組，可求得；（2）設與交點的橫坐標為，利用導數(shù)求得，從而，然后利用求得的取值范圍為.試題解析：（1）對求導得．設直線與曲線切于點，則，解得，所以的值為1．（2）記函數(shù)，下面考察函數(shù)的符號，對函數(shù)求導得．當時，恒成立．當時，，從而．∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．，∴，又曲線在上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知唯一的，使．∴；，，∴，從而，∴，由函數(shù)為增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知在，上恒成立．①當時，在上恒成立，即在上恒成立，記，則，當變化時，變化情況列表如下：

3

0

極小值

∴，故“在上恒成立”只需，即．②當時，，當時，在上恒成立，綜合①②知，當時，函數(shù)為增函數(shù)．故實數(shù)的取值范圍是考點：函數(shù)導數(shù)與不等式.【方法點晴】函數(shù)導數(shù)問題中，和切線有關(guān)的題目非常多，我們只要把握住關(guān)鍵點：一個是切點，一個是斜率，切點即在原來函數(shù)圖象上，也在切線上；斜率就是導數(shù)的值.根據(jù)這兩點，列方程組，就能解決.本題第二問我們采用分層推進的策略，先求得的表達式，然后再求得的表達式，我們就可以利用導數(shù)這個工具來求的取值范圍了.18、（1），中位數(shù)為；（2）新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺，以此預計年的銷售量約為萬臺.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值；（2）利用每個矩形底邊的中點值乘以相應矩形的面積，相加可得出銷量的平均數(shù)，由此可預計年的銷售量.【詳解】（1）由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為，則，解得，由于，因此，銷量的中位數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖可知，新能源汽車平均每個季度的銷售量為（萬臺），由此預測年的銷售量為萬臺.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎題.19、（1），定義域是．（2）百萬【解析】

（1）以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系，設，利用直線與圓相切得到，再代入這一關(guān)系中，即可得答案；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；【詳解】以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系．設，則，，．因為，所以直線的方程為，即，因為圓與相切，所以，即，從而得，在直線的方程中，令，得，所以，所以當時，，設銳角滿足，則，所以關(guān)于的函數(shù)是，定義域是．（2）要使建造此通道費用最少，只要通道的長度即最?。睿?，設銳角，滿足，得．列表：0減極小值增所以時，，所以建造此通道的最少費用至少為百萬元．【點睛】本題考查三角函數(shù)模型的實際應用、利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.20、（1）證明見詳解；（2）.【解析】

（1）取中點為，通過證明//，進而證明線面平行；（2）取中點為，以為坐標原點建立直角坐標系，求得兩個平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【詳解】（1）證明：取的中點，連結(jié)，，如下圖所示：在中，因為為的中點，，且，又為的中點，，，且，，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面，即證