專題01 數(shù)與式（5大易錯點分析+19個易錯點+易錯題通關(guān)）（江蘇專用）（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages2727頁專題01數(shù)與式有理數(shù)專題易錯點：1.混淆有理數(shù)和無理數(shù)：學(xué)生可能難以區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)。例如，無法正確識別無限不循環(huán)小數(shù)（如π和√2）為無理數(shù)。2.運(yùn)算錯誤：在進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算時，學(xué)生可能會犯錯誤，如忽視運(yùn)算順序、運(yùn)算符號錯誤或處理復(fù)雜表達(dá)式時出錯。3.對絕對值理解不足：學(xué)生可能對絕對值的定義和性質(zhì)理解不足，例如將負(fù)數(shù)的絕對值理解為負(fù)數(shù)，或在處理涉及絕對值的復(fù)雜問題時出錯。4.對分?jǐn)?shù)運(yùn)算不熟悉：學(xué)生可能對分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算不太熟悉，導(dǎo)致在處理涉及分?jǐn)?shù)的問題時出錯。5.對數(shù)軸理解有誤：數(shù)軸是有理數(shù)的重要表示工具，但學(xué)生可能無法正確理解和使用數(shù)軸，如無法正確標(biāo)記有理數(shù)、無法理解數(shù)軸上的相對位置關(guān)系等。6.對有理數(shù)的混合運(yùn)算順序不熟悉：在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時，學(xué)生可能不清楚運(yùn)算的優(yōu)先級，導(dǎo)致運(yùn)算順序錯誤。7.忽視未知數(shù)的取值范圍：在進(jìn)行有理數(shù)的函數(shù)運(yùn)算時，學(xué)生可能忽視位置上的取值范圍的重要性，導(dǎo)致答案不準(zhǔn)確。8.對概念理解不足：學(xué)生可能對有理數(shù)的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整數(shù)、什么是負(fù)數(shù)等。易錯點1：絕對值化簡例：若有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸、絕對值，根據(jù)數(shù)軸判斷出式子正負(fù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸可知，，，進(jìn)而得出，，然后化簡絕對值即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，則，，，故選：B變式1：如果，都是有理數(shù)，那么．【答案】0或2或【分析】本題考查了絕對值的定義，及分類討論的思想，有一定的難度．根據(jù)絕對值的定義分情況討論即可求解．【詳解】解：當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，綜上，或，故答案為：0或2或．變式2：閱讀下列材料：，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，運(yùn)用以上結(jié)論解決下面問題：(1)已知m，n是有理數(shù)，當(dāng)時，則______；(2)已知m，n，t是有理數(shù)，當(dāng)時，求的值；(3)已知m，n，t是有理數(shù)，，且，求的值．【答案】(1)0；(2)1或；(3)或3．【分析】本題考查的是有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，化簡絕對值，熟練的化簡絕對值是解本題的關(guān)鍵；（1）先判斷同號，再分兩種情況化簡絕對值，再計算即可；（2）先判斷m，n，t全負(fù)或m，n，t兩正一負(fù)，再分情況化簡絕對值，再計算即可；（3）先判斷m，n，t兩正一負(fù)，再結(jié)合（2）的結(jié)論即可得到答案．【詳解】（1）解：∵m，n是有理數(shù)，當(dāng)時，∴同號，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，；（2）∵∴m，n，t全負(fù)或m，n，t兩正一負(fù)①當(dāng)m，n，t全負(fù)時，②當(dāng)m，n，t兩正一負(fù)時Ⅰ）當(dāng)，，時，Ⅱ）當(dāng)，，時，Ⅲ）當(dāng)，，時，綜上所述，的值為1或；（3）∵∴，，．∴又∵，∴m，n，t兩正一負(fù)由（2）可知的值為或3．易錯點2：絕對值最值例：式子的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)絕對值化簡計算，當(dāng)時，取得最小值，熟練掌握絕對值的性質(zhì)和化簡是解題的關(guān)鍵．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故有最小值8，故選D．變式1：當(dāng)時，的值最小，最小值為．【答案】【分析】本題考查絕對值的意義，化簡絕對值，表示到各個點的距離之和，最中間的點為，進(jìn)而得到當(dāng)，的值最小，進(jìn)行求解即可．掌握絕對值的意義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：表示到的距離之和，最中間的點為，∴當(dāng)時，的值最小為：；故答案為：．變式2：學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時，我們從“數(shù)”和“形”兩方面研究一次函數(shù)的性質(zhì)，并積累了一些經(jīng)驗和方法．小聰同學(xué)嘗試運(yùn)用積累的經(jīng)驗和方法對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究，下面是小聰同學(xué)的探究過程，請你補(bǔ)充完整．(1)列表：x…-2-101234…y…0-1-2a-2b0…則________，________．(2)描點并畫出該函數(shù)的圖象；(3)判斷：函數(shù)的圖象________（填“是”或“不是”）軸對稱圖形；觀察函數(shù)圖象，當(dāng)時，x的取值范圍是________．觀察函數(shù)圖象，試判斷函數(shù)是否存在最小值？若存在，直接寫出最小值．【答案】(1)；(2)圖見解析(3)是；；存在最小值，最小值是【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，絕對值的意義，軸對稱圖形的識別，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）把x的值代入計算，即可求出a、b的值；（2）根據(jù)（1）中的表格，描點連線即可畫出圖象；（3）利用軸對稱圖形的定義對函數(shù)圖象進(jìn)行分析即可判斷；分情況討論：時和時，分別求解不等式，即可得到答案；利用絕對值的性質(zhì)，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即可判斷最小值．【詳解】（1）解：，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，故答案為：；；（2）解：函數(shù)圖象如下：（3）解：由（2）圖象可知，函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，故答案為：是；，當(dāng)時，，即，解得：；當(dāng)時，，即，解得：，綜上所述：x的取值范圍是；故答案為：；存在，最小值為，證明如下：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，函數(shù)的最小值為；即存在最小值，最小值為．易錯點3：絕對值方程例：若，則的值為（）A．12 B． C．5 D．【答案】B【分析】本題考查了絕對值方程，求代數(shù)式的值，先求出m的值，再代入計算即可．【詳解】解：當(dāng)時，，解得（不合題意，舍去）．當(dāng)時，，解得，∴．故選B．變式1：已知：，，且，則【答案】1或【分析】本題考查的是絕對值的含義，有理數(shù)的加法運(yùn)算，求解代數(shù)式的值，本題先求解，，再根據(jù)分兩種情況分別代入計算即可，準(zhǔn)確得出，或，是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，或，，當(dāng)，時，∴；當(dāng)，時，∴．故答案為：1或變式2：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來解決問題．探究：方程，可以用兩種方法求解，將探究過程補(bǔ)充完整．方法一、當(dāng)時，；當(dāng)時，___________．方法二、的意義是數(shù)軸上表示x的點與表示___________的點之間的距離是2．上述兩種方法，都可以求得方程的解是___________．應(yīng)用：根據(jù)探究中的方法，求得方程的解是__________．拓展：方程的解是___________．【答案】探究：、1、或；應(yīng)用：或；拓展：【分析】本題考查了絕對值的意義，解絕對值方程，數(shù)軸上兩點之間的距離．熟練掌握絕對值的意義，解絕對值方程，數(shù)軸上兩點之間的距離是解題的關(guān)鍵．探究：根據(jù)題意化簡絕對值，利用絕對值的意義進(jìn)行作答即可；應(yīng)用：由的意義是數(shù)軸上表示x的點與表示和兩點之間的距離和為9，表示和兩點之間的距離為4，可知表示x的點在左側(cè)，或在1右側(cè)；分當(dāng)時，當(dāng)時，解絕對值方程即可；拓展：由題意知，，整理得，分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況解絕對值方程即可．【詳解】探究：解：由題意知，當(dāng)時，，解得，；當(dāng)時，，解得，；的意義是數(shù)軸上表示x的點與表示1的點之間的距離是2，上述兩種方法，都可以求得方程的解是或；故答案為：、1、或．應(yīng)用：解：的意義是數(shù)軸上表示x的點與表示和兩點之間的距離和為9，∵表示和兩點之間的距離為4，∴表示x的點在左側(cè)，或在1右側(cè)；當(dāng)時，，解得，；當(dāng)時，，解得，；綜上所述，或；拓展：解：，∴，當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得，；故答案為：．易錯點4：數(shù)軸動點例：如圖1，圓的周長為4個單位．在該圓的4等分點處分別標(biāo)上字母m、n、p、q．如圖2，先將圓周上表示p的點與數(shù)軸原點重合，然后將該圓沿著數(shù)軸的負(fù)方向滾動，則數(shù)軸上表示的點與圓周上重合的點對應(yīng)的字母是（

）A．m B．n C．p D．q【答案】C【分析】本題考查數(shù)軸上點的規(guī)律探究．根據(jù)題意，每經(jīng)過4次，點回到數(shù)軸上，利用，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意，可知：每經(jīng)過4次，點回到數(shù)軸上，∵，∴表示的點與圓周上重合的點對應(yīng)的字母是，故選：C．變式1：如圖，邊長為3的正方形的邊在數(shù)軸上，數(shù)軸上的點表示的數(shù)為．將正方形在數(shù)軸上水平移動，移動后的正方形記為，點、、、的對應(yīng)點分別為、、、，點是線段的中點，當(dāng)面積為15時，點表示的數(shù)為．【答案】或22/22或【分析】本題考查數(shù)軸上的動點問題，一元一次方程的實際應(yīng)用，設(shè)點表示的數(shù)為，則：點表示的數(shù)為，根據(jù)兩點間的距離公式，結(jié)合面積為15，列出方程求解即可．掌握兩點間的距離公式，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵邊長為3的正方形的邊在數(shù)軸上，數(shù)軸上的點表示的數(shù)為，∴點表示的數(shù)為，設(shè)平移后點表示的數(shù)為，則：點表示的數(shù)為，由題意，得：的面積，解得：或，即：點表示的數(shù)為或22；故答案為：或22．變式2：【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點之間的距離，線段AB的中點表示的數(shù)為．【問題情境】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為7，點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向左勻速運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．【綜合運(yùn)用】(1)填空：①A、B兩點間的距離______，線段的中點表示的數(shù)為______；②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點P表示的數(shù)為______；點Q表示的數(shù)為______．(2)求當(dāng)t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)；(3)求當(dāng)t為何值時，；(4)若點M為的中點，點N為的中點，點P在運(yùn)動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長．【答案】(1)①10，2；②(2)相遇點表示的數(shù)為1(3)當(dāng)或2.5，(4)5【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸、兩點間的距離、絕對值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用方程和數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）①根據(jù)點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為7，即可得到、兩點間的距離以及線段的中點表示的數(shù)；②依據(jù)點，的運(yùn)動速度以及方向，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)當(dāng)、兩點相遇時，、表示的數(shù)相等，可以得到關(guān)于的方程，然后求出的值，本題得以解決；（3）根據(jù)，可以求得相應(yīng)的的值；（4）根據(jù)題意可以表示出點和點，從而可以解答本題．【詳解】（1）①A、B兩點間的距離，線段的中點表示的數(shù)為；②用含t的代數(shù)式表示：秒后，點表示的數(shù)為：，點表示的數(shù)為：，故答案為：①10，2；②；（2）當(dāng)、兩點相遇時，、表示的數(shù)相等，，解得：，當(dāng)時，、相遇，此時，，相遇點表示的數(shù)為1；（3）秒后，點表示的數(shù)，點表示的數(shù)為，，又，，解得：或2.5，當(dāng)或2.5時，；（4）點在運(yùn)動過程中，線段的長度不發(fā)生變化，理由如下：點表示的數(shù)為：，點表示的數(shù)為：，，點在運(yùn)動過程中，線段的長度不發(fā)生變化，長為5．易錯點5：數(shù)軸新定義例：已知數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為，4，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為．(1)若點P為線段的中點，則點P對應(yīng)的數(shù)__________；(2)點P在移動的過程中，其到點A、點B的距離之和為10，求此時點P對應(yīng)的數(shù)的值；(3)對于數(shù)軸上的三點，給出如下定義：若當(dāng)其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍關(guān)系時，則稱該點是其他兩個點的“友好點”．如圖，原點O是點A，B的友好點．現(xiàn)在，點A、點B分別以每秒3個單位長度和每秒1個單位長度的速度同時向右運(yùn)動，同時點P以每秒2個單位長度的速度從表示數(shù)5的點向左運(yùn)動．設(shè)出發(fā)t秒后，點P恰好是點A，B的“友好點”，求此時的t值．【答案】(1)1(2)或6；(3)或或．【分析】（1）根據(jù)點P到點A、點B的距離相等，結(jié)合數(shù)軸可得答案；（2）此題要分兩種情況：①當(dāng)P在左側(cè)時，②當(dāng)P在右側(cè)時，再列出方程求解即可；（3）由點P恰好是點A，B的“友好點”，列出方程可求解．本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，以及數(shù)軸，關(guān)鍵是理解題意，表示出兩點之間的距離，利用數(shù)形結(jié)合法列出方程．【詳解】（1）解：P為的中點，．依題意得，解得：．故答案為：1；（2）由，若存在點P到點A、點B的距離之和為8，P不可能在線段上，只能在A點左側(cè)，或B點右側(cè)．①P在點A左側(cè)，，依題意得，解得：；②P在點B右側(cè)，，依題意得，解得：．故P點對應(yīng)的數(shù)是或6；（3）由題意可得：t秒后，點A對應(yīng)的數(shù)為，點B對應(yīng)的數(shù)為，點P對應(yīng)的數(shù)為，∵點P恰好是點A，B的“友好點”，∴或，解得：（舍去）或或或，∴t的值或或．變式1：【定義新知】在數(shù)軸上點M和點N表示的數(shù)為m、n，則可以用絕對值表示點M和點N之間的距離，即．【初步應(yīng)用】（1）在數(shù)軸上，點A、B、C分別表示的數(shù)為、1、x，解答下列問題：①_____；②若，則的值為_____；③若，且x為負(fù)整數(shù)，則x的值為_____．【綜合應(yīng)用】（2）在數(shù)軸上，點D、E、F分別表示數(shù)、5、12，動點P沿數(shù)軸以每秒3個單位長度從點D開始向點F運(yùn)動，到達(dá)F點后立刻原速返回到D點；同時，動點Q沿數(shù)軸以每秒1個單位長度從點E開始向點F運(yùn)動，到達(dá)F點后停止．設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒，在整個運(yùn)動過程中，若，求t的值．【答案】（1）①3；②0或；③或；（2）或或或【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸以及絕對值，由數(shù)軸上兩點的距離公式列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．（1）①由兩點距離公式可求解；②由兩點距離公式可求解；③由兩點距離公式可求解；（2）先求出，再分“當(dāng)時”，“當(dāng)時”，“當(dāng)時”三種情況，列出方程即可求解．【詳解】解：（1）①由題意得：；②由題意得：，即，或；③由題意得：，即，∵x為負(fù)整數(shù)，，當(dāng)時，有，當(dāng)時，，，此方程無解；當(dāng)時，，，解得，，故答案為：3，0或，或；（2）點D、E、F分別表示數(shù)、5、12，，，∴P從點D運(yùn)動到E的時間為（秒），∴當(dāng)時，P表示的數(shù)為，Q表示的數(shù)為，則，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，這時P表示的數(shù)為，Q表示的數(shù)學(xué)，，，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，這時Q表示的數(shù)為12，P表示的數(shù)為，，不存在．綜上，t的值為或或或．變式2：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，點給出如下定義：如果點與原點的距離為，點與點的距離是的倍（為整數(shù)），那么稱點為點的“倍關(guān)聯(lián)點”．

(1)當(dāng)時，①如果點的3倍關(guān)聯(lián)點在軸上，那么點的坐標(biāo)為________．②如果點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且滿足，那么整數(shù)的最大值為________．(2)已知在中，．若，且在的邊上存在點的2倍關(guān)聯(lián)點，求的取值范圍．【答案】(1)①，；②(2)b的取值范圍是或【分析】本題考查了兩坐標(biāo)點的距離、一次函數(shù)的實際應(yīng)用，圓的基本概念，由題意正確理解關(guān)聯(lián)點的定義，分析出點的倍關(guān)聯(lián)點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓是解答本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意對關(guān)聯(lián)點的定義，點與點的距離是點與原點距離的三倍，由于題目沒有給出點的和點的位置關(guān)系，因此有兩種情況：點在點的左側(cè)，坐標(biāo)為，點在點的右側(cè)，坐標(biāo)為；②根據(jù)題意對關(guān)聯(lián)點的定義，點是，且這條線段上的一個動點，由于為整數(shù)，經(jīng)過分析，最大只能為．（2）結(jié)合題意及對關(guān)聯(lián)點的定義分析，得到點的倍關(guān)聯(lián)點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，邊在軸上，且，由此得到的取值范圍．【詳解】（1）解：①依據(jù)題意，對關(guān)聯(lián)點的定義知：點與原點的距離為，點的3倍關(guān)聯(lián)點在軸上，點與點的距離是，點的坐標(biāo)為，．②依據(jù)題意，得：點是，且這條線段上的一個動點，依據(jù)題意對關(guān)聯(lián)點的定義，當(dāng)坐標(biāo)為時，整數(shù)最大，最大值為．故答案為：①，；②（2）

如圖，，，．點為點的倍關(guān)聯(lián)點，，，點的倍關(guān)聯(lián)點的軌跡是半徑為的；當(dāng)直角三角形沿軸運(yùn)動與的交點為點的取值范圍是或．故答案為：或?qū)崝?shù)專題易錯點：1.混淆有理數(shù)和無理數(shù)的概念：有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，而無理數(shù)則無法表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。2.混淆實數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）實數(shù)具有加法、減法、乘法和除法的運(yùn)算性質(zhì)，例如結(jié)合律、交換律等。（2）容易忽視實數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)致在運(yùn)算中出現(xiàn)錯誤。3.對絕對值的理解不足：（1）絕對值表示一個數(shù)距離0的距離，正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。（2）容易忽略絕對值的定義，導(dǎo)致在處理絕對值時出現(xiàn)錯誤。4.對平方根的理解不足：（1）平方根是一個數(shù)的非負(fù)值，即正平方根和零的平方根。（2）容易忽略平方根的定義，導(dǎo)致在處理平方根時出現(xiàn)錯誤。5.對無理數(shù)近似表示的誤解：（1）無理數(shù)可以用有理數(shù)進(jìn)行近似表示，例如π可以使用分?jǐn)?shù)進(jìn)行近似表示。（2）容易將無理數(shù)的近似表示誤認(rèn)為是無理數(shù)的準(zhǔn)確值，導(dǎo)致在計算中出現(xiàn)錯誤。6.對實數(shù)的大小關(guān)系理解不足：（1）實數(shù)的大小關(guān)系可以通過數(shù)軸來表示，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。（2）容易忽略實數(shù)的大小關(guān)系，導(dǎo)致在比較實數(shù)大小時出現(xiàn)錯誤。易錯點1：算術(shù)平方根與立方根的規(guī)律例：已知：，，則（

）A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58【答案】C【分析】本題考查積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，理解“被開方數(shù)向一個方向移動位，對應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點向相同的方向移動位”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選C．變式1：小明用計算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表.下面有四個推斷：①②一定有個整數(shù)的算術(shù)平方根在之間③對于小于的兩個正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于④比大所有合理推斷的序號是.【答案】D【分析】此題考查了乘方運(yùn)算，算術(shù)平方根，平方差公式；根據(jù)表格中的信息可知和其對應(yīng)的算術(shù)平方根的值，然后依次判斷各題即可．【詳解】解：根據(jù)表格中的信息知：，故①正確；根據(jù)表格中的信息知：，∴正整數(shù)或或，∴一定有個整數(shù)的算術(shù)平方根在之間，故②正確；∵由題意設(shè)且，由，，∴對于小于的兩個正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于，故③正確；∵，，，故④正確；∴合理推斷的序號是①②③④．故答案為：①②③④．變式2：愛學(xué)習(xí)愛思考的小明，在家利用計算器計算得到下列數(shù)據(jù)：…………(1)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是被開方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大；(2)已知（精確到），并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：，；(3)已知則，．(4)類似小明的探究，把表中所有平方根換成立方根，你能根據(jù)，直接說出和的近似值嗎？【答案】(1)倍(2)；(3)；(4)能直接說出，不能直接說出的值【分析】（1）根據(jù)根號內(nèi)的小數(shù)點移動規(guī)律即可求解，算術(shù)平方根的規(guī)律為，根號內(nèi)的小數(shù)點移動2位，對應(yīng)的結(jié)果小數(shù)移動1位其結(jié)果的小數(shù)點移動一位，小數(shù)點的移動方向保持一致；（2）根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計算即可求解；（3）根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計算即可求解；（4）根據(jù)根號內(nèi)的小數(shù)點移動規(guī)律即可求解，立方根的規(guī)律為，根號內(nèi)的小數(shù)點移動3位，其結(jié)果的小數(shù)點移動一位，小數(shù)點的移動方向保持一致．【詳解】（1）解：被開方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大倍,故答案為：倍．（2）（精確到），并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：；，故答案為：；．（3）∵∴；（4）解：∵，∴，不能直接說出的值【點睛】本題考查了算術(shù)平方根與立方根的應(yīng)用，掌握小數(shù)點的移動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．易錯點2：整數(shù)部分與小數(shù)部分例：已知，且n是整數(shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算求解即可．【詳解】解：∵，∴，及，又∵，且n為整數(shù)，∴，故選：B．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)估算方法是解答的關(guān)鍵．變式1：定義為不大于x的最大整數(shù)，如，，，則滿足，則的最大整數(shù)為．【答案】35【分析】根據(jù)題意可知，然后利用平方運(yùn)算進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴的最大整數(shù)為35．故答案為：35．【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，根據(jù)題目得出是解此題的關(guān)鍵．變式2：閱讀下面的對話，解答問題．小紅：是無理數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，因此它的小數(shù)部分我們不可能表示出來，對嗎？小高：你說的不對，我們知道，它住2和3之間，它的整數(shù)部分是2，用它本身減去整數(shù)部分2就可以表示它的小數(shù)部分．(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______；(2)若的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；(3)若的算術(shù)平方根是，的立方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．【答案】(1)4，(2)(3)【分析】（1）先用夾逼法估算，再求出其整數(shù)部分和小數(shù)部分即可；（2）先用夾逼法估算，進(jìn)而估算和，得出a和b，即可求解；（3）根據(jù)算術(shù)平方根的定義得出，即可求出a的值，根據(jù)立方根的定義得出，即可求出b的值，用夾逼法估算，即可得出c的值，再將a、b、c的值代入，即可求出其平方根．【詳解】（1）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是；故答案為：4，；（2）解：∵，∴，則，∴，，∴的整數(shù)部分為7，小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為，∴，∴；（3）解：∵的算術(shù)平方根是，∴，解得：；∵的立方根是，∴，解得：；∵，∴，∴，∴，∴的平方根為．【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，算術(shù)平方根，平方根，立方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用夾逼法估算無理數(shù)的方法和步驟，以及算術(shù)平方根，平方根，立方根的定義．易錯點3：無理數(shù)的估算例：估計的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】C【分析】本題考查的是無理數(shù)的估算，二次根式的乘法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則以及估算方法是解本題的關(guān)鍵．先計算二次根式的乘法再估算即可．【詳解】解：，∵，∴，∴的值應(yīng)在6和7之間，故選C變式1：已知．若為整數(shù)，且則．【答案】12【分析】本題考查了立方根的定義及估值，準(zhǔn)確理解相關(guān)概念掌握估值的方法是解題的關(guān)鍵．由已知可得，，由立方根定義及不等式性質(zhì)可得，，結(jié)合題中條件可知，，即．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，，∵，∴，∵n為整數(shù)且，∴．故答案為：12．變式2：任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)：，（其中、為連續(xù)的整數(shù)），則稱無理數(shù)的“美好區(qū)間”為，如，所以的“美好區(qū)間”為．(1)無理數(shù)的“美好區(qū)間”是______；(2)若一個無理數(shù)的“美好區(qū)間”為，且滿足，其中是關(guān)于，的二元一次方程的一組正整數(shù)解，求的值．(3)實數(shù)，，滿足如下關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“美好區(qū)間”．【答案】(1)(2)37或161(3)【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，以及二次根式有意義的條件：（1）根據(jù)“美好區(qū)間”的定義，確定在哪兩個相鄰整數(shù)之間，即可得出“美好區(qū)間”；（2）根據(jù)“美好區(qū)間”的定義和二元一次方程正整數(shù)解這兩個條件，找到符合的情況即可求出的值；（3）先根據(jù)，，得出，進(jìn)而得出，，兩式相加得，得，，再根據(jù)“美好區(qū)間”的定義即可求解．．【詳解】（1）∵，∴，∴∴無理數(shù)的“美好區(qū)間”是，故答案為：（2）∵為“美好區(qū)間”∴，為連續(xù)的整數(shù)又∵是關(guān)于，的二元一次方程的一組正整數(shù)解∴是一個平方數(shù)又∵∴滿足題意的，的值為或當(dāng)時，∴∴，當(dāng)時，，∴，∴，綜上所述：的值為37或161．（3）∵，∴，，∴，∴，∴，，兩式相加得∴∴的算術(shù)平方根為∵的算術(shù)平方根的美好區(qū)間為．代數(shù)式專題易錯點：1.對代數(shù)式的理解不深刻：有些學(xué)生可能對代數(shù)式的概念和表示方法理解不夠深入，導(dǎo)致在解題時出現(xiàn)混淆或錯誤。2.變量與常數(shù)混淆：在代數(shù)式中，學(xué)生有時會將變量與常數(shù)混淆，影響解題的正確性。3.運(yùn)算順序錯誤：在復(fù)雜的代數(shù)式中，運(yùn)算的順序（如先乘除后加減）容易被忽略，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。4.括號處理不當(dāng)：括號在代數(shù)式中具有優(yōu)先級。學(xué)生在處理括號時，可能會忽略或錯誤地處理，導(dǎo)致答案不正確。5.對函數(shù)表達(dá)式的理解偏差：有些學(xué)生可能對函數(shù)表達(dá)式和其對應(yīng)的函數(shù)圖像理解不清晰，影響后續(xù)的分析和應(yīng)用。6.忽略實際意義：在某些問題中，代數(shù)式的取值范圍或?qū)嶋H意義可能受到限制。學(xué)生如果不注意這一點，可能會導(dǎo)致答案不合理或錯誤。7.化簡過程中出錯：在化簡代數(shù)式的過程中，學(xué)生可能會因為粗心或計算錯誤而導(dǎo)致結(jié)果不正確。8.對代數(shù)式的變換不熟悉：對于一些常用的代數(shù)式變換技巧，如提公因式、分組分解等，有些學(xué)生可能還不夠熟練，導(dǎo)致解題效率低下或出錯。9.對代數(shù)式的應(yīng)用場景不明確：代數(shù)式在不同的數(shù)學(xué)問題和實際應(yīng)用中有不同的作用和意義。學(xué)生如果對應(yīng)用場景不明確，可能會誤解題意或應(yīng)用不當(dāng)。易錯點1：整式中的整體代入例：已知代數(shù)式的值是，則代數(shù)式的值是（

）A． B．2 C．11 D．8【答案】C【分析】本題考查了代數(shù)式求值，掌握整體代入的方法是解決問題的關(guān)鍵．把題中的代數(shù)式變形，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．【詳解】，，；故選：C變式1：若m是方程的一個根，則代數(shù)式的值為．【答案】2024【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，根據(jù)一元二次方程解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值得到，即，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解；∵m是方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：．變式2：閱讀材料：我們知道，，類似地，我們把看成一個整體，則．“整體思想”是中學(xué)教學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．嘗試應(yīng)用：（1）把看成一個整體，合并________；（2）已知，求的值；拓廣探索：（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）8【分析】本題主要考查代數(shù)式求值和整式的加減運(yùn)算，掌握整體代入法是解題的關(guān)鍵．（1）利用整體的思想進(jìn)行合并即可；（2）先對進(jìn)行變形，然后整體代入即可；（3）首先根據(jù)題意將原式進(jìn)行變形，然后整體代入即可．【詳解】解：（1）故答案為：；（2）解：∵，∴；（3）∵，∴．易錯點2：代數(shù)式中的規(guī)律例：一個容器裝有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照這種倒水的方法，次倒出的水量共為（

）A．1升 B．升 C．升 D．升【答案】B【分析】本題主要考查根據(jù)題意列代數(shù)式，分式加減運(yùn)算，列出代數(shù)式，裂項求和，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：===（升），即次倒出的水量共為升．故選：B．變式1：已知，，，，，，…當(dāng)為大于1的奇數(shù)時，；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，．（1）；（用含a的代數(shù)式表示）（2）．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】【分析】本題主要考查了數(shù)字類變化規(guī)律、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律．（1）根據(jù)題目中的材料，可以計算出的值；（2）根據(jù)題目中的材料，可以計算出前幾項的值，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：（1），，，故答案為：；（2），，，，，，，…，每個一循環(huán)，，，故答案為：．變式2：【問題提出】如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的選擇方法？【問題探究】為發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的問題入手，再逐次遞進(jìn)，最后得出一般性的結(jié)論．探究一：如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，會有多少種不同的選擇方法？如圖1，當(dāng)，時，顯然有種不同的選擇方法；如圖2，當(dāng)，時，有，；，；，這種不同的選擇方法；如圖3，當(dāng)，時，有______種不同的選擇方法；……由上可知：從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法．探究二：如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個，個個連續(xù)的自然數(shù)，分別有多少種不同的選擇方法？我們借助下面的框圖繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律完成填空123……43444546474950從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；由上可知：如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有_____種不同的選擇方法．【問題解決】如果從，，，個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有_____種不同的選擇方法．【實際應(yīng)用】我們運(yùn)用上面探究得到的結(jié)論，可以解決生活中的一些實際問題．(1)今年國慶七天長假期間，小亮想?yún)⒓幽陈眯猩缃M織的青島兩日游，在出行日期上，他共有______種不同的選擇．(2)星期天，小明、小強(qiáng)和小華三個好朋友去電影院觀看《我和我的祖國》，售票員李阿姨為他們提供了第七排號到號的電影票讓他們選擇，如果他們想拿三張連號票，則一共有種不同的選擇方法．【答案】探究一：；；探究二：；；；【問題解決】【實際應(yīng)用】（1）；（2）；【分析】本題考查探究規(guī)律問題，先從最簡單的問題入手，再逐次遞進(jìn)，最后得出一般性的結(jié)論是解決此類問題的關(guān)鍵．探究一:觀察規(guī)律可知，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，由此可得結(jié)果；探究二：選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，以此類推，選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少問題解決將探究二結(jié)論中的換成即可；[實際應(yīng)用]（1）將，，代入之前的結(jié)論即可;（2）號到號總共張電影票，將，，代入結(jié)論即可；【詳解】探究一:當(dāng)，時，有共種不同的選擇方法，根據(jù)規(guī)律可知，從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法，故答案為：,，；探究二：選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，以此類推，選擇個連續(xù)的自然數(shù)，選擇方法的數(shù)量比數(shù)的個數(shù)少，故從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；故從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法，故答案為：，，；問題解決由規(guī)律可知，從個連續(xù)的自然數(shù)中選擇個連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法，故答案為：；實際應(yīng)用（）從連續(xù)天選擇連續(xù)天，則，，總共有種選擇，故答案為：；（）號到號總共張電影票，選擇連號，則，，總共有種不同選擇．易錯點3：代數(shù)式中的新定義例：定義：對于一個兩位自然數(shù)，如果它的個位數(shù)字不為零，且它正好等于其個位和十位上數(shù)字和的倍（為正整數(shù)），我們就說這個自然數(shù)是一個“喜數(shù)”．例如：就是一個“喜數(shù)”，因為；就不是一個“喜數(shù)”，因為．小暉發(fā)現(xiàn)十位數(shù)字是個位數(shù)字倍的兩位數(shù)都是“喜數(shù)”，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】此題主要考查了新定義“喜數(shù)”和解一元一次方程，設(shè)個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，根據(jù)題意列出方程即可求解，理解和應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，由定義可知：，化簡得：，∵為自然數(shù)，∴，故選：．變式1：定義：若，則稱a與b是關(guān)于數(shù)n的“平衡數(shù)”．比如3與是關(guān)于的“平衡數(shù)”，5與12是關(guān)于17的“平衡數(shù)”．現(xiàn)有與(k為常數(shù))始終是數(shù)n的“平衡數(shù)”，則它們是關(guān)于的“平衡數(shù)”．【答案】3【分析】根據(jù)題干定義，直接建立等式，然后根據(jù)始終是有理數(shù)n的“平衡數(shù)”，可得到與的取值無關(guān)，從而求出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意：，∵與（為常數(shù)）始終是數(shù)的“平衡數(shù)”，∴的值與的取值無關(guān)，∴，解得：，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查新定義問題，涉及到整式的加減計算以及取值無關(guān)型問題，理解題意，掌握整式的加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式2：定義：對于一個兩位數(shù)x，如果x滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“相異數(shù)”．將一個“相異數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，將這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的求和，再除以11所得的商記為．例如，，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到的新兩位數(shù)31，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和44除以11的商為，所以．(1)下列兩位數(shù)：40，51，77中，“相異數(shù)”為________；(2)計算：的值；(3)若一個“相異數(shù)”y的十位數(shù)字是k，個位數(shù)字是，且，求相異數(shù)y．【答案】(1)51(2)11(3)相異數(shù)y是35【分析】本題考查了新定義整數(shù)的整除問題，根據(jù)定義計算是解題的關(guān)鍵．（1）先確定各數(shù)位上的數(shù)字，不同的才是“相異數(shù)”．（2）根據(jù)的定義計算即可．（3）用冪乘的方式表示相異數(shù)，再根據(jù)的定義計算即可．【詳解】（1）∵40中有數(shù)字0，不符合定義，不是“相異數(shù)”，51中十位數(shù)字是5，個位數(shù)字是1，不同，是“相異數(shù)”，77中，十位數(shù)字和個位數(shù)字都是7，相同，不符合題意，故不是“相異數(shù)”．故答案為：51．（2）根據(jù)題意，得，，故．（3）由“相異數(shù)”y的十位數(shù)字是k，個位數(shù)字是，且得，，解得，∴，∴相異數(shù)y是35．易錯點4：整式與幾何應(yīng)用例：現(xiàn)有A、B、C三種不同的矩形紙片若干張（邊長如圖），小智要用這三種紙片無重合無縫隙拼接成一個大正方形，先取A紙片9張，再取B紙片1張，還需取C紙片的張數(shù)是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出關(guān)系式，利用完全平方公式判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，則還需取C紙片的張數(shù)是6張．故選：C．變式1：如圖所示的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為2．（1）如圖1，若用正數(shù)a、b表示直角三角形的兩條直角邊，則；（2）如圖2，若拼成的大正方形為正方形，中間的小正方形為正方形，連結(jié)，交于點P，交于點M，則．【答案】2【分析】本題考查了勾股定理、完全平方公式變形求值，正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、梯形面積的計算等知識，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理與正方形的性質(zhì)得出，根據(jù)完全平方公式變形可得（2）根據(jù)題意首先先證明，根據(jù)“趙爽弦圖”得，在證得，即可求解．【詳解】（1）大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為2，，，，即，，，故答案為：（2）四邊形EFGH為正方形，，，，“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，，在與中，，，故答案為：2變式2：現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長分別是、、．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長分別為和的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長為的正方形）．(1)觀察：從整體看，整個圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母、的代數(shù)式表示為：______，結(jié)論②圖3中的大正方形的面積又可以用含字母、、的代數(shù)式表示為：______，結(jié)論③．(2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到個等式______結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到個等式______(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個半圓的面積分別記作、、，且．，求的值．(4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個半圓（如圖5），直角邊，斜邊，求圖中陰影部分面積和．【答案】(1)(2)(3)(4)6【分析】（1）圖2的大正方形的面積等于四個直角三角形的面積加上兩個正方形的面積，圖3的大正方形的面積等于四個直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積；（2）根據(jù)兩種方法表示的大正方形的面積相等整理即可得解；（3）根據(jù)結(jié)論②求出，然后進(jìn)行計算即可得解；（4）根據(jù)結(jié)論③求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計算即可得解．【詳解】（1）解：圖2大正方形面積等于四個直角三角形的面積加上兩個正方形的面積，∴圖2面積為：；圖3大正方形的面積等于四個直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積，∴圖3面積可表示為：；故答案為：；（2）解：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個等式：；結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個等式：，即．故答案為：．（3）解：，，，，，解得；（4）解：由（3）可知：，∴陰影部分面積和為：，，∴陰影部分面積和為：12【點睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的運(yùn)算的運(yùn)用，完全平方公式的幾何背景，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準(zhǔn)確表示出同一個圖形的面積是解題的關(guān)鍵．因式分解專題易錯點：1.未能正確理解因式分解的定義：因式分解是將一個多項式表示為幾個整式的積的形式。學(xué)生需要明確理解這一概念，才能正確進(jìn)行因式分解。2.提公因式時系數(shù)提取錯誤：在進(jìn)行因式分解時，需要找出各項系數(shù)的最大公約數(shù)，并提取出來作為公因式。如果學(xué)生在此過程中出現(xiàn)錯誤，就會影響因式分解的結(jié)果。3.漏掉常數(shù)項：在進(jìn)行提公因式時，學(xué)生可能會忽略常數(shù)項。這是常見的錯誤，因為常數(shù)項在多項式中容易被忽視。4.未能正確應(yīng)用公式：在因式分解中，一些特定的多項式可以通過應(yīng)用公式進(jìn)行分解。如果學(xué)生未能正確應(yīng)用這些公式，就會導(dǎo)致因式分解的結(jié)果不正確。5.混淆了因式分解與整式的乘法：因式分解與整式的乘法是兩個不同的概念。學(xué)生需要明確區(qū)分兩者，以免在解題過程中出現(xiàn)混淆。6.未能正確判斷能否進(jìn)行因式分解：對于一些多項式，可能無法進(jìn)行因式分解。學(xué)生需要學(xué)會判斷哪些多項式可以進(jìn)行因式分解，哪些不能。易錯點1：分組分解法例：因式分解的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分組分解法分解因式即可．【詳解】解：原式；故選B．【點睛】本題考查因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握分組分解法分解因式．變式1：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解多項式．例如：．根據(jù)上述方法，解決問題：已知是的三邊，且滿足，則的形狀是．【答案】等腰三角形【分析】利用平方差公式和提公因式法將所給條件式變形為，由此推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴的形狀是等腰三角形，故答案為：等腰三角形．【點睛】本題主要考查了分解因式的應(yīng)用，等腰三角形的判定，正確利用分組分解法分解因式是解題的關(guān)鍵．變式2：先閱讀下面的材料，再完成后面的任務(wù)．材料一材料二如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組的方法來分解因式，這種因式分解的方法叫做分組分解法．例在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替，不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例進(jìn)行因式分解的過程：設(shè)，原式(1)填空：因式分解_______；(2)因式分解（寫出詳細(xì)步驟）：；(3)若三邊分別為a，b，c，其中，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)是等邊三角形；理由見解析【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用；（1）根據(jù)材料1，分組分解即可求解；（2）根據(jù)材料2，利用換元法，設(shè)，進(jìn)而因式分解即可求解；（3）根據(jù)完全平方公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：，故答案為：．（2）解：設(shè)，則原式（3）解：是等邊三角形，理由如下；∵∴，∴∴又∵，∴∴是等邊三角形易錯點2：因式分解的應(yīng)用例：對于一個幾何拼接圖形，通過不同的方法計算它的面積，可以解釋一些數(shù)學(xué)等式．如圖1，先單個計算閱覽室（正方形）、衛(wèi)生間P（正方形）和圖書室（長方形）的面積，然后整體計算面積，可以得到數(shù)學(xué)等式：．

(1)觀察圖2，填空__________；(2)因式分解：，圖3表示面積為的幾何拼接圖，請你補(bǔ)充完整（涂上陰影）；(3)學(xué)校準(zhǔn)備利用現(xiàn)有教學(xué)樓墻重建圖書館，重建資金額定（即墻厚度和總長度為定值）．圖4是圖書館地面一層的平面設(shè)計圖，由1個長方形閱覽室和2個正方形圖書室組成，各開了一個1米寬的門相通．若計算面積時不考慮墻體厚度，用總長67米的墻重建長方形圖書館的地面一層．問重建后，圖書館地面一層最大面積是多少平方米？【答案】(1)(2)，圖見解析．(3)重建后，圖書館地面一層最大面積是350平方米．【分析】（1）本題考查用整式表示圖形面積，根據(jù)圖形先計算1個閱覽室（正方形）、2個衛(wèi)生間P（正方形）和3個圖書室（長方形）的面積，然后整體計算面積，即可以得到數(shù)學(xué)等式．（2）本題考查因式分解，掌握因式分解方法即可，再根據(jù)因式分解的結(jié)果確定圖形的長和寬，即可畫出圖形．（3）本題考查代數(shù)式相關(guān)知識，設(shè)米，依題意得米，米，根據(jù)，表示出面積，再利用的非負(fù)性，即可求解．【詳解】（1）解：由圖知，，故答案為：．（2）解：，補(bǔ)圖如下圖1所示：

（3）解：設(shè)米，依題意得：米，米，，，．答：重建后，圖書館地面一層最大面積是350平方米．變式1：【實踐探究】小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時，用如圖所示編號為的四種長方體各若干塊，進(jìn)行實踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個拼成如圖所示的大長方體，請根據(jù)體積的不同表示方法，寫出一個代數(shù)恒等式：；(2)【問題解決】若要用這四種長方體拼成一個棱長為的正方體，其中號長方體和號長方體各需要多少個?試通過計算說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，在一個棱長為的正方體中挖出一個棱長為的正方體，請根據(jù)體積的不同表示方法，直接寫出因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問題：已知與分別是兩個大小不同正方體的棱長，且，當(dāng)為整數(shù)時，求的值．【答案】(1)；(2)號長方體需要個，號長方體需要個，，(3)．【分析】（）根據(jù)圖立方體的體積求法即可；（）根據(jù)題中的給定的長方體組合把計算即可；（）先把因式分解，然后據(jù)此分解即可；此題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用幾何體的體積進(jìn)行因式分解及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：，故答案為：；（2）號長方體需要個，號長方體需要個，；（3）由題意得：，由上可知：，∴，整理得：，∵且與兩個大小不同正方體的棱長，∴，∴，則，∵為整數(shù)，則為平方數(shù)，∴，∴．變式2：學(xué)習(xí)整式的乘法時可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，可以得到一個等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題．

材料：如圖，圖形面積的兩種計算方法如下，第一種方法：看成個正方形和個長方形的面積和，化簡得．第二種方法：看成一個大的正方形計算面積，得到一個等式．根據(jù)上述材料的解題方法解決下列問題：(1)如圖是由邊長分別為，的正方形和長為、寬為的長方形拼成的大長方形，根據(jù)圖形的面積，可以把因式分解：；(2)①如圖是由幾個小正方形和小長方形拼成的一個邊長為的大正方形，用不同的方法表示這個大正方形的面積，得到的等式為；（求多個圖形的面積和的式子要化簡）②已知，，利用①中所得到的等式，求代數(shù)式的值．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】本題考查的知識點是因式分解的應(yīng)用、完全平方公式，解題關(guān)鍵是利用圖形面積的不同表示方法得到數(shù)學(xué)公式，再用代入法求值．根據(jù)圖的大長方形的長為：，寬為：，計算出面積，建立成等式即可求解；①分別求出大正方形的面積、個正方形的面積和個長方形的面積，再建立等式的關(guān)系；②根據(jù)①中結(jié)果可得，代入求值即可．【詳解】（1）解：依圖得：將該大長方形看作是長為，寬為的長方形計算面積可得，另可將大長方形的面積看作個小正方形和個小長方形的面積和，即，，故答案為：．（2）解：①依題得：該大正方形的邊長為，則面積為，另可將該大正方形的面積看作是三個小正方形和6個長方形的面積和，即，，故答案為：．②，，，故的值為．分式與二次根式易錯點：1.分母不為零：分式的分母不能為零，這一點學(xué)生常常會忽略。在解決分式問題時，一定要確保分母不為零。2.二次根式的有意義：對于二次根式，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。學(xué)生常常會忽略這一點，導(dǎo)致解答錯誤。3.分式與整式的混淆：分式和整式在結(jié)構(gòu)上有很大的不同，分式的特點是分母中含有字母。學(xué)生有時會混淆這兩者，導(dǎo)致解題錯誤。4.運(yùn)算順序：在復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，運(yùn)算的順序（先乘除后加減，先括號后根式等）非常重要。學(xué)生有時會因為運(yùn)算順序的錯誤而導(dǎo)致答案錯誤。5.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算：對于負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，學(xué)生常常會忘記除以相應(yīng)的基數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪，導(dǎo)致答案錯誤。6.最簡二次根式的判斷：最簡二次根式是指被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，以及分母中不含有根號的分式。學(xué)生常常會忽略這一點，導(dǎo)致答案錯誤。7.二次根式的化簡：二次根式需要化簡到最簡形式，但學(xué)生常常在這一步出現(xiàn)錯誤，比如忘記開方或者合并同類項等。易錯點1：分母有理化例：已知，則代數(shù)式的值為（

）A．2021 B．2024 C．2027 D．2030【答案】D【分析】先對原代數(shù)式的分子進(jìn)行因式分解，然后再約分，最后再整體代入求值．【詳解】∵∴∴即原式的值為2030．故選：D．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是對分式中的分子進(jìn)行復(fù)雜的因式分解，以達(dá)到約分的目的．變式1：已知a是方程一個根，則的值為．【答案】2023【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此可得，則，則原式可變形為，進(jìn)一步變形得到，即，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵a是方程一個根，∴，∴，∴，故答案為：．變式2：探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問題：(1)計算：若n為正整數(shù)，猜想=___________(2)(3)若，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知等式得到拆項規(guī)律，寫出即可（2）根據(jù)已知等式得到拆項規(guī)律，寫出即可（3）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，分別計算即可【詳解】（1）（2）（3）∵，∴，，∴，，∴【點睛】本題主要考查了數(shù)字類題目，分式的運(yùn)算，解決問題的關(guān)鍵是掌握數(shù)字的變化規(guī)律易錯點2：分式新定義例：對于任意實數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：，例如：．若m，n是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（）A． B．-3 C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)新定義得到原方程即為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，最后代值計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵m，n是方程的兩個實數(shù)根，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的求值，正確根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．變式1：在實數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“※”：．請解決下列問題：（1）；（2）若，則．【答案】【分析】（1）根據(jù)定義的運(yùn)算代入計算；（2）根據(jù)定義運(yùn)算得到等式，運(yùn)用分式的運(yùn)算法則化簡求值．【詳解】解：（1）；（2）∴∴則．【點睛】本題考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式2：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)．如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；，這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．如：．解決下列問題：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)求所有符合條件的整數(shù)x的值，使得的值為整數(shù)