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文檔簡介
山東師大附屬中2024年高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.2.展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.11 C.-19 D.513.A. B. C. D.4.若為過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點(diǎn),則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.605.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.636.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,,若球的表面積為,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.7.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.38.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,設(shè),則()A. B. C. D.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.8410.已知函數(shù),,若對(duì)任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.11.已知函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)()A.先向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變B.先向右平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變C.先向右平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變D.先向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變12.已知正三角形的邊長為2,為邊的中點(diǎn),、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn),并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是_______14.已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是__________.15.能說明“若對(duì)于任意的都成立,則在上是減函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________.16.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,其中.(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)證明::(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點(diǎn),滿足,求二面角的余弦值.19.(12分)如圖在四邊形中,,,為中點(diǎn),.(1)求;(2)若,求面積的最大值.20.(12分)已知橢圓的離心率為,且以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知?jiǎng)又本€l過右焦點(diǎn)F,且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為,求的值.21.(12分)在中,,是邊上一點(diǎn),且,.(1)求的長;(2)若的面積為14,求的長.22.(10分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為4,且橢圓過點(diǎn),過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn).(1)求的周長;(2)求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點(diǎn),使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn),然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.2、B【解析】
展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),有3種情況:(1)5個(gè)括號(hào)都出1,即;(2)兩個(gè)括號(hào)出,兩個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出1,即;(3)一個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出,三個(gè)括號(hào)出1,即;所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.3、A【解析】
直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.4、D【解析】
先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí),此時(shí)面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時(shí),的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí),此時(shí)的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.5、B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.6、B【解析】
由題意畫出圖形,設(shè)球0得半徑為R,AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,,,由,得.如圖:設(shè)三角形的外心為,連接,,,可得,則.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.則三棱錐的體積的最大值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積,基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.7、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡,結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時(shí),,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進(jìn)而判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時(shí),,則,令則,當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,即,則在時(shí)單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.9、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10、C【解析】
對(duì)任意的總有恒成立,因?yàn)椋瑢?duì)恒成立,可得,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】對(duì)任意的總有恒成立,對(duì)恒成立,令,可得令,得當(dāng),當(dāng),,故令,得當(dāng)時(shí),當(dāng),當(dāng)時(shí),故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.11、D【解析】
由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,得,進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,得,即,解得,所以,,故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個(gè)單位長度,得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查圖像變換,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題12、A【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線,設(shè)出點(diǎn),通過,找出與的關(guān)系.通過數(shù)量積的坐標(biāo)表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí),求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn),BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線,設(shè)點(diǎn),所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可得導(dǎo)數(shù)在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當(dāng)時(shí),顯然,符合題意;當(dāng)時(shí),在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.14、【解析】∵,∴,∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn),∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解,即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn),,作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結(jié)合圖象可知,<b<2,故答案為.點(diǎn)睛:(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí),先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn),看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.15、答案不唯一,如【解析】
根據(jù)對(duì)基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).【詳解】由題意,不妨設(shè),則在都成立,但是在是單調(diào)遞增的,在是單調(diào)遞減的,說明原命題是假命題.所以本題答案為,答案不唯一,符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)在上不是單調(diào)遞減的函數(shù),再檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)極大值,無極小值;(2).(3)見解析【解析】
(1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出;(2)先求導(dǎo),再函數(shù)在區(qū)間上遞增,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值,問題得以解決;(3)取得到,取,可得,累加和根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性和放縮法即可證明.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),則令,解得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,即極大值為,無極小值;(2)因?yàn)椋?,因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增,所以在上恒成立,所以在區(qū)間上恒成立.當(dāng)時(shí),在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時(shí),,設(shè),則在區(qū)間上恒成立.所以在單調(diào)遞增,則,所以,即綜上所述.(3)由(2)可知當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上遞增,所以,即,取,則.所以所以【點(diǎn)睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題,以及不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵,屬于較難題.18、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并表示出,由空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可證明.(2)先求得平面的法向量,即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值,即為直線與平面所成角的正弦值;(3)由點(diǎn)在棱上,設(shè),再由,結(jié)合,由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量,由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得兩個(gè)平面夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵底面,,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,∵,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).∴,,,,,,.(2),設(shè)平面的法向量為.則,代入可得,令解得,即,設(shè)直線與平面所成角為,由直線與平面夾角可知所以直線與平面所成角的正弦值為.(3),由點(diǎn)在棱上,設(shè),故,由,得,解得,即,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,則取平面的法向量,則二面角的平面角滿足,由圖可知,二面角為銳二面角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用,由空間向量證明線線垂直,求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小,計(jì)算量較大,屬于中檔題.19、(1)1;(2)【解析】
(1),在和中分別運(yùn)用余弦定理可表示出,運(yùn)用算兩次的思想即可求得,進(jìn)而求出;(2)在中,根據(jù)余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性,求出的面積的最大值.【詳解】(1)由題設(shè),則在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,∴所以面積的最大值為,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,以及三角形面積公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率為,得到,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,得到原心到直線的距離等于半徑,得到,從而求得,進(jìn)而求得橢圓的方程;(2)分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論,寫出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】(1)由離心率為,可得,,且以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為,因與直線相切,則有,即,,,故而橢圓方程為.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),,,由于;②當(dāng)直線l的
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