新人教版高中數(shù)學(xué)教材例題課后習(xí)題選擇性必修一25直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

第二章直線和圓的方程

2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系

例1已知直線/：3》+夕一6=0和圓心為C的圓產(chǎn)+丫2一2丁一4=0,判斷直線/與圓C

的位置關(guān)系；如果相交，求直線/被圓C所截得的弦長

分析：思路1：將判斷直線/與圓C的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷由它們的方程組成的方程組有無

實(shí)數(shù)解、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；若相交，可以由方程組解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式

求得弦長.

思路2：依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，則可利

用勾股定理求得弦長.

解法1：聯(lián)立直線/與圓C的方程，得

3x+y—6=0,①

<x2+y2-2y-4^0.?

消去y，得X2-3X+2=0，解得%=2,x2=1.

所以，直線/與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).

把％=2,々=1分別代入方程①，得弘=0，%=3.

所以，直線/與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)是/(2,0),5(1,3).

因止匕|1=2)2+(3-0)2二回.

解法2：圓。的方程》2+爐—2；；—4=0可化為》2+(歹一1)2=5,因此圓心C的坐標(biāo)為

(0,1),半徑為J?，圓心c(o/)到直線/的距離

^.,13x0+1-615

指＜

所以，直線/與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).

如圖，由垂徑定理，得|28|=2，尸—/=屈.

例2過點(diǎn)尸(2,1)作圓0：/+/=1的切線/,求切線/的方程.

分析：如圖，容易知道，點(diǎn)尸(2,1)位于圓。：/+產(chǎn)=1外，經(jīng)過圓外一點(diǎn)有兩條直線與這

個(gè)圓相切.我們設(shè)切線方程為丁-1=左(8-2),左為斜率.由直線與圓相切可求出％的值.

圖

解法1：設(shè)切線/的斜率為匕則切線/的方程為夕一1=左(》-2),即依一y+1-2左=0.

由圓心(0,0)到切線/的距離等于圓的半徑1,得

|1-2^|.

1=1,

J%2+1

4

解得左=0或一.

3

因此，所求切線/的方程為y=l,或4x-3y-5=0.

解法2：設(shè)切線/的斜率為七則切線/的方程為丁-1=儀》一2).

因?yàn)橹本€/與圓相切，所以方程組

p-l=^(x-2),

[x2+y2=1

只有一組解.

消元，得

(左2+1)彳2+(2%—442)x+4左2—4左=0.①

因?yàn)榉匠挞僦挥幸粋€(gè)解，所以

A=4左2(1-2k)2—16人(公+1)(左一1)=0,

4

解得左=0或一.

3

所以，所求切線/的方程為歹=1，或4x—3y—5=0.

練習(xí)

1.判斷下列各組直線/與圓C的位置關(guān)系:

(1)I：X-y+l=0,圓。：》2+必=3；

(2)/:3x+4y+2=0,圓Uf+V—2x=0；

(3)/:x+y+3=0,圓C:F+/+2y=0.

【答案】(1)直線與圓相交；(2)直線與圓相切；(3)直線與圓相離;

【解析】

【分析】計(jì)算圓心到直線的距離，與半徑比較大小，即可判斷；

【詳解】解:(1)0C:X2+/=3,圓心坐標(biāo)為。(0,0),半徑y(tǒng)=5

,|0-0+1|V2

圓心到直線/：x—y+1=0的距離d=?-［了=-y<r故直線與圓相交;

(2)圓。-2x=0,即圓+/=1,圓心。(1,0),半徑尸=1,

圓心到直線/：3x+4y+2=0的距離1=匡魯"4=1=一，故直線與圓相切；

V32+42

(3)圓C:%2+F+2y=0,即圓C:f+(?+1)2=1,圓心半徑尸二1,

圓心到直線/：x+y+3=0的距離d=可二=V2>r,故直線與圓相離.

712"+12

2.已知直線4x+3y-35=0與圓心在原點(diǎn)的圓C相切，求圓C的方程.

【答案】X2+/=49

【解析】

【分析】依題意，利用直線與圓相切的幾何特征，圓心到直線的距離等于半徑，列

出方程求半徑，即可得到圓的方程.

【詳解】圓心在原點(diǎn)即圓心為(0,0),因?yàn)橹本€與圓C相切，故圓心到直線的距離

等于半徑,

則Y懸弋之,

所以圓的方程為Y+V=49.

3.判斷直線2x-y+2=0與圓。-1)2+(歹-2)2=4的位置關(guān)系；如果相交，求直線

被圓截得的弦長.

【答案】相交，延

5

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求圓心到直線的距離［=耳=述＜2=〃，故位置關(guān)系是相交,

加5

再根據(jù)兒何法求解即可.

【詳解】解：由圓的方程(x-l)2+(y-2)2=4得圓心為(1,2),半徑為廠=2

所以圓心到直線2x—y+2=0的距離為：［=4=型＜2=尸，

V55

所以—y+2=0與圓=4相交，

所以直線被圓截得的弦長為/=2J以-儲=2^|=竽.

例3圖是某圓拱形橋一?孔圓拱的示意圖.圓拱跨度：AB=20m.拱高。P=4m,建造

時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱48的高度(精確到)?

p2F

AA\A?OA3A4B

圖圖

分析：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，要得到支柱46的高度，只需求出點(diǎn)鳥的縱坐標(biāo).

解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使線段所在直線為X軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心在y軸

上，由題意，點(diǎn)P,8的坐標(biāo)分別為(0,4),(10,0).設(shè)圓心坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r,

那么圓的方程是

x2+(y-h)2=r2.

下面確定b和r的值.

因?yàn)镻,8兩點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0,4),(10,0)都滿足方程/+(y—b)2=戶.于

是，得到方程組

。2+(2=/,

'1()2+(.0也2=產(chǎn).

解得

b=-10.5,「2=14.52.

所以，圓的方程是

刀2+3+10.5)2=145.

把點(diǎn)鳥的橫坐標(biāo)》=-2代入圓的方程，得

(-2)2+3+10.5)2=14.52,

即y+10.5=/4.52-(-2)2(巴的縱坐標(biāo)丁＞0,平方根取正值).所以

y=714.52-(-2)2-10.5?14.36-10.5=3.86(，").

答：支柱46的高度約為機(jī).

例4一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)

域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿

直線返港，那么它是否會有觸礁危險(xiǎn)？

分析：先畫出示意圖，了解小島中心、輪船、港口的方位和距離.如圖，根據(jù)題意，建立適

當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返港直線的方程，利用

方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定輪船是否有觸礁危險(xiǎn).

解：以小島的中心為原點(diǎn)O,東西方向?yàn)閄軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.為了運(yùn)算的簡

便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(0,3),輪船所在位置的坐標(biāo)為

(4,0).

這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為

x2+y2=4；

輪船航線所在直線/的方程為

；+2=1,即3x+4y-12=0.

聯(lián)立直線/與圓。的方程，得

[3x+4y-12=0,

[x2+y2=4.

消去“得

25X2-72X+80=0.

由△=(—72)2—4x25x80<0,可知方程組無解.

所以直線/與圓O相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險(xiǎn).

練習(xí)

4.趙州橋的跨度是37.4m,圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程.

【答案】/+（y+20.68）2=27.882

【解析】

【分析】根據(jù)題意以拱高所在直線為y,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，再求圓的方程.

【詳解】解：根據(jù)題意，以拱高所在直線為了，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

根據(jù)題意得：。。=7.2,。8=。4=18.7,

此時(shí)圓心在歹軸上，圓心為。，半徑為，則。。=廠一。。=廠一7.2,

所以在放△。8。中，BD2=OD2+OB2,即尸2=(-7.2)2+18.72,

解得：尸=27.88,所以O(shè)D=-7.2=20.68

設(shè)所求圓的方程為x2+(y+20.68)2=27,882,

即拱圓的方程為：x?+(y+20.68)2=27.882

5.某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m,現(xiàn)有一船，寬10m,水面以上高3m,這

條船能否從橋下通過？

【答案】該船可以從橋下通過

【解析】

【分析】建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，得出4B,P,D,E各點(diǎn)的坐標(biāo)，

設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將4B,P坐標(biāo)代入確定出這座圓拱橋的拱圓方程，把D橫坐

標(biāo)代入求出縱坐標(biāo)，與3比較即可作出判斷.

【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系.依題意,有/(T0,0),5(10,0),P(0,4),。(一5,0),

￡(5,0).

設(shè)所求圓的方程是(X-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

(tz+10)2+Z>2=r2,

于是有=

/+伍一4)2=/,

解此方程組，得a=0,b=~,r=,

所以這座圓拱橋的拱圓的方程是爐+。+10.5)2=2(0統(tǒng)4).

把點(diǎn)。的橫坐標(biāo)x=-5代入上式，得產(chǎn)3.1.

由于船在水面以上高3m,3<,所以該船可以從橋下通過.

6.在一個(gè)平面上，機(jī)器人從與點(diǎn)。(5,-3)的距離為9的地方繞點(diǎn)。順時(shí)針而行，在

行進(jìn)過程中保持與點(diǎn)C的距離不變.它在行進(jìn)過程中到過點(diǎn)/(-10,0)與8(0,12)的

直線的最近距離和最遠(yuǎn)距離分別是多少？

【答案】最近距離和最遠(yuǎn)距離分別是竺迥-9，竺生叵+9.

6161

【解析】

【分析】由題意可得機(jī)器人的運(yùn)行軌跡為(x-5)2+(y+3)2=81,再求出直線的

方程，求出圓心到直線的距離，即可求出答案.

【詳解】???機(jī)器人到與點(diǎn)C(5,-3)距離為9的地方繞。點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過程

中保持與點(diǎn)C的距離不變，

機(jī)器人的運(yùn)行軌跡為(x-5)2+3+3)2=81,

???/(一10,0)與8(0,12),

12-0

???直線"的方程為y=--(x+10),即為6x-5歹+60=0,

0+10

則圓心C到直線AB的距離為d=|5X6：：X3：60|=里區(qū)>9,

V62+5261

最近距離和最遠(yuǎn)距離分別是些畫-9,1。5可+牛

6161

圓與圓的位置關(guān)系

例5已知圓G:x2+V+2x+8y—8=0,圓。2：一+J2-4》—4y—2=0,試判斷圓G

與圓G的位置關(guān)系.

分析：思路I：圓￡與圓G的位置關(guān)系由它們有幾個(gè)公共點(diǎn)確定，而它們有幾個(gè)公共點(diǎn)又

由它們的方程所組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定；

思路2：借助圖形，可以依據(jù)連心線的長與兩半徑的和4+々或兩半徑的差的絕對值|耳-與

的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.

解法1：將圓￡與圓。2的方程聯(lián)立，得到方程組

x2+y2+2x+Sy-0=0①

x2+y2-4x-4y-2=0②

①-②，得

x+2y—1=0,③

由③，得

1-x

y=---.

2

把上式代入①，并整理，得

X2-2X+3=0.④

方程④的根的判別式

A=(-2)2-4*1x(-3)=16>0,

所以，方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根玉，x『把陽，々分別代入方程③，得到,，巴?

因此圓G與圓G有兩個(gè)公共點(diǎn)8(工2，%)，這兩個(gè)圓相交.

解法2：把圓G的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得

(x+l)2+3+4)2=25,

圓G的圓心是(-1,-4),半徑4=5.

把圓。2的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得

(x—2)2+3—2)2=10,

圓G的圓心是(2,2),半徑與=JM.

圓。與圓G的連心線的長為

7(-1-2)2+(-1-2)2=375.

圓G與圓G的兩半徑之和耳+々=5+J記，兩半徑長之差4—々=5—JI6.

因?yàn)?—Jid<3j?<5+加，即4一々<3石<4+6，所以圓G與圓G相交(圖)，

它們有兩個(gè)公共點(diǎn)4B.

圖25-6

例6已知圓O的直徑48=4,動(dòng)點(diǎn)"與點(diǎn)力的距離是它與點(diǎn)5的距離的、傷倍.試探究

點(diǎn)〃的軌跡，并判斷該軌跡與圓。的位置關(guān)系.

分析：我們可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，從

而得到點(diǎn)知的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個(gè)軌跡與圓。的位

置關(guān)系.

解：如圖，以線段Z8的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，所在直線為x軸，線段48的垂直平分線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系.由/5=4,得/(—2,0),5(2,0).

設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x,y),\MAy/2\MB\,得

y](x+2)2+y2-y/2x^(x-2)2+y2，

化簡，Mx2-12x+/+4=0,即(x—6了+/=32.

所以點(diǎn)M的軌跡是以尸(6,0)為圓心，半徑為4拉的一個(gè)圓(圖).

因?yàn)閮蓤A的圓心距為IP。1=6,兩圓的半徑分別為《=2,々=4拒，又

r2-r.<|PO\<r2+r,所以點(diǎn)M的軌跡與圓。相交.

圖

練習(xí)

7.已知圓G：Y+V=4,圓。2：/+/一8x—6y+16=0,判斷圓?與圓G的位

置關(guān)系.

【答案】外切

【解析】

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)與半徑，計(jì)算出圓心距，即可判斷；

【詳解】解：圓G：/+y2=4,圓心坐標(biāo)為G（0,0）,半徑r=2；

圓。2：/+/一8%一6歹+16=0,即圓。2：5—4）2+（>；-3）2=9,圓心坐標(biāo)為（4,3）,

半徑&=3

所以|CC|="7F=5,R+〃=5=CG|

所以兩圓相外切；

8,已知圓￡+2x+3y+1=0,圓C2:/+>2+4x+3y+2=0,證明圓G與

圓G相交，并求圓a與圓。2的公共弦所在直線的方程.

【答案】證明見解析，公共弦所在直線的方程為2x+l=0.

【解析】

【分析】依題意求得圓G和圓G的圓心和半徑，進(jìn)而根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系

可證得結(jié)果；將兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程.

【詳解】圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+i）2+,+gj=；

所以圓心為半徑

3

「5；

圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+2)2+(V+￡|2=?，所以圓心為。212,-￡|，半徑

兩圓圓心距i=|cc卜1，4+2=(+半，,―4=半一?

所以,-修<"<4+々，圓G和圓G相交.

將圓G和圓G的方程相減，得兩圓的公共弦所在直線的方程為2x+i=o.

習(xí)題

復(fù)習(xí)鞏固

9.判斷直線4x-3y=50與圓/+/=100的位置關(guān)系.如果有公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)

的坐標(biāo).

【答案】直線與圓相切；(8,-6)

【解析】

【分析】用圓心到直線的距離與半徑比較得到位置關(guān)系,再聯(lián)解確定公共點(diǎn)坐標(biāo)得解

【詳解】/+/=]00圓心坐標(biāo)為(o,o),則圓心到到直線4x-3y-50=0的距離為

d=----=10=r

5

所以直線與圓相切，

[4x-3y=50[x=8

2；sc聯(lián)解得,所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為(8,-6)

[X+y=100[y=-6

10.求下列條件確定的圓的方程，并畫出它們的圖形：

(1)圓心為〃(3,-5),且與直線x-7y+2=0相切；

(2)圓心在直線V=x上，半徑為2,且與直線丁=6相切;

(3)半徑為內(nèi)，且與直線2、-3^+6=0相切于點(diǎn)(3,4).

22

【答案】(1)(x-3)2+(尸5)2=32；(2)(X-4)+(J；-4)=4或

(x-8)2+(y-8)2=4；(3)(x-5)2+(j/-l)2=13或(x-1)2+(y-7)2=13.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得半徑,進(jìn)而得答案；

(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,。)，再根據(jù)題意得"=|。-6|=2,解得”=4或a=8,進(jìn)而

求得答案；

。一43

a—3o_5Q[

(3)設(shè)圓心坐標(biāo)為(。,6),則，一：或Jr，進(jìn)而

|2"36+6|…(6=1回7

也+(—3)2

求得答案.

【詳解】解：(1)因?yàn)閳A/與直線X-7少+2=0相切,

所以點(diǎn)“(3,-5)到直線x-7y+2=0的距離即為圓加的半徑,

|3-7'(-5)+2=0|=40華5

所以〃=Jl+(-7)-572'

所以圓M的方程為：(x-3)2+(y+5)2=32,

圖像如圖:

(2)因?yàn)閳A心在直線V=x上，半徑為2,

所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a),

又因?yàn)樗髨A與直線y=6相切,

所以廠=|a-6]=2,解得。=4或&=8,

所以所求圓的方程為(x—4)2+(y—4)2=4或(x-8『+(y—8)2=4,

圖像如圖：

(3)半徑為JF，且與直線2x—3y+6=0相切于點(diǎn)(3,4),

6—43

a—32[<3=5=l

所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,6),則12a-3b+61_厄'解得[=1或)=7'

百+(-3>

所以所求圓的方程為：(x—5)2+3—1)2=13或(x—l)2+(y—7f=13,

圖像如下：

11.求直線/：3x-y-6=0被圓°：/+丁2一28一43；=0截得的弦/8的長.

【答案】M

【解析】

【分析】將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心與半徑，再根據(jù)兒何法求弦長即可.

【詳解】解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得(X-1)2+3-2)2=5,

所以圓心坐標(biāo)為0(1,2),半徑為尸=逐，

所以利用點(diǎn)到直線的距離可以求得弦心距為匡)二四=叵，

V102

所以根據(jù)幾何法得弦長為2Kl=V10.

所以弦48的長為J記

12.求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為2行的

圓的方程.

【答案】x2+y2-2x-6y+l=0^x2+y2+2x+6y+\=0

【解析】

【分析】設(shè)圓的一般方程是/+/+6+￡>+尸=0,得出圓心坐標(biāo)和半徑，利用直

線與x軸相切，令y=0后的二次方程判別式等于0得。,E,尸的一一個(gè)等式，求出圓

心到直線》-歹=0的距離，用勾股定理得弦長，得。，瓦廠的第二個(gè)等式，再由圓心

在已知直線上第。，瓦廠的第三個(gè)等式，三式聯(lián)立解得。民尸得圓方程.

【詳解】設(shè)所求的圓的方程是/+_/+6+切+尸=0,則圓心為半徑

^J^D2+E2-4F.令y=0,^X2+DX+F=0,

2

由圓與X軸相切，得△=（）,即。2=4F①

（DE、

又圓心-：，-7到直線x-尸。的距離為才22.

I22jd=^T-

由已知，得+（近＞=/,

6

222

B|J（n-E）+56=2（￡>+JE-4F）@

又圓心（一?，一在直線3x-y=0上，則30-E=0③

聯(lián)立①②③，解得￡>=—2,￡=—6,尸=1或。=2出=6,尸=1

故所求圓的方程是/+/一2x-6y+1=0或％?+/+2x+6歹+1=0.

13.求與圓。:/+/一%+27=0關(guān)于直線/：x—y+l=0對稱的圓的方程.

【答案】（》+2）2+&-|[21

【解析】

【分析】先求出圓C:/+y2-x+2y=0的圓心和半徑，利用對稱求出對稱圓的圓

心，即可寫出對稱圓的方程.

【詳解】圓C：X:+/-X+2y=0可化為：（x—+（丁+1）2=|'，

所以其圓心6,—1）,半徑/=*

-^1-1=-1

a——a=-2

2解得：L3，

設(shè)對稱的圓的圓心(a,6),則有:

1b=—

QH---I2

b-\」+1

I22

所以對稱的圓的方程為:

14.正方形/8CD的邊長為a,在邊8C上取線段8E=@,在邊。C的延長線上取

3

CF=~.試證明：直線4E與8尸的交點(diǎn)M位于正方形48。的外接圓上.

2

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線/E、3廠的

方程，即可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得；

【詳解】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則4(-a,0),5(0,0),C(0,a),后/%)，

“9，?，O(—所以二、1,則直線ZE方程為夕=!》+"，

(2)122JK=—=-33

AEa3

直線3月的方程為歹=2x

，所以點(diǎn)〃在圓O上;

15.求經(jīng)過點(diǎn)M(2,-2)以及圓x?+y2-6x=0與圓x?+y2=4交點(diǎn)的圓的方程.

【答案】x2+y2-3x-2=0

【解析】

【詳解】試題分析：先確定過兩圓交點(diǎn)的圓系方程，再將M的坐標(biāo)代入，即可求得

所求圓的方程.

解：設(shè)過圓x2+y2-6x=0與圓x2+y2=4交點(diǎn)的圓的方程為：x2+y2-6x+X(x2+y2-4)

=0…①

把點(diǎn)M的坐標(biāo)(2,-2)代入①式得入=1,把入=1代入①并化簡得x2+y2-3x-2=0,

所求圓的方程為：x2+y2-3x-2=0

考點(diǎn)：圓系方程.

綜合運(yùn)用

16.求圓心在直線》一y一4=0上，并且經(jīng)過圓x2+V+6x—4=0與圓

x2+j?+6y—28=0的交點(diǎn)的圓的方程.

【答案】X2+/-X+7^-32=0

【解析】

【分析】設(shè)兩圓交點(diǎn)系方程為％?+/+6x-4+4(/+/+6y-28)=0,求得圓心坐標(biāo)

代入直線x-V-4=0求得圓的方程.

【詳解】設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程為/+/+6丫一4+4(/+/+6、-28)=0,即

—3—32

(1+2)X2+(1+2)/+6X+62^-282-4=0,圓心坐標(biāo)為(——,——),將其代入

1+41+4

直線x—y—4=0解得彳=—7.所以圓的方程為f+V—x+7y—32=0.

故所求圓方程為：x2+y2-x+7y-32=0

17.求圓x?+_/-4=0與圓x?+/-4x+4y-12=0的公共弦的長.

【答案】2&

【解析】

【分析】首先兩圓方程作差得到公共弦方程，再利用垂徑定理、勾股定理求出公共

弦長；

【詳解】解：圓X?+V-4=0與圓/+y2-4x+4y-12=0,兩式相減得

4x—"+8=0,即公共弦方程為x—y+2=0,圓/+/-4=0的圓心坐標(biāo)為（0,0）,

|0-0+2|廠

半徑尸=2,圓心到公共弦的距離d="+（_]/2，故公共弦

/=2,-（可=2后

18.求經(jīng)過點(diǎn)“（3,-1）且與圓C：/+川+公-6尹5=0相切于點(diǎn)N（1,2）的圓的

方程.

z20、,/15、,845

【答案】（X-T）2+（J--）2=—.

【解析】

【分析】先利用待定系數(shù)法假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+Cy-b）2十2,求出已知

圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再根據(jù)條件圓C過點(diǎn)M（3,-1）且與圓x2+〉2+2x-6尹5=0

相切于點(diǎn)N（l,2）,列出方程組可求相應(yīng)參數(shù)，從而可求方程.

【詳解】解：設(shè)所求圓方程：（x-a）2+（y-b）2=/

已知圓的圓心：（-1,3）,半徑=6，

2

由題意可得：（3-〃）2+（-1-6）2=/，（1-Q）2+（2-6）2=/，（a+1）+（6-3）

'郃+尸產(chǎn)，

845

解得//?96

.山,2015845

..所求圓：(x-—)2+(y--)

考點(diǎn)：圓的切線方程.

19.如圖，某臺機(jī)器的三個(gè)齒輪，〃與8嚙合，。與8也嚙合.若Z輪的直徑為200

cm,8輪的直徑為120cm,。輪的直徑為250cm,且乙4=45。.試建立適當(dāng)?shù)淖?/p>

標(biāo)系，用坐標(biāo)法求出4C兩齒輪的中心距離(精確到1cm).

【答案】260czn

【解析】

【分析】根據(jù)題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z8所在直線為x建立平面直角坐標(biāo)，進(jìn)

而得直線4c的方程為歹=》，故設(shè)C(f/)/>0,再結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系求解即

可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，28所在直線為x建立平面直角坐標(biāo)

系，如圖，

由于NC48=45°，所以直線力C的方程為丁=》，

故設(shè)則8C=；(250+120)=185,

由于圓8與圓C相外切，故=160y+d=i85,解方程得f*183.5

所以4C="=259.5?26Qcmcm.

故4C兩齒輪的中心距離約為260C7H.

20.已知/(-2,-2),5(-2,6),C(4,-2)三點(diǎn)，點(diǎn)尸在圓2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求

\PA[+\PB[+\PC[的最大值和最小值.

【答案】最大值為88,最小值為72

【解析】

【分析】設(shè)尸(xj),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到

1PH2+|尸8『+|尸。「=3f+3y2_4j，+68,再由點(diǎn)P在圓f+V=4上運(yùn)動(dòng)，化簡為

3x2+3/_4、+68=-4y+80求解.

【詳解】設(shè)尸(xj),

因?yàn)?(-2,-2),5(-2,6),C(4,-2)三點(diǎn),

所以|P/f+|p6『+|PC「

=(x+2)2+(j^+2)'+(x+2)'+(y-6)'+(x-4,+(y+2j,

=3/+3/一令+68,

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓/+_/=4上運(yùn)動(dòng)，

則X2=4-VNO,解得-2<yW2,

所以3x2+3;/—4y+68=-4y+80,

當(dāng)y=-2時(shí)，|p/|2+10@2+|pc|2取的最大值88,

當(dāng)y=2時(shí)，|尸旬2+忸川+|PC|2取的最小值72.

拓廣探索

21.已知圓一+必=4,直線/：y=x+6,6為何值時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距

離都等