2020-2021學(xué)年廣東省廣州市高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2020-2021學(xué)年廣東省廣州市高一下期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）若復(fù)數(shù)z=占（i為虛數(shù)單位），則|z|=（

13

A.-B.1C.5D.-

55

2.（5分）已知向量a=（2,3),b=(尤，-6),且a_Lb,貝!J%=()

A.-9B.9C.-4D.4

3.（5分）高一年級(jí)有男生510人，女生490人，小明按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，總樣

本量為100.則在男生中抽取的樣本量為（）

A.48B.51C.50D.49

4.（5分）

如圖，△A8C是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖,△A8,C為等腰直角三角形，其

中0'與A'重合，AB'=6,則△ABC的面積是（)

A.9B.9V2C.18D.18V2

TTTTT———

5.（5分）已知|a|=6,|h|=4,。與b的夾角為60°,則(a+2b)*(a-36)=(

A.-72B.72C.84D.-84

6.（5分）某學(xué)校開(kāi)展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走“學(xué)習(xí)活動(dòng)，劉老師去購(gòu)書(shū)中心購(gòu)買了一

批書(shū)籍作為閱讀學(xué)習(xí)之用，其中一類是4本不同的紅色經(jīng)典小說(shuō)類書(shū)籍，另一類是2本

不同的黨史類書(shū)籍，兩類書(shū)籍合計(jì)共6本.現(xiàn)劉老師從這6本書(shū)中隨機(jī)抽取2本閱讀,

則這兩本書(shū)恰好來(lái)自同一類書(shū)籍的概率是（）

1278

A.—B.—C.——D.—

15151515

第1頁(yè)共26頁(yè)

―>_、―>—>

7.（5分）如圖,已知。4=a,OB=6,任意點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S,點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)B

―?

的對(duì)稱點(diǎn)為N,則向量NS=（）

8.（5分）已知圖1是棱長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF,將其沿直線PC折疊成如圖2的空間

圖形/'A'E'-CB'D',其中A'E'=孚，則空間幾何體尸A'E-C方。的體積為

（）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分.

（多選）9.（5分）某士官參加軍區(qū)射擊比賽，打了6發(fā)子彈，報(bào)靶數(shù)據(jù)如下：7,8,9,

10,6,8,（單位：環(huán)），下列說(shuō)法正確的有（）

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8

B.這組數(shù)據(jù)的極差是4

C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5

D.這組數(shù)據(jù)的方差是2

（多選）10.（5分）已知復(fù)數(shù)2=。。5。+（V3sina）i（a￡R）（i為虛數(shù)單位），下列說(shuō)法正確

的有（）

第2頁(yè)共26頁(yè)

A.當(dāng)a=-鄂寸，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限

B.當(dāng)a=》時(shí)，z為純虛數(shù)

C.|z|最大值為機(jī)

D.z的共軟復(fù)數(shù)為2=—cosa+（Vasina）i（a￡R）

（多選）11.（5分）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)。1。2,在

軸截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm,且CO=2A8,下列說(shuō)法正確的有（）

B.該圓臺(tái)的體積為一--cn?

C.該圓臺(tái)的母線AD與下底面所成的角為30°

D.沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AO中點(diǎn)的最短距離為5cm

（多選）12.（5分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)。為△ABC所

—>—>—>

在平面內(nèi)點(diǎn)，滿足x（M+yOB+zOC=0,下列說(shuō)法正確的有（）

A.若x=y=z=l,則點(diǎn)。為△ABC的重心

B.若x=y=z=l,則點(diǎn)。為△ABC的外心

C.若x=a,y=b,z=c,則點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心

D.若x=a,y—b,z—c,則點(diǎn)。為△ABC的垂心

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：k）如下：

100,120,125,165,430,190,175,234,425,310

這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為.

14.（5分）天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在這段

時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則在這段時(shí)間內(nèi)甲，乙兩地只有一個(gè)地方降雨

的概率是.

第3頁(yè)共26頁(yè)

15.（5分）如圖，在三棱錐V-A3C中，VA^VB=AB^AC^BC^4,VC=2,則二面角A

-VC-B的余弦值為

16.（5分）如圖，ZXABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M,N分別為線段AC,A8上一點(diǎn)，滿

足AM；MC=1：2,AN：NB=1：3,CN馬BM的交點(diǎn)為P,則線段AP的長(zhǎng)度為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）現(xiàn)有兩個(gè)紅球（記為Ri,R2）,兩個(gè)白球（記為W1,卬2）,采用不放回簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣從中任意抽取兩球.

（1）寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；

（2）求恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率.

第4頁(yè)共26頁(yè)

18.(12分)已知角A是△ABC的內(nèi)角，若。=(V3sinA,cosA),b=(1,-1).

(1)若3111,求角A的值;

TTTT.

(2)設(shè)/(x)當(dāng)/(x)取最大值時(shí)，求。在b上的投影向量(用坐標(biāo)表示).

第5頁(yè)共26頁(yè)

19.(12分)如圖，直三棱柱ABC-A8C中，。是的中點(diǎn).

(1)求證：直線8C'〃平面ACZ)；

(2)若AC=CB,求異面直線A8與。所成角的大小.

第6頁(yè)共26頁(yè)

20.(12分)2021年五一假期，各高速公路車流量大，交管部門(mén)在某高速公路區(qū)間測(cè)速路段

隨機(jī)抽取40輛汽車進(jìn)行車速調(diào)查，將這40輛汽車在該區(qū)間測(cè)速路段的平均車速(而7必)

分成六段[90,95),[95,100),[100,105),[105,110),[110,115),[115,120],得

到如圖的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出這40輛汽車的平均車速的中位數(shù);

(2)現(xiàn)從平均車速在區(qū)間[90,100)的車輛中任意抽取2輛汽車，求抽取的2輛汽車的

平均車速都在區(qū)間[95,100)上的概率;

(3)出于安全考慮，測(cè)速系統(tǒng)對(duì)平均車速在區(qū)間[115,120]的汽車以實(shí)時(shí)短信形式對(duì)車

主進(jìn)行安全提醒，確保行車安全.假設(shè)每輛在此區(qū)間測(cè)速路段行駛的汽車平均車速相互

不受影響，以此次調(diào)查的樣本頻率估計(jì)總體概率，求連續(xù)2輛汽車都收到短信提醒的概

率？

車速

第7頁(yè)共26頁(yè)

21.(12分)如圖，B4垂直于。。所在的平面，AC為。。的直徑，AB=3,BC=4,PA=

3V2,點(diǎn)尸為線段上一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面AEFL平面PBC；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，求PB與平面AE尸所成角的正弦值.

第8頁(yè)共26頁(yè)

22.(12分)為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”號(hào)召，農(nóng)民王大伯?dāng)M將自家一塊直角三角形地按如圖

規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：4BNC區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，△CM4區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供

游客住宿及餐飲，區(qū)域規(guī)劃為小型魚(yú)塘養(yǎng)魚(yú)供休閑垂釣.為安全起見(jiàn)，在魚(yú)塘△

MNC周圍筑起護(hù)欄.己知AC=40m,BC=40V3m,AC±BC,/MCN=30°

(1)若AM=20"時(shí)，求護(hù)欄的長(zhǎng)度(△MNC的周長(zhǎng))；

(2)若魚(yú)塘△MNC的面積是“民宿”△CMA的面積的漁倍，求NACM；

2

(3)當(dāng)NACM為何值時(shí)，魚(yú)塘的面積最小，最小面積是多少？

第9頁(yè)共26頁(yè)

第10頁(yè)共26頁(yè)

2020-2021學(xué)年廣東省廣州市高一下期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）,則|z|=()

13

A.-B.1C.5D.-

55

【解答~】解：Yz—E1y,...IzLI。1"一111

所知檸+(-4)25'

故選：A.

T—TT

2.（5分）已知向量。=（2,3）,b=（x,-6）,且a_Lb,貝U%=（）

A.-9B.9C.-4D.4

->—

【解答】解：???alb,

TT

.*.a-h=2%-18=0,解得x=9.

故選：B.

3.（5分）高一年級(jí)有男生510人，女生490人，小明按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，總樣

本量為100.則在男生中抽取的樣本量為（）

A.48B.51C.50D.49

510

【解答】解：高一年級(jí)共有510+490=1000人，所以男生抽取的人數(shù)為——X100=51

1000

人.

故選：B.

4.（5分）

如圖，△ABC是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，△AB'C為等腰直角三角形，其

中0,與A'重合，AB'=6,則△ABC的面積是（）

第11頁(yè)共26頁(yè)

c

。'⑷5

A.9B.9V2C.18D.18V2

【解答】解：在斜二測(cè)直觀圖中，由△AB'C為等腰直角三角形，A'B'=6,

可得4C'=3V2,

還原原圖形如圖：

[1

則AB=6,AC=6V2,貝IJS-BC=^ABxAC=^x6x6^2=18迎.

故選：D.

5.（5分）已知|a|=6,|匕|=4,。與b的夾角為60°,則（a+2b）?（a-3力）=（）

A.-72B.72C.84D.-84

TT7T

【解答】解：：|a|=6,|6|=4,a與b的夾角為60°,

TTTT1

.\a'b=|a||Z）|cos60o=6x4X2=12,

則（a+2b）?（a—3b）=|a|2—a-b-6\b\2

=36-12-6X16=-72.

故選：A.

6.（5分）某學(xué)校開(kāi)展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走“學(xué)習(xí)活動(dòng)，劉老師去購(gòu)書(shū)中心購(gòu)買了一

批書(shū)籍作為閱讀學(xué)習(xí)之用，其中一類是4本不同的紅色經(jīng)典小說(shuō)類書(shū)籍，另一類是2本

第12頁(yè)共26頁(yè)

不同的黨史類書(shū)籍，兩類書(shū)籍合計(jì)共6本.現(xiàn)劉老師從這6本書(shū)中隨機(jī)抽取2本閱讀，

則這兩本書(shū)恰好來(lái)自同一類書(shū)籍的概率是（）

1278

A.—B.—C.—D.—

15151515

【解答】解：從6本書(shū)中隨機(jī)抽取2本，共有方=15種取法，若兩本書(shū)來(lái)自同一類書(shū)籍

則有戲+稼=7種取法，

7

所以兩本書(shū)恰好來(lái)自同一類書(shū)籍的概率是二.

15

故選：C.

TT—T

7.（5分）如圖，已知。4=a,OB=6,任意點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S,點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)8

的對(duì)稱點(diǎn)為N,則向量后=（）

—TTT

【解答】解：=a,。8=b,任意點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S,點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)8的

對(duì)稱點(diǎn)為N,

：.AB是△MNS的中位線,

—?—?—>—>tT

:.NS=2BA=2(OA-OB)=2(a—b).

故選：D.

8.（5分）已知圖1是棱長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF,將其沿直線FC折疊成如圖2的空間

圖形戶A'E'-CB'D',其中A'E'=孚，則空間幾何體尸A'E-（笫。的體積為

（）

第13頁(yè)共26頁(yè)

圖1圖2

7

D.

8

【解答】解：如圖,

過(guò)A'作A'G_LC'F',垂足為G,連接E'G,則E'G±CF',

過(guò)"作8'HLCF',垂足為"，連接H,則H1CF',

可得平面A'GE'〃平面"HD',即三棱柱A'GE'-B'HD'為直三棱柱.

?：A'F'=1,ZAZF'G=60",可得4G=孚，F(xiàn)'G=

同理求得E(=亨，CH=

又A'E'=孚，.?.A'G2+E'G2=AZE'2,

空間幾何體F'A'E'-CBD的體積為V=/x字x字xl+2x/x/x噂x*x/=￡.

乙乙乙。乙乙乙乙乙

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分.

（多選）9.（5分）某士官參加軍區(qū)射擊比賽，打了6發(fā)子彈，報(bào)靶數(shù)據(jù)如下：7,8,9,

10,6,8,（單位：環(huán)），下列說(shuō)法正確的有（）

A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8

B.這組數(shù)據(jù)的極差是4

第14頁(yè)共26頁(yè)

C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5

D.這組數(shù)據(jù)的方差是2

1

【解答】解：對(duì)于4這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是-(7+8+9+10+6+8)=8,故4正確；

6

對(duì)于3,這組數(shù)據(jù)的極差是10-6=4,故B正確；

對(duì)于C,這組數(shù)據(jù)從小到大為6,7,8,8,9,10,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，這組數(shù)據(jù)的方差是$2=%(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(6-8)

2+(8-8)2]=|,故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

(多選)10.(5分)已知復(fù)數(shù)z=cosa+(V3sina)i(aGR)(，為虛數(shù)單位)，下列說(shuō)法正確

的有()

A.當(dāng)觀=-即寸，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限

B.當(dāng)a=*時(shí)，z為純虛數(shù)

C.|z|最大值為舊

D.z的共軌復(fù)數(shù)為5=—cosa+(V3sina)i(aGR)

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)a=T時(shí)，z=cos(—亨)+[V3sin(一與)]/=1復(fù)平面內(nèi)

表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第四象限，故A錯(cuò)誤；

■rrTC__TCI____

對(duì)于8,當(dāng)a=]時(shí)，z=cos—+(V3sin-)i=V3i,為純虛數(shù)，故B正確；

對(duì)于C,|z|=Vcos2a+3sin2a=V1+2sin2a,最大值為百，故C正確；

對(duì)于￡>,z的共輾復(fù)數(shù)為2=cosa-(V3sina)i,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

(多選)11.(5分)某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)。1。2,在

軸截面ABC。中，A3=AD=8C=2c%,且CD=248,下列說(shuō)法正確的有()

第15頁(yè)共26頁(yè)

Ba

D

q

A.該圓臺(tái)軸截面ABCD面積為3百a??

7y/3n3

B.該圓臺(tái)的體積為------cm

3

C.該圓臺(tái)的母線4。與下底面所成的角為30。

D.沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到4。中點(diǎn)的最短距離為5c機(jī)

【解答】解：由AB=AD=BC^2cm,且CD=2AB,可得CD=4,高013=J4-（與2產(chǎn)

V3,

1

則圓臺(tái)軸截面ABC。面積為-（2+4）x百=3百CM?,故在正確;

2

圓臺(tái)的體積為V=/r（1+4+2）xV3=故3正確;

V3

圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為/AO01,其正弦值為］~，

所以/4。。1=60°,故C錯(cuò)誤;

由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4c〃z,底面半徑為2a”,

側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為0=竿=口,

4

設(shè)AO的中點(diǎn)為P,連接CP,可得NCOP=90°,OC=4,OP=2+1=3,

則CP==5,所以沿著該圓臺(tái)表面,

從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5c處故。正確.

故選：ABD.

（多選）12.（5分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)。為△ABC所

—>—>—>

在平面內(nèi)點(diǎn)，滿足MM+yO8+zOC=0,下列說(shuō)法正確的有（）

A.若x=y=z=l,則點(diǎn)。為△ABC的重心

第16頁(yè)共26頁(yè)

B.若尤=y=z=l,則點(diǎn)。為△ABC的外心

C.若x=a,y=b,z=c,則點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心

D.若x=a,y=b,z=c,則點(diǎn)O為△ABC的垂心

—>—>—>—>—>—>—>

【解答］解：若x=y=z=l貝IJ04+0B+。。=0,：.OA+OC-OB.取AC中點(diǎn)D

連接OQ,

->—>

；.2OD=—OC.二。在△ABC的中線上，同理可得。在其它兩邊的中線上，

，。是△ABC的重心.

T—>—>—>

若％=〃，y=b,z=c,則有a。％+bOB+cOC=0,

T—>—>—>T—>

延長(zhǎng)CO交AB于。，貝|。4=。。+。4,OB=OD+DB,

T—>—>—>

：.aCOD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,

設(shè)OD=kOC,貝!!(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0,

—>—>—>—>—>

與DB共線，OC-^DA,不共線，

—>T—>

:.ka+kb+c=3aDA+bDB=0,

.DAb

??—―,

DBa

...CZ）為NACB的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線.

二。是△ABC的內(nèi)心.

故選：AC.

第17頁(yè)共26頁(yè)

B

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：k）如下:

100,120,125,165,430,190,175,234,425,310

這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為212.

【解答】解：根據(jù)題意，將10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列:

100,120,125,165,175,190,234,310,425,430；

10X60%=6,

190+234

則該組數(shù)據(jù)的第6。百分位數(shù)為-^=212,

故答案為:212.

14.（5分）天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在這段

時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則在這段時(shí)間內(nèi)甲，乙兩地只有一個(gè)地方降雨

的概率是0.38.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨,

P(A)=0.2,P(B)=0.3,

甲，乙兩地只有一個(gè)地方降雨的概率P=P（A反）+尸（油）=0.2義（1-0.3）+（1-0.2）

X0.3=0.38；

故答案為：0.38.

15.（5分）如圖，在三棱錐V-ABC中，144=VB=AB=AC=BC=4,VC=2,則二面角A

7

-MCF的余弦值為—

第18頁(yè)共26頁(yè)

V

【解答】解：取VC的中點(diǎn)。，連接A。、BD,

因?yàn)閃4=VB=AC=8C=4,所以AO_LyC,BD1,VC,

所以/AO8即為二面角A-VC-8的平面角,

因?yàn)閮z=VB=AC=BC=4,VC=2,所以AD=BD=同,

(715)2+(715)2-427

而AB=4,在△48。中，由余弦定理可得cos/AD8=

2.715-715-15)

16.（5分）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M,N分別為線段AC,48上一點(diǎn)，滿

足AM：MC=1：2,AN：NB=1：3,CN與的交點(diǎn)為P,則線段AP的長(zhǎng)度為——

-11'

【解答】解：以A為原點(diǎn)，A3為了軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

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NBx

,1

則A(0,0),B(1,0),C(-,M(-,

2

所以直線5M的方程為y=(x-1),BPV3x+5j—\/3=0,

名一01

直線CN的方程為丁=:i(x—4),BP4A/3X-2y—y/3=0,

0,解得

聯(lián)立

4V3x—2y—V3=0

故答案為：-

11

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)現(xiàn)有兩個(gè)紅球(記為Ri,R2),兩個(gè)白球(記為Wi,W2),采用不放回簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣從中任意抽取兩球.

(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)求恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率.

【解答】解：(1)兩個(gè)紅球(記為R1,&),兩個(gè)白球(記為W1,卬2),

采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中任意抽取兩球，

則試驗(yàn)的樣本空間。={(Ri,R2),(Ri,Wi),(Ri,W2),

(R2,Wi),(R2,W2),(Wi,W2)}.

(2)試驗(yàn)的樣本空間Q={(Ri,R2),(Ri,Wi),(Ri,W2),

(R2,Wi),(R2,W2),(M,W2)},包含6個(gè)樣本點(diǎn)，

其中恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球包含4個(gè)樣本點(diǎn)，

恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率「￡='!.

63

18.(12分)已知角A是△ABC的內(nèi)角，若6(=(V3sinA,cosA),b=(1,-1).

第20頁(yè)共26頁(yè)

(1)若石IIb,求角A的值;

T—TT.

(2)設(shè)/(x)當(dāng)/(x)取最大值時(shí)，求Q在b上的投影向量(用坐標(biāo)表示).

【解答】解：(1)??,角A是△ABC的內(nèi)角，???OVAVn,

又。=(V3sinA,cosA),b=(1,-1)且Q||b,

「V3I

-y/3sinA-cosA=0,即2(—sinA+方cos/)=0,

22

sin(A+J)=0,

o

7TJI7"

V0<A<TI,A-<4+gV3

666

則A+看=m即A=等；

—?—,-7T

(2)f(x)=a-b=V^sinA—cosA=2sin{A—召)，

?.?—1〈4一卷〈答，.?.要使/小)取得最大值，則4一看=今即A=1

t.—27r27r3]

.*.a=(V3sin-5-,cos-)=(-,一乃),

3322

———31

)tcc-bb-xl—x(—1)i

.,.a在b上的投影向量為r-,=r=------y=------,—)=(1,-1)=(2,-2).

\b\\b\V2V2

19.(12分)如圖，直三棱柱ABC-A8C中，。是AB的中點(diǎn).

(1)求證：直線8C'〃平面ACD；

(2)若AC=C3,求異面直線4月與CD所成角的大小.

【解答】解：(1)證明：連接AC',交AC于點(diǎn)。，連接。。，

,直三棱柱ABC-ABC中，ACC'A'是矩形，是AC'中點(diǎn),

第21頁(yè)共26頁(yè)

?.?。是AB的中點(diǎn)，：.OD//BC,

"：BC<t平面AC。，QDu平面ACZ）,

直線BC‘〃平面AC。；

(2)解法一：'：AC=CB,。是AB的中點(diǎn)，CDLAB,

,直三棱柱ABC-AbC中，AA1_L平面ABC,

.?.CDu平面ABC,/.A4,LCD,

'：AB^\AA'=A,，CZ)_L平面A8夕A),

\'AB'u平面ABB'A',：.AB'±CD,

.?.異面直線43與CD所成角的大小為90°.

解法二：VAC=CB,D是AB的中點(diǎn)，ACDLAB,

以。為原點(diǎn)，為無(wú)軸，Z5C為y軸，過(guò)。作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

設(shè)CD—c,AB—a,AA'—b,

na

則A(-5，0,0),B'(-,0,b),C(0,c,0),D(0,0,0),

22

—>—>

AB'=(a,0,b),CD=(0,-c,0),

'JAB''CD=0,：.AB'LCD,

...異面直線A3與CO所成角的大小為90°.

20.（12分）2021年五一假期，各高速公路車流量大，交管部門(mén)在某高速公路區(qū)間測(cè)速路段

隨機(jī)抽取40輛汽車進(jìn)行車速調(diào)查，將這40輛汽車在該區(qū)間測(cè)速路段的平均車速（切明）

第22頁(yè)共26頁(yè)

分成六段［90,95),［95,100),［100,105),［105,110),［110,115),［115,120］,得

到如圖的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出這40輛汽車的平均車速的中位數(shù)；

(2)現(xiàn)從平均車速在區(qū)間［90,100)的車輛中任意抽取2輛汽車，求抽取的2輛汽車的

平均車速都在區(qū)間［95,100)上的概率；

(3)出于安全考慮，測(cè)速系統(tǒng)對(duì)平均車速在區(qū)間［115,120］的汽車以實(shí)時(shí)短信形式對(duì)車

主進(jìn)行安全提醒，確保行車安全.假設(shè)每輛在此區(qū)間測(cè)速路段行駛的汽車平均車速相互

不受影響，以此次調(diào)查的樣本頻率估計(jì)總體概率，求連續(xù)2輛汽車都收到短信提醒的概

率？

【解答】解：(1)設(shè)平均車速的中位數(shù)的估值為方則0.01X5+0.02X5+0.04X5+0.06X

(%-105.0)=0.5

尤=107.5

故平均車速的中位數(shù)為1075

(2)車速在［90,95)內(nèi)的有0.01X40X5=2,車速在［95,100)的有0.02X40X5=4,

故抽取的2輛汽車的平均車速都在區(qū)間［95,100)上的概率P=芻=1

(3)設(shè)事件A為“汽車收到短信提醒”，則P(4)=0.02x5=白，

:汽車的速度不受影響，

???連續(xù)兩輛汽車都收到短信體現(xiàn)的概率?=余x存=焉.

21.(12分)如圖，以垂直于。。所在的平面，AC為。。的直徑，AB=3,8C=4,PA=

3vLAELPB,點(diǎn)產(chǎn)為線段8C上一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面平面P2C；

(2)當(dāng)點(diǎn)/移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，求P8與平面AE尸所成角的正弦值.

第23頁(yè)共26頁(yè)

【解答】（1）證明：因?yàn)锽4垂直于。。所在的平面，即E4,平面ABC,BCu平面ABC,

所以又AC為。。的直徑，所以A8_LBC,

因?yàn)锽4CAB=A,所以BC_L平面E4B,

又AEu平面E48,所以BC_LAE,

因?yàn)锽CCPB=B,

所以AE_L平面P8C,又A￡u平面AEP,

所以平面AEF_L平面PBC.

(2)解：因?yàn)锳B=3,E4=3V2,所以PB=7AB?+=灰=3小

又AE_LPB,所以AE=與祭■=粕,

由AB2=BE.PB,可得

EGBE一

如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG〃山交AB于點(diǎn)G,則一=一，可得EG=a,