山東省煙臺(tái)市棲霞市2024年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

山東省煙臺(tái)市棲霞市2024年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．2．三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用，化簡，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）A． B． C． D．3．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．4．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．閱讀下側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應(yīng)填的數(shù)字為A．4 B．5 C．6 D．76．如圖所示點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（）A． B． C． D．7．集合的子集的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．88．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，延長交右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．9．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎(jiǎng)，現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張，則至少有一張有獎(jiǎng)的概率為()A． B． C． D．10．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．或 B．或C． D．12．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的答題活動(dòng)，要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答，小李會(huì)其中的三道題，則抽到的2道題小李都會(huì)的概率為_____.14．若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______，的最大值是______.16．已知平面向量，，且，則向量與的夾角的大小為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求二面角的余弦值．18．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，且為正三角形．（1）求點(diǎn)，的極坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的最大值．20．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足.（1）求，及的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動(dòng)就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動(dòng)就業(yè)人員的贊譽(yù).某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人，得到其辦理手續(xù)所需時(shí)間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：時(shí)間人數(shù)156090754515（1）若300名辦理社保的人員中流動(dòng)人員210人，非流動(dòng)人員90人，若辦理時(shí)間超過4天的人員里非流動(dòng)人員有60人，請(qǐng)完成辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員”有關(guān).列聯(lián)表如下流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)辦理社保手續(xù)所需時(shí)間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時(shí)間超過4天60總計(jì)21090300（2）為了改進(jìn)工作作風(fēng)，提高效率，從抽取的300人中辦理時(shí)間為流動(dòng)人員中利用分層抽樣，抽取12名流動(dòng)人員召開座談會(huì)，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時(shí)間為的人數(shù)為，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87922．（10分）已知數(shù)列滿足（），數(shù)列的前項(xiàng)和，（），且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）設(shè)，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，求正整數(shù)，使得對(duì)于任意的均有．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算．【詳解】．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式，解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系．2、A【解析】分析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選：A.點(diǎn)睛：應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量．(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可；(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型．3、D【解析】

根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，4、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.5、B【解析】考點(diǎn)：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運(yùn)行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示：Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i＜5時(shí)退出，故選B．6、B【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn)，求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個(gè)曲線上，總是平行于軸，因而兩點(diǎn)不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長為，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.7、D【解析】

先確定集合中元素的個(gè)數(shù)，再得子集個(gè)數(shù)．【詳解】由題意，有三個(gè)元素，其子集有8個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查子集的個(gè)數(shù)問題，含有個(gè)元素的集合其子集有個(gè)，其中真子集有個(gè)．8、D【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，，，和中，利用勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，，，，根據(jù)對(duì)稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.9、C【解析】

先計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出兩張都沒獲獎(jiǎng)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒有獎(jiǎng)的概率，由對(duì)立事件的概率關(guān)系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張，共有種情況，2張均沒有獎(jiǎng)的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率、對(duì)立事件的概率關(guān)系，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

解一元二次不等式化簡集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】，.因?yàn)椋杂?，因此?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、A【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于的不等式，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，解得或.因此，函數(shù)的定義域?yàn)榛?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，，因?yàn)?，所以，或，因?yàn)闀r(shí)，，或時(shí)，，，其圖象如下：當(dāng)時(shí)，至多一個(gè)整數(shù)根；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會(huì)的情況有3種，即可得到概率.【詳解】由題：從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答，共有種，小李會(huì)其中的三道題，則抽到的2道題小李都會(huì)的情況共有種，所以其概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個(gè)數(shù).14、【解析】

化簡函數(shù)，求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間，然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增，列出不等式求解即可．【詳解】由知，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在和上均單調(diào)遞增，，

，

的取值范圍為：．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組，屬中檔題．15、【解析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出的表達(dá)式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），，令，則且，，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，取得最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16、【解析】

由，解得，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以，所以向量與的夾角的大小為．都答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，平面向量垂直，向量夾角等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）由已知可證明平面，從而得證面面垂直，再由，得線面垂直，從而得，由直角三角形得結(jié)論；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示二面角．【詳解】（1）證明：連接，，．，，平面．平面，平面平面．，為的中點(diǎn)，．平面平面，平面．平面，．為斜邊的中點(diǎn)，，（2），由（1）可知，為等腰直角三角形，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，記平面的法向量為由得到，取，可得，則．易知平面的法向量為．記二面角的平面角為，且由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角．在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時(shí)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解空間角，可避免空間角的作證過程，通過計(jì)算求解．18、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由，得，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；由，得，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).則，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.不妨設(shè)，其中，令，則或.（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).此時(shí)，而，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，所以，.，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵，屬于難題.19、（1），；（2）.【解析】

（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線的方程，可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，為正三角形，所以點(diǎn)在曲線上．又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)是，從而，點(diǎn)的極坐標(biāo)是．（2）由（1）可知，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，B的直角坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線的方程，有即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．，所以的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和參數(shù)方程綜合，考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化，參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20、（1）；.；（2）【解析】

（1）根據(jù)題意，知，且，令和即可求出，，以及運(yùn)用遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式；（2）通過定義法證明出是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）由題可知，，且，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，由已知可得，且，∴的通項(xiàng)公式：.（2）設(shè)，則，所以，，得是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：，即，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：.【點(diǎn)睛】本題考查通過遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力.21、（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測值，即可進(jìn)行判斷；（2）先計(jì)算出時(shí)間在和選取的人數(shù)，再求出的可取值，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求得分布列，結(jié)合分布列即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有流動(dòng)人