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福建廈門(mén)雙十中學(xué)2024年高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B.4 C. D.2.已知直線(xiàn):()與拋物線(xiàn):交于(坐標(biāo)原點(diǎn)),兩點(diǎn),直線(xiàn):與拋物線(xiàn)交于,兩點(diǎn).若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.3.如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī),算法框圖中輸入的,,,,為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī),則輸出的,分別是()A., B.,C., D.,4.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足,若是奇函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.5.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題6.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是D.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是7.已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.8.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線(xiàn)圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.①甲同學(xué)的成績(jī)折線(xiàn)圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線(xiàn)圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線(xiàn)性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.19.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有2對(duì),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知滿(mǎn)足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.211.已知雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn),則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.12.已知等差數(shù)列的公差不為零,且,,構(gòu)成新的等差數(shù)列,為的前項(xiàng)和,若存在使得,則()A.10 B.11 C.12 D.13二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則__________.14.已知函數(shù),若對(duì)于任意正實(shí)數(shù),均存在以為三邊邊長(zhǎng)的三角形,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.15.電影《厲害了,我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線(xiàn),網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕傲,我為我是中國(guó)人驕傲!”《厲害了,我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人,不忘初心,用奮斗書(shū)寫(xiě)無(wú)悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國(guó)》,并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)不同的盒子里,讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè):甲說(shuō):第1個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是乙說(shuō):第2個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是丙說(shuō):第4個(gè)盒子里放的是,第2個(gè)盒子里放的是丁說(shuō):第4個(gè)盒子里放的是,第3個(gè)盒子里放的是小明說(shuō):“四位朋友你們都只說(shuō)對(duì)了一半”可以預(yù)測(cè),第4個(gè)盒子里放的電影票為_(kāi)________16.的展開(kāi)式中,的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.18.(12分)如圖,四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中點(diǎn).(1)求證:VA∥平面BDE;(2)求證:平面VAC⊥平面BDE.19.(12分)如圖,已知平面與直線(xiàn)均垂直于所在平面,且.(1)求證:平面;(2)若,求與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知矩陣,.求矩陣;求矩陣的特征值.21.(12分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo),規(guī)定凡在該超市購(gòu)物滿(mǎn)400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(1)求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),它們的前項(xiàng)和分別為,且,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的的值;若不存在,說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的的值,當(dāng),,退出循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循環(huán),輸出結(jié)果為,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題目.2、D【解析】
設(shè),,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程,消去、列出韋達(dá)定理,再由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設(shè),,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合應(yīng)用,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.3、B【解析】
試題分析:由程序框圖可知,框圖統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)不小于80和成績(jī)不小于60且小于80的人數(shù),由莖葉圖可知,成績(jī)不小于80的有12個(gè),成績(jī)不小于60且小于80的有26個(gè),故,.考點(diǎn):程序框圖、莖葉圖.4、A【解析】
構(gòu)造函數(shù),根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù),求得的值,由此化簡(jiǎn)不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),依題意可知,所以在上遞增.由于是奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.5、B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類(lèi)討論打開(kāi)絕對(duì)值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對(duì)于命題q,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),,由,得,無(wú)解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯(cuò)誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯(cuò)誤;為真命題,D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類(lèi)討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.6、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的周期,所以.將點(diǎn)代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是,故C正確;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是,故D正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式,同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性的判斷,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.7、C【解析】
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程即可求出雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng),進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得,而雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸,所以,得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
利用圖形,判斷折線(xiàn)圖平均分以及線(xiàn)性相關(guān)性,成績(jī)的比較,說(shuō)明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線(xiàn)圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性,最高130分,平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線(xiàn)圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線(xiàn)性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線(xiàn)圖的應(yīng)用,線(xiàn)性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
考慮當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,令,則有兩個(gè)不同的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有2對(duì),所以時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令,則在有兩個(gè)不同的零點(diǎn).又,當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),在上至多一個(gè)零點(diǎn),舍.當(dāng)時(shí),若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn),所以,解得.又當(dāng)時(shí),且,故在上存在一個(gè)零點(diǎn).又,其中.令,則,當(dāng)時(shí),,故為減函數(shù),所以即.因?yàn)?,所以在上也存在一個(gè)零點(diǎn).綜上,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明零點(diǎn)的存在性,本題屬于難題.10、A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
由雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn),列出方程求出的值,即可求解雙曲線(xiàn)的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn),可得,解得,此時(shí)雙曲線(xiàn),則曲線(xiàn)的離心率為,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由,,構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得:又所以時(shí),.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,得到,再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,即,所以,即,解得.故答案為:10【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對(duì)任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個(gè)式子的取值范圍由的符號(hào)決定,故分為三類(lèi)討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù),都存在以為三邊長(zhǎng)的三角形,故對(duì)任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則;當(dāng),即時(shí),,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,解得;當(dāng)時(shí),,滿(mǎn)足條件;當(dāng)時(shí),,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類(lèi)討論思想與轉(zhuǎn)化思想.15、A或D【解析】
分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的,然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解:假設(shè)甲說(shuō):第1個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,則乙說(shuō):第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丙說(shuō):第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丁說(shuō):第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,由此可知第4個(gè)盒子里面放的是;假設(shè)甲說(shuō):第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,則丙說(shuō):第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,乙說(shuō):第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,丁說(shuō):第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的,由此可知第4個(gè)盒子里面放的是.故第4個(gè)盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)組合的知識(shí),結(jié)合組合數(shù)的公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:項(xiàng)來(lái)源可以是:(1)取1個(gè),4個(gè)(2)取2個(gè),3個(gè)的系數(shù)為:故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的知識(shí),熟悉二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中每一項(xiàng)的來(lái)源,實(shí)質(zhì)上每個(gè)因式中各取一項(xiàng)的乘積,轉(zhuǎn)化為組合的知識(shí),屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)連結(jié)OE,證明VA∥OE得到答案.(2)證明VO⊥BD,BD⊥AC,得到BD⊥平面VAC,得到證明.【詳解】(1)連結(jié)OE.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),又因?yàn)镋是棱VC的中點(diǎn),所以VA∥OE,又因?yàn)镺E?平面BDE,VA?平面BDE,所以VA∥平面BDE;(2)因?yàn)閂O⊥平面ABCD,又BD?平面ABCD,所以VO⊥BD,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以BD⊥AC,又VO∩AC=O,VO,AC?平面VAC,所以BD⊥平面VAC.又因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面VAC⊥平面BDE.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面平行,面面垂直,意在考查學(xué)生的推斷能力和空間想象能力.19、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(Ⅰ)證明:過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),∵平面⊥平面,∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面(Ⅱ)∵平面∴,又∵∴∴∴點(diǎn)是的中點(diǎn),連結(jié),則∴平面∴∥,∴四邊形是矩形設(shè),得:,又∵,∴,從而,過(guò)作于點(diǎn),則∴是與平面所成角∴,∴與平面所成角的正弦值為考點(diǎn):面面垂直的性質(zhì)定理;線(xiàn)面平行的判定定理;線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理;直線(xiàn)與平面所成的角.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了線(xiàn)面平行的證明和直線(xiàn)與平面所成的角,屬立體幾何中的常考題型,較難.本題也可以用向量法來(lái)做:用向量法解題的關(guān)鍵是;首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系,正確求解平面的一個(gè)法向量.注意計(jì)算要仔細(xì)、認(rèn)真.≌20、;,.【解析】
由題意,可得,利用矩陣的知識(shí)求解即可.矩陣的特征多
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