高考數(shù)學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)考試卷《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)》含解析

高考數(shù)學(xué)高三上學(xué)期考試卷《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)》

1.航天之父、俄羅斯科學(xué)家齊奧科夫斯基(K.E.Tsiolkovsky)于1903年給出火箭最大速度的計(jì)算公式丫=

Voln(l+^).其中，人是燃料相對(duì)于火箭的噴射速度，M是燃料的質(zhì)量，，如是火箭(除去燃料)的質(zhì)量，v是

火箭將燃料噴射完之后達(dá)到的速度.已知％=2km/s,則當(dāng)火箭的最大速度v可達(dá)到10km/s時(shí);火箭的總

質(zhì)量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的質(zhì)量的()倍

A.e5B.e5—1C.e6D.e6—1

【答案】A

【考點(diǎn)】新情景問(wèn)題下的指對(duì)數(shù)運(yùn)算

【解析】由題意可知，21n(1+當(dāng))=10,則1+2="土色=e5,即火箭的總質(zhì)量(含燃料)至少是火箭(除去

燃料)的質(zhì)量的e5,故答案選A.

2.在ZkABC中，“A<8”是“A-B<cosB-cos4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【考點(diǎn)】條件的判斷、函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用

【解析】由題意可知，由A—B<cosB—cosA可構(gòu)造函數(shù)兀r)=x+cosx,則八x)=1—sinxNO,即函數(shù)凡0在

定義域上單調(diào)遞增，而在aABC中，由AV3可得到A+cos4VB+cosB,即A-8<cosB-cosA,反之亦可

推出，則“AVB”是“A-8<cosB-cos4”的充要條件，故答案選C.

3.已知函數(shù)本)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(一8,0］上是減函數(shù)，42)=0,則不等式於一1次》)<0的解

集是

A.(-2,2)B.(-00,-2)U(1,2)

C.(-00,-1)U(O,3)D.(-2,-1)U(2,3)

【答案】D

【考點(diǎn)】利用函數(shù)的性質(zhì)求解不等式

【解析】由題意可知，,/(x)在［0,+再上是增函數(shù)，且八-2)=0,所以當(dāng)XV—2或x>2時(shí)，式x)>0,當(dāng)一2

<x<2時(shí)，兀0<0,則①/(x-l)>0且,/)<0時(shí)，即x—l>2或x—lV—2,-2<x<2,解得一2cx<—1：

②/伏-1)<0且<x)>0時(shí)，即一2<》一1<2,》<-2或x>2,解得2Vx<3：綜上不等式的解集為(-2,-

1)U(2,3),故答案選D.

4.已知函數(shù)g(X)=./(X)一大一X),若X1WX2，則

A.大為次X2)=八Xl+及)B.7(X|)+y(X2)=/(XlX2)

可+芻g(Xl)+g(X2)

c.Xlg(Xl)+x吆(X2)>X|g(X2)+x2g(X|)D.g(—丁)W----弓----

【答案】AC

【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用

【解析】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,人工|)/(*2)=，％*2=，1+*2=區(qū)即+*2),故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)

+./(X2)=d'1+/2,人處及)=。中2差大制)+1松)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)楹瘮?shù)./)=〃3>1)為單調(diào)遞

增函數(shù)，所以g(x)=/(x)—/(一X)亦為單調(diào)遞增函數(shù)，所以(XI—X2)(g(xi)—g(X2))>0,展開(kāi)得Xlg(Xl)—X|g(X2)一

X吆(X|)+x2g(X2)>0，即Xlg3)+X吆(X2)>Xlg(X2)+x吆(X|),故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,可取值為=-2,X2

=0,代入驗(yàn)證可知錯(cuò)誤，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上，答案選AC.

2s帝，

5.已知函數(shù)fix)=<若存在實(shí)數(shù)X|,X2,X3,X4(X|<X2<X3<X4)滿(mǎn)足

|log2(x—1)1，

/(X,)=XX2)=Jlx3)=X%4)-m,則

A.OW/HWIB.x)+x2=|

C.X3X4—X3—X4=oD.X32+X42^>8

【答案】BCD

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

【解析】結(jié)合函數(shù)/)的圖像，可知0<加<2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)一件Wx?時(shí)，火x)=2sin§x的對(duì)稱(chēng)軸為

X=-V，所以Xl+X2=-I，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，於）=|1og2（x—l）|,所以於3）=|10g2（X3—l）l=AX4）=

|10g2（X4—1）|）所以10g2（X3—l）+10g2（X4-l）=10g2（X3—1）。4-1）=0,所以。3—1）（X?—1）=1,所以4以一心一

%4=0,故選項(xiàng)C正確；因?yàn)閄3X4—X3~X4=0,所以用+工4=片乂》正所以片+工424,（-3%4）2

24,所以心2+值228,等號(hào)不成立，所以選項(xiàng)D正確；綜上，答案選BCD.

6.若a,b,c滿(mǎn)足2a=3,Z>=log25,c=log32,則（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a〈b〈cD.c<b<a

【答案】A

【考點(diǎn)】比較大小

【解析】由題意可知,因?yàn)?"=3,所以b=k?g23>log22=l,而b=k?g25>log23,c=log32<log33=l,所

以cVa<b,故答案選A.

7.2021年5月，中國(guó)西部地區(qū)地震頻繁，據(jù)中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)正式測(cè)定，5月21日21時(shí)48分，云南大理州

漾潺縣發(fā)生里氏6.4級(jí)地震；5月22日2時(shí)4分，青海省瑪多縣發(fā)生里氏7.4級(jí)地震.科學(xué)家通過(guò)研究，發(fā)

現(xiàn)地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lg￡=4.8+1.5M.設(shè)漾源縣地震所釋

放的能量為昂，瑪多縣地震所釋放的能量為員，則曾約等于（）

A.10B.15C.30D.32

【答案】D

【考點(diǎn)】新情景問(wèn)題下的指對(duì)數(shù)的運(yùn)算

【解析】由題意可知，lgE2=4.8+1.5X7.4,IgEi=4.8+1.5義6.4,所以麻2—楣笈=1甌=1.5,所以寸=10「5

亡32,故答案選D.

8.已知函數(shù)兀v)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，Kx)=/-4x,則不等式Xx+2)V5的解集為()

A.(—3,7)B.(—4,5)C.(—7,3)D.(—2,6)

【答案】C

【考點(diǎn)】利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式

【解析】由題意可知，因?yàn)楹瘮?shù)兀0為偶函數(shù)，所以.*僅+2|)=//+2),則不等式兀r+2)V5可化為4x+2|)

<5,即卜+2|2—4僅+2]<5,可化為(僅+2|+1)(k+2|-5)<0,解得以+21V5,解得一7cx<3,故答案選C.

9.函數(shù)應(yīng)r)的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是()

A.0</(2)</(3)</(3)-A2)B.0寸(3)〈述3)—式2)<八2)

C.0</(3)</(2)</3)-/(2)D.0</3)-/(2)</(2)</(3)

【答案】B

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線斜率

【解析】由題意可知，由圖象可知函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故[(x)>0,結(jié)合圖形由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,

即切線的斜率可知，/(3)</3)-^2)</(2),故答案選B.

10.(2022?江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)

已知函數(shù)段)="(“>1),若存在實(shí)相，〃使得人》)的定義域和值域都為I，”，nJ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(1,elB.(1,a2)B.(1,ee)D.(ee,e)

【答案】C

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域與值域、構(gòu)造新函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等

【解析】由題意可知，dn=m,an=n,則函數(shù)/=x(x>0)有兩個(gè)不等的根，即xlna=lnx,化為lna=中(x

>0)有兩個(gè)不等的根，即曲線儀幻=半與直線y=lna有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)樗援?dāng)xe(0,e)時(shí)，

gQ)>0,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x￡(e,+8)時(shí),g《X)V0,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)X=e時(shí),g(x)max

=g(e)=3且易知當(dāng)X趨向于。時(shí)，g(x)趨向于一8，當(dāng)x趨向于+8時(shí)，g(x)趨向于0,所以曲線g(x)=一■

11

與直線y=ln“有兩個(gè)交點(diǎn)，可得0Vlna<j解得l<a<e展，故答案選C.

11.(多選題)已知a>0,b>0,且bRl,若10&力>1,則下列不等式可能正確的是()

A.(b-l)(b~a)>0B.3—1)3—6)>0

C.(a—1)0—1)<0D.(a~\)(b~a)>0

【答案】AD

【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用

【解析】由題意，因?yàn)閘og/>l,且k>g<,a=l,所以①當(dāng)”>1時(shí)，則即6>a>l,所以(3—1)出一a)

>0,(a—1)3—0>0,故選項(xiàng)A、D正確；②當(dāng)0<“<1時(shí)，則0<b<a<l,所以3—1)5一6)<0,(?-

1)(6—1)>0,故選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；綜上，答案選AD.

12.(多選題)已知犬x)是定義在R上的偶函數(shù)，且|x+3)=/(x—1),若當(dāng)xd[O,2]時(shí)，兀0=2*—1,則

下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)xe[—2,0]時(shí)，J(x)=2~x-\B.火2019)=1

C.y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)⑵0)對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)g(x)=/(x)—logM有3個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABD

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】由題意，已知_/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且貝x+3)=/a—l),即該函數(shù)周期為4,又因?yàn)閤W[O,

2]時(shí)，應(yīng)》=2*—1,當(dāng)xG[-2,0]時(shí)，-xd[0,2J,fix)=J(-x)=2~x-\,所以選項(xiàng)A正確；/2019)=/4

X505-1)=/(-1)=犬1)=1,所以選項(xiàng)B正確；y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，則犬3)+式1)=0,但是式3)

=/(-1)=/0)=1，式3)+/(1)彳0與43)+貝1)=。矛盾，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；可作出函數(shù)y=/(x)，y=log2X的圖

象即可得到，函數(shù)g(x)=/(x)—log2X有3個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確；綜上，答案選ABD.

【答案】ABC

【考點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別與判斷

【解析】由題意，①若。>0,不妨取。=1,則_/(》)=9一，則函數(shù)定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí),

的)=0,當(dāng)XW0時(shí)，函數(shù)可化為/)=-4，則/)在(一8,-1),(1,+<?)上單調(diào)遞減，在(T,0),(0,

1)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B可能;

Y

②若QVO,不妨取。=—1,則---，定義域?yàn)閧x|xW±l},且為奇函數(shù)，當(dāng)x=O時(shí)，貝0)=0,當(dāng)x

x—1

ro時(shí)，則以)在(-8,-1),(-1,0),(0,1),(1,+8)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A可能；故不

X—

X

可能是選項(xiàng)D；綜上，答案選ABC.

14.(多選題)已知函數(shù)加)=廿一ax,xWR(e為自然對(duì)數(shù))，則下列判斷正確的是()

A.當(dāng)“=1時(shí)，函數(shù)；(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增

B.當(dāng)a=0時(shí)，./(x)—lnx23在(0,+oo)上恒成立

C.對(duì)任意的。<0,函數(shù)應(yīng)r)在(-00,0)上一定存在零點(diǎn)

D.存在。>0,函數(shù)<x)有唯一極小值

【答案】CD

【考點(diǎn)】含參函數(shù)的綜合應(yīng)用：?jiǎn)握{(diào)性、恒成立、零點(diǎn)、極值等

【解析】由題意，對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=e*—x,/(x)=e*—I,當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0,故?r)在區(qū)間(一

00,0)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)a=0時(shí)，式的=廿，此時(shí),/(k-InxMeX-Inx,因?yàn)閄1)

-lnl=e'-0<3,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)“<0時(shí)，/(x)=e'—ax,/(x)=e'-a>0,故犬x)在R上為

增函數(shù)，又五0)=1,./(:)=/—IVO,./(X)在區(qū)間(一8,0)上一定存在零點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,取

4=2,則負(fù)x)=e，-2x,/(x)=e*—2,當(dāng)x〈ln2時(shí)，/(x)V0,當(dāng)x>ln2時(shí)，/(x)>0,故兀v)有唯一的極小值

點(diǎn)x=ln2,故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選CD.

15.(2022?江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)

已知函數(shù)/)=［鬻::4°,則4—2022)=_____.

\j\-XIJ)fXU

【答案】一2

【考點(diǎn)】分段函數(shù)求函數(shù)值

【解析】由題意可知，八一2022)=/(—2019)=…=/(—2022)=/(0)=log3(0+1)—2=-2.

16.已知函數(shù)人x)滿(mǎn)足：?x+y)=/(必?)，且當(dāng)x＞y時(shí)，式x)＞用)，請(qǐng)你寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)共0

【答案】兀0=2'(答案不唯一)

【考點(diǎn)】開(kāi)放性試題：函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

【解析】由題意，因?yàn)镠x+y)=/(xy(y),所以考慮指數(shù)函數(shù)式》)="，當(dāng)x＞y時(shí)，＞U)＞y&),所以。＞1,則

可寫(xiě)出一個(gè)符合的條件為：y(x)=2\

17.已知函數(shù)＜x)=or—/+3,g(x)=4'—2,若對(duì)于任意.，x2e(O,1］,都有?ri)2g(X2)成立，則。的取

值范圍為.

【答案】［0,+oo)

【考點(diǎn)】函數(shù)的恒成立問(wèn)題

【解析】由題意，段)=如一/+3,g(x)=4*—2,且對(duì)于任意X”X2G(0,1］,都有式》)》g(X2)成立，則1Axl)min

2g(X2)max，因?yàn)橐浴?=4'-2在(0,1］上單調(diào)遞增，所以g(x)max=g(1)=2,所以如一/+322對(duì)于任意任意

Xd(0,1］恒成立，即一;對(duì)于任意xG(0,1］恒成立，又以X)=X一:在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，所以/7(x)max

="1)=0,所以則。的取值范圍為［0,+oo).

18.己知函數(shù)段)=f；'①若a=l,則不等式7(x)Wl的解集為；②若存在實(shí)數(shù)4使函數(shù)g(x)

=y(x)—b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(-8,0］；(-00,2)U(4,+oo)

【考點(diǎn)】雙空題：分段函數(shù)解不等式、零點(diǎn)問(wèn)題

(2X,xWl

【解析】由題意，①當(dāng)”=1時(shí)，處0=,若xWl,即2，W1,解得xWO；若X＞1,即/W1,解得

一lWxWl,故的解集為(-8,0］；②g(x)=/U)—b的零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為＞=兀￥)和＞=〃圖象的交點(diǎn)

可題，即2"=*2時(shí)，X=2或x=4,當(dāng)。=2時(shí)，危尸仁'此時(shí)g(x)=ya)—Z?只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)。＜2

(2X,xW4

時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=4時(shí)，式*)=^2,x＞4'此時(shí)g(x)=Ax)一方只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)。＞4時(shí)，有2個(gè)

零點(diǎn)：當(dāng)2VaV4時(shí)，g(x)最多只有1個(gè)零點(diǎn)，故可得a的取值范圍是(一8,2)U(4,+oo).

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖形識(shí)別與判斷

21—e

【解析】由題意可知，4x)=(l)sinx=—7-sinx,則火一的=加),且次2)V0,則排除選項(xiàng)A、C、D,

1+ev1+e

故答案選B.

丫2.-A

20.已知凡r)=e'若犬。㈤，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

、鏟一1,x>0

A.(—00,0]B.(—co,1]C.(-8,D.1]

【答案】c

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的不等式應(yīng)用

【解析】由題意可知，函數(shù)式x)的圖像如圖所示，分別求出函數(shù)Kx)在原點(diǎn)處的切線方程，如圖所示，若使

得犬勸》。仇|恒成立，當(dāng)aWO時(shí)，顯然成立，因?yàn)?<1,故當(dāng)。>0時(shí)，不等式恒成立，則只需aW：即可，

故答案選C.

21(多選題)若〃(其中巾為整數(shù))，則〃?叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m.設(shè)函數(shù)40

=|x—{x}|,下列結(jié)論正確的是()

A.{1)=1B.1-地)=也一1C.兀r)w￡D.函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)

【答案】BCD

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)樗运閩=0,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，K—45)

=|小一{啦}|=|一也+1|=正-1,故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,/)的值域?yàn)閇0,1],所以於尾，故選項(xiàng)

C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)槿艘粁)=|(—x)—{(一x)}|=|-x—{幻|=卜一{x}|=/(x),所以函數(shù)y=y(x)是偶函數(shù)，

故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選BCD.

22.(多選題)已知函數(shù)?r)=ex,g(x)=lnx,下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=y(x)—g(x)在(0,：)上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=7(x)—g(x)的最小值為2

C.若P,。分別是曲線y=/(x)和y=g(x)上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為我

D.若貝x)—l)x對(duì)xG(0,+s)恒成立，則0<n?We

【答案】ACD

【考點(diǎn)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用：函數(shù)的單調(diào)性、最值、恒成立問(wèn)題等

【解析】由題意可知，令力(1)=於)一g(x)=e，-Inx,則力。)=?入一；，力"(幻=&'+育>0在(0,+oo)上恒成立，

\-1\

則在(0,+s)上單調(diào)遞增，而"q)=ee—e〈o,故〃3<0在(0,J上恒成立，即〃(外在(0,J上單調(diào)遞

減，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)镸l)=e—l>0,故存在的￡(；，1)，使得做m)=e"°—；=0,所以e'°=；,解得

e的的

lnxo=—xo,所以當(dāng)x￡(0,xo)時(shí)，h\x)<0,即函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x￡(xo，+s)時(shí)，/(x)>0,即函數(shù)〃(x)

單調(diào)遞增，所以以x)min=〃ao)=e'°—lnxo=xo+；，因?yàn)?)，所以沏+；>2,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于

司e沏

選項(xiàng)C,曲線凡r)與直線y=x+l相切于點(diǎn)A(0,1),函數(shù)g(x)與直線了=%一1相切于點(diǎn)3(1,0),則|尸。|的

最小值為依用=也，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,若於)一gSu)2(m—l)x對(duì)x￡(0,+s)恒成立，則ex—\nmx

2(〃?一l)x對(duì)x￡(0,+oo)恒成立，即x+e共2〃a+111〃?工=”""+1皿/,可設(shè)F(x)=x+ev,易可知尸(%)在(0,

+co)上單調(diào)遞增，則尸(x)2F(ln〃?x)可化為xBlnnzx,即InmWx-lar,可設(shè)H(x)=x—lar,易可知H(x)在(0,

1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=l時(shí)，"a)min="(l)=l，貝iJlnmWl,解得mWe,又因

為m>0,所以O(shè)VmVe,故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選ACD.

23.已知於)=sinx+cosx,若丁=人工+。)是偶函數(shù)，則cos6=.

【答案】土坐

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性應(yīng)用

【解析】由題意可知，於)=^sin(x+；),則於+。)=乎sin(x+O+；),因其為偶函數(shù)，所以。+；=畀屈,

7TTTA/2

kGZ,所以。=^十%兀，kGZ,所以cose=cosq+E)=±：-.

24.已知函數(shù),/(x)=x3+〃a，若7(e92#工-1)對(duì)xER恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【答案】［-1,+oo)

【考點(diǎn)】不等式的恒成立問(wèn)題

【解析】由題意可知，令/?。)=?！币?%—1),易可知〃(x)22恒成立，且/(工)=3P+m，則當(dāng)機(jī)20時(shí)，/(x)

20,即/U)在R上單調(diào)遞增，則次切罰入一1)對(duì)x￡R恒成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)〃7Vo時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)7U)為奇

函數(shù)，所以可得2<一mW2,解得加2—1,則一1V0,綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為［-1,+oo).

25.函數(shù)/（x）=（x—；）cosx在其定義域上的圖像大致是（）

【答案】C

【考點(diǎn)】函數(shù)圖象的識(shí)別與判斷

26.已知3*=2'=f,q+"=2,則f=（）

A.2^6B.mC.36D.6

【答案】B

【考點(diǎn)】指對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)與計(jì)算

-x+3]Vx<4

Md.若對(duì)任意的，

{1—lOg2%，

+i],不等式y(tǒng)（2—x）q（x+i+f）恒成立，則實(shí)數(shù)，的最大值為（）

A.—1B.—1C.—1D.1

【答案】C

【考點(diǎn)】函數(shù)的恒成立問(wèn)題

28.多選題）已知a>0,,〃（x）=e"?——simtr,若/（x）存在唯一零點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（）

A.皿此在R上單調(diào)遞增

B.m（x）圖像關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱(chēng)

C.任取不相等的實(shí)數(shù)為，X2GR,均有''（皿七1）

D.a若

【答案】ABD

【考點(diǎn)】函數(shù)的綜合應(yīng)用

29.設(shè)a=log43,h=log54,，貝心也。的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)換可確定3<0.8<logs4；設(shè)〃x)=2X-x—l(x<。)，利用導(dǎo)數(shù)

可確定當(dāng)x<0時(shí)，2*>x+l，由此得到>0.99>log54,進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】=1048576-58=390625，59=1953125，d=65536，y°=59049，

2—

4,0<59.即4<5而，???Iog54<log55iu=0.9；

844

4°討，即4>5m=5§，，log54>log553=0.8；

844

4s>310>即3<中。=43‘log43<log&43=0.8；??唾54>1。843,即a<b.

設(shè)"力=2'-x—1(x<()),則f(x)=2、In2—1,

當(dāng)x<0時(shí)，2Ae(O,l),又In2G(0,1),.?.2'ln2w(O,l),.?/(%)<(),

.??/(x)在(f,0)上單調(diào)遞減，.??/(x)>/(0)=0,即當(dāng)x<0時(shí)，2*>x+l，

2<°i>-0.01+1=0.99>0.9,logs4<2一°小，即b<c.

綜上所述：a<h<c.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)比較大小的問(wèn)題，在此類(lèi)問(wèn)題中，此題屬于較難題；解題關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)

用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)換、導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的方法確定臨界值，進(jìn)而通過(guò)臨界值確定大小關(guān)系.

30.復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組列車(chē)，是中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車(chē)組的中文命名，由中國(guó)鐵路總公司牽頭組織研制、具有完全自主

知識(shí)產(chǎn)權(quán)、達(dá)到世界先進(jìn)水平的動(dòng)車(chē)組列車(chē).2019年12月30日，以縱-C智能復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組在京張

高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速350km自動(dòng)駕駛，不僅速度比普通列車(chē)快，而且車(chē)內(nèi)噪聲更小.我們用聲強(qiáng)/(單位：W/m?表

示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級(jí)乙(單位：dB與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為

L=101g(fl/)；已知/=10,W/m2時(shí)，L=1(H3.若要將某列車(chē)的聲強(qiáng)級(jí)降低3()dB,則該列車(chē)的聲強(qiáng)應(yīng)變

為原聲強(qiáng)的()

A.IO"倍B.10＜倍C.10-3倍D.1()-2倍

【答案】C

【解析】

【分析】由題設(shè)可得a=10-3,代入函數(shù)式，由指對(duì)數(shù)的關(guān)系有/=]。得+3,進(jìn)而求聲強(qiáng)級(jí)降低30dB的聲

強(qiáng)應(yīng)用指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)求聲強(qiáng)的比值.

【詳解】由題設(shè)，101g(10%)=i0,解得。=10-3,則L=i01g(l(y3/)=10(lg/-3),

,=]0歷+3,要使聲強(qiáng)級(jí)降低30dB,則廠=J?！?3=10記，

.?二正也.

110歷"

故選：c

31.(多選題)已知函數(shù)/(x)=x+2tanx,其導(dǎo)函數(shù)為/*),設(shè)g(x)=/(x)cosx,則()

A./(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B./(x)在R上單調(diào)遞增

D.g(x)在(0,5)上的最小值為2及

C.2%是g(X)的一個(gè)周期

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)A：求出了(X)定義域，再利用奇偶性的定義判斷即可；

對(duì)B：利用/(x)的導(dǎo)數(shù)可判斷；

對(duì)C：計(jì)算g(x+2乃),看是否等于g(X)即可；

對(duì)D：設(shè)f=8SX,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得最值.

【詳解】/(x)=x+2tanx的定義域是》吟+版■，丘z},其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且

/(-%)=一元+2tan(-x)=—x—2tanx=-(x+2tanx)=—/(x),

所以是奇函數(shù)，所以/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A項(xiàng)正確；

，2，2

由/(%)=x+2tanx,得/'(%)=1+———,則g(x)=/'(x)cosx=cos%+----.

cos“xcosx

2(71TC

/(x)=l+—「>0恒成立，所以/(x)在一彳+版",7+%萬(wàn)伏￡Z)上單調(diào)遞增，并不是在R上單調(diào)

cosx<22)

遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由g(x)=cosx+旦，得函數(shù)g(x)的定義域是{xl+版■，女

cosxI2J

22(71^

g(x+2;r)=cos(x+2")+—-———=cosx+----=g(x),故C項(xiàng)正確；設(shè)，=cosx,當(dāng)工引0,；

cos(x+21)cosxIT2)

2

時(shí)，/e(0,l),此時(shí)//(f)=g(x)=f+7，rw(0,l),根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，〃⑺在(0/)上單調(diào)遞減，

」.g(x)>〃⑴=3,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

32.寫(xiě)出一個(gè)最大值為3,最小正周期為2的偶函數(shù)/(x)=.

【答案】3cosG(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)解析式

【詳解】解：因?yàn)?(尤)是最大值為3,最小正周期為2的偶函數(shù)，

所以/(x)=3cos%x,或/(x)=cos〃x+2,或/(x)=2cos乃x+I等(答案不唯一)，

故答案為：3cos4x(答案不唯一)

33.若二次函數(shù)〃力=2廠+3的圖象與曲線C：g(x)=ae'+3(a>0)存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是.

【答案】

【解析】

【分析】設(shè)公切線與/(X)、g(x)的切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，斜率公式化簡(jiǎn)，分理出a后構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值即可求解.

【詳解】由/(x)=2f+3可得/[x)=4x,由g(x)=ae*+3可得g'(x)=ae',

設(shè)公切線與,f(x)=2x2+3的圖象相切于點(diǎn)伍,2x：+3),與g(x)=ae'+3的圖象相切于點(diǎn)(X2，ae&+31

2

而卜”.Q+3-(2x；+3)2x1-x,

所以4%=ae2=-----------------------=--------J,即2王=一!——-,

X2-Xt工2一%

可得玉=0或2々=玉+2,因?yàn)?玉=。6應(yīng)，〃>(),貝2/=%+2>2,即々>1,

?！?4(2々2)=8(々-1),無(wú)2>],令力(力=吃二D,x>l,可得

e*產(chǎn)小e*

/(x)=8e,-8；(x-1)二更三名,由"(x)>0可得l<x<2；由/(x)<0可得x>2,

所以〃(x)=8(1)在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,”)上單調(diào)遞減，

所以〃所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是]0,：,

故答案為："

34.在用計(jì)算機(jī)處理灰度圖像(即俗稱(chēng)的黑白照片)時(shí)，將灰度分為256個(gè)等級(jí)，最暗的黑色用0表示，最亮

的白色用255表示，中間的灰度根據(jù)其明暗漸變程度用。至255之間對(duì)應(yīng)的數(shù)表示，這樣可以給圖像上的

每個(gè)像素賦予一個(gè)“灰度值”.在處理有些較黑的圖像時(shí)，為了增強(qiáng)較黑部分的對(duì)比度，可對(duì)圖像上每個(gè)

像素的灰度值進(jìn)行轉(zhuǎn)換，擴(kuò)展低灰度級(jí)，壓縮高灰度級(jí)，實(shí)現(xiàn)如下圖所示的效果：

處理前處理后

則下列可以實(shí)現(xiàn)該功能的一種函數(shù)圖象是

新F度值新產(chǎn)度值新7度《

產(chǎn)1jt1新*度值

:原灰度值\原灰度值

a25S-*2S5-*CT

A,B.CD.

【答案】A

【考點(diǎn)】新情景問(wèn)題下的函數(shù)的圖象問(wèn)題

【解析】由題意，灰度處理從較黑的圖象到較黑的圖象，灰度值需要從0到255,且擴(kuò)展低灰度級(jí)，壓縮高

灰度級(jí)，則只有選項(xiàng)A滿(mǎn)足，故答案選A.

lgalg-=lgclgY

35.(多選題)已知互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)mb,c都大于1,且滿(mǎn)足ch,則小b,c的

大小關(guān)系可能是()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

【答案】AB

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)lgGlgq=lgc-lgf,構(gòu)造關(guān)于X的方程x2—2xlgc+lgc/g/2=0,考慮判別式大于等于

cb

零；再構(gòu)造函數(shù)/(x)=x2—2xlgc+lgc」g。討論零點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸位置，判斷a,b,C的大小關(guān)系.

【詳解】由已知，lga(lga—lgc)=lgc(lga-lg/?),即lg2a—21ga」gc+lg/?」gc=0.

則關(guān)于x的方程x2—2xlgc+1gc?1g8=0有正實(shí)根，

所以△=41g2c-41gc-lg/?=41gc(lgc-1g/?)>0.

因?yàn)閎#c,b>l,c>l,則lgc>lg。，所以c>/?.

設(shè)/(x)=f—2xlgc+lgc/gb,則二次函數(shù)/(幻的關(guān)于直線x=lgc對(duì)稱(chēng)，且/(lga)=O,

/(lg/?)=lg2b-lg/>lgc=lg>(lgZ?-lgc)<0.

若x=lga是,f(x)一個(gè)較小零點(diǎn)，則lga<lgb<lgc,即a<b<c；

若x=Iga是/(x)的一個(gè)較大零點(diǎn)，則lg/?<lgc<lga,即

故選：AB.

2

36.已知/(")是定義在R上且周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)、C(2,4］時(shí)，/(X)=-X+7X-12；則/(2021)

的值是

【答案】0

【解析】

【分析】由函數(shù)的周期性可得7(2021)=/(-3),利用解析式求出了(3)的值，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得

/(一3)的值，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，/(%)是定義在R上且周期為4的函數(shù)，

所以/(2021)=/(-3+2024)=/(-3),

因?yàn)楫?dāng)x?2,4］時(shí)，“X)=T2+7X-12,所以八3)=—9+21-12=0,

又/(幻為奇函數(shù)，所以/(-3)=-/(3)=0,故/(2021)=/(-3)=0,

故答案為：0.

/(x)=sinxln^^/\

1

37.函數(shù)萬(wàn)+x在I肛丐的圖象大致為()

【答案】A

【解析】

TT

【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后判斷出函數(shù)的奇偶性，取特殊值x=W判斷函數(shù)值的符號(hào)，從而可排除

2

不滿(mǎn)足的選項(xiàng)，得出答案.

TT—X

【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=sinxln——，1€（一樂(lè)左）,

乃+x

/(-%)=sin(-x)In+=sinxln71X-f(x),則/(x)在區(qū)間(一乃，乃)上為偶函數(shù)，所以排除BC,又

7T—X"+X

7C

由/(：］=sin21n?=ln2<0,所以排除￡>,故選：A.

32物3

T

2x,0<%<1

38.已知函數(shù)小片

lnx+l,l<x<3；若存在實(shí)數(shù)為，々滿(mǎn)足0〈玉<々<3,且/（內(nèi)）=/（々），則

々一玉的最大值為）

51,°

A.e-1B.C.----In3D.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】求出函數(shù)/（X）在兩段上函數(shù)值集合的交集，令/（%）=/（3）=￡,由此構(gòu)造函數(shù)并求其最大值即

可.

【詳解】當(dāng)OVxWl時(shí)，0K2x<2,當(dāng)l<x?3時(shí)，l<lnx+lWl+ln3,則［0,2］c(l,l+ln3］=(l,2］,

,_|

令/。)=/(々)=/€(1，2］,則玉=；，尤2=e"i,x2-x,=e-1,設(shè)g(f)=e'T_；,re(1,2］,

g'(r)=e'T-；>0,即g(r)=e"—；在fw(l,2］上單調(diào)遞增，g(Onwx=.g(2)=e-l,所以當(dāng)一百的最大

值為e-l.故選：A

f^=^L-

39.(多選題)對(duì)函數(shù)e'-e-'進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論，其中正確有()

A.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.|/(x)|<l

C.函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)間距離相等

D.對(duì)任意常數(shù)m>0,存在常數(shù)使函數(shù)y=/(x)在［。,目上單調(diào)遞減，B.b-a>\

【答案】ABD

【解析】

【分析】由函數(shù)奇偶性定義判斷可知A正確；構(gòu)造函數(shù)〃(x)=e「eTTsinX(x>0),求導(dǎo)判斷單調(diào)性，

進(jìn)而求得最值可判斷B；由/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(E,0)(AeZ且左。0)可判斷C；求導(dǎo)分析

/'(x)W0時(shí)成立的情況，即可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)“X)的定義域?yàn)閧x|x#0},x)=［券］==〃x)，所以/(x)

為偶函數(shù)，圖象關(guān)于>軸對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由A知/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，e*—e-'>0,

若|/(x)|=<］即卜in<e、一尸只需證er-e-'-|sinx|>0,

ev-eA

令〃(x)=e*-eTTsinR(x>0),/i*(x)=ex+e~x±cosx,

因?yàn)閑*+e-*>2yle*e*=2，所以"(x)>。，所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以〃(x)>力(0)=0,

即〃(力=6*一右一卜由^|>0，所以|/(x)|=，n]<i恒成立,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C：令/(x)=:=0,可得sin%=(),所以函數(shù)/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(伉())住eZ

e-e

且ZwO),交點(diǎn)(-兀,0)與(兀,0)間的距離為2兀，而其余任意相鄰兩點(diǎn)之間的距離為兀.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

/、(ev-e~A)cosx-(ex+e-x)sinx

對(duì)于D：r(%)=-------：-----------------?o,

(ey)

即eA(cosx-sinx)一e-x(cosx+sinx)<0,即e2v(cosx-sinx)<cosx+sinx,

當(dāng)++eZ）時(shí),cosx-sinx<0,cosx+sinx>0,

區(qū)間長(zhǎng)度為3兀>1,所以對(duì)于任意常數(shù)相>0,存在常數(shù)匕>a>〃?，a,be\^+2kTi,^+2kTi],k&Z,

2

使/(x)在[。,句上單調(diào)遞減且21,故選項(xiàng)D正確;

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法:

(1)確定函數(shù)/(X)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)/'(X),由/'(x)>0(或/'(x)<0)解出相應(yīng)的X的范圍，對(duì)

應(yīng)的區(qū)間為了(X)的增區(qū)間(或減區(qū)間)；

⑵確定函數(shù)“X)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)r(x),解方程r(x)=o,利用r(x)=o的根將函數(shù)的定義域

分為若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論廣(X)的正負(fù)，由符號(hào)確定“X)在子區(qū)間上的單調(diào)性.

40.已知函數(shù)y=/(x)定義域?yàn)镽,是奇函數(shù)且/(x)+/(6-x)=0,則函數(shù)y=/(x)的周期為

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)得了(-x)=-/(x),又由己知得了(6—X)=—/(X)=〃T),由周期的定義可得

答案.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是奇函數(shù)，所以/(-x)=-/(x),又/(x)+/(6—x)=0,即

/(6-%)=-/(%),所以/(6-==/(-%),所以函數(shù)y=/(x)的周期為6,故答案為：6.

J_

41.設(shè)4=於°|,8=log?c=ln%，則()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【解析】

【分析】判斷出小氏c與。和1的大小關(guān)系，進(jìn)行比較.

【詳解】因?yàn)閍=e°1n>l,Z?=log.ee(0,l),c=ln,<0,所以a>b>c.

7V

故選：B

ax+l

42.函數(shù)=f+i的大致圖象不可能是()

A.B.

【答案】c

【解析】

【分析】分。=0,〃<0和。>0分別判斷函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合函數(shù)值的變化情況判斷即可

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=」一是偶函數(shù)，且函數(shù)的最大值為1,當(dāng)X20時(shí)，/(X)為減函數(shù)，此時(shí)

x~+1

對(duì)應(yīng)圖可能是D,

當(dāng)。<0時(shí)，/(X)為非奇非偶函數(shù)，/(0)=1,由f(x)=o,得x=-_L>0,且x<()時(shí)，f(x)>0,此

a

時(shí)對(duì)應(yīng)圖像可能是A,

當(dāng)。>0時(shí)，"X)為非奇非偶函數(shù)，/(0)=1,由/(x)=o,得》=一！<0,且x〉0時(shí)，f(x)>0,此

a

時(shí)對(duì)應(yīng)圖像可能是B,

故選：C

43.設(shè)%>°,若存在正實(shí)數(shù)》,使得不等式10827"--3'12°成立，則后的最大值為()

A.-LB.WC上D.也

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