高中數(shù)學(xué)高考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)附有經(jīng)典例題8

教學(xué)

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高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

集合

（1）元素與集合的關(guān)系：屬于（€）和不屬于（任）

（2）集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性

集合與元素4

（3）集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無(wú)限集、空集

（4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語(yǔ)言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法

子集：若=＞x￡B,則A=B即4是3的子集。

1、若集合A中有〃個(gè)元素，則集合4的子集有2〃個(gè)，真子集有（2〃?1）個(gè)。

、、2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AqA

汪“

關(guān)系?3、對(duì)于集合4,8,C,如果AqB,且BqC,那么AqC.

4、空集是任何集合的（真）子集。

集合真子集：若A=8且A工B（即至少存在/G5但任A）,貝必是5的真子集。

集合相等：AqB目＜=8=A=B

集合與集合■'定義:Ac8={%/x￡A月￡8}

交集＜

性質(zhì):4c4=4An0=0,AoB=Br\A,A^B<=>AnB=A

,定義:AuB={戈/工￡4或工￡母

并集，

性質(zhì):AuA=A,Au0=AAuB=BuAAuBoA,AuB衛(wèi)B,A^B<=>AuB=B

運(yùn)算?f

Card(AuB)=Card(A)+Card(B)?Card(AnB)

定義：CuA={x/xeS@?reA}=W

補(bǔ)集

性質(zhì)：(C〃A)c4=0,(C04)uA=U,CU(CUA)=A,CU(4C8)=(C0A)LJ(G/),

。(438)=(。4)門(mén)(孰8)

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函數(shù)

映射定義：設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,

在集合5中都有唯一確定的元素)，與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)/：->8為從集合A到集合3的一個(gè)映射

傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量x,j,并且對(duì)于X在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，

按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系了,)，都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。那么y就是x的函數(shù)。記作y=f(x).

(近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。

定義域

函數(shù)及其表示<函數(shù)的三要索<值域

對(duì)應(yīng)法則

解析法

函數(shù)的表示方法<列表法

V.圖象法

傳統(tǒng)定義：在區(qū)間力］上,若。時(shí)<12幼，如/(/)</(彳2)，則f(x)在［〃例上遞增是

遞增區(qū)間；如/(可)〉/(》2)，則/(x)在3力］上遞減，［。力］是的遞減區(qū)間。

導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間［a用上,若f(x)>0,則/(%)在［a,以上遞增⑸是遞增區(qū)間;如/(x)<0

則/(x)在［a,句上遞減，，力］是的遞減區(qū)間。

城大值：設(shè)函數(shù)產(chǎn)“X)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)"滿足：⑴對(duì)于任意的成人都有了(》)WM：

函數(shù)?導(dǎo)值J(2)存在加金/,使得/'(x())=M<>則稱M是函數(shù))，=/(x)的最大值

函數(shù)的基本性質(zhì)

坂但最小值：設(shè)函數(shù))，=/■)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)N滿足：(1)對(duì)于任意的次人都有/(x)NN；

(2)存在即e/,使得/(x())=N。則稱N是函數(shù)y=/(x)的最小值

［⑴/(_x)=_/(x),xe定義域0,則/(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

奇偶性(2)f(-x)=/(x),xw定義域Q,則/(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于個(gè)軸對(duì)稱。

［奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

周期性：在函數(shù)/(X)的定義域上恒有/(”+T)=/(x)(rxO的常數(shù))則/(X)叫做周期函數(shù),r為周期；

7的最小正值叫做/(x)的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期

(1)描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線

向左平移a個(gè)單位：y\=y,x\-a=x=>y=f(x+a)

向右平移a個(gè)單位：yI=y,x\-k-a=x=>y=f(x-a)

平移變換，

向上平移b個(gè)單位：xi=x,yi+b=y=>y-b=f(x)

向下平移〃個(gè)單位：X］=x,升一/?=y=>y+b=f(x)

橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)同縮短(當(dāng)心1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)0<卬<1時(shí))

到原來(lái)的1/w倍(縱坐標(biāo)不變)，即同=wxny=f(wx)

伸縮變換?

縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)R伸長(zhǎng)(A〉l)或縮短(()<A<1)到原來(lái)的A倍

(橫坐標(biāo)不變)「即力=y/A=y=/(x)

函數(shù)圖象的畫(huà)法.

(2)變換法.關(guān)于點(diǎn)(M),y0)對(duì)稱情昌滬年|靠；=2"-尸/(2x()-x)

關(guān)于直線x=”對(duì)稱｛篙;=2的口第二jxo-Xny=/(2XQ-X)

對(duì)稱變換?關(guān)于直線尸卻對(duì)稱：匕工,=2鄧=｛蹈)，07=2)，0-尸"x)

關(guān)于直線產(chǎn)X對(duì)稱:1:二,：!ny=/T(X)

(>-)1

附:

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一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；4、

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中

7T

k7T+—(keZ)i余切函數(shù)＞=(：01_￥中；6,如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)

自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法：2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接

法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)

函數(shù)

2、若/(幻為增(減)函數(shù)，則-/(x)為減(增)函數(shù)

3、若/(%)與g(x)的單調(diào)性相同,則y=/[g(x)]是增函數(shù)；若/(x)與g(x)的單調(diào)性不

同，則y=/[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖

象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

I、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函數(shù)y=/(x)既是奇函數(shù)又

是偶函數(shù)，則/(x)=0(反之不成立)

2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。

3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)y=/(〃)和"=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合

函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)可以表示為

/(x)=1f/(x)+/(-%)]+1f/(%)-/(-x)b該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶

函數(shù)的和。

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零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù))，=/(%),我們把使/>(X)=0的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn)。

定理:如果函數(shù))，="%)在區(qū)間。上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有/(a)?/6)<0,

零點(diǎn)與根的關(guān)系<那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［%切內(nèi)有零點(diǎn)。即存在cG(%〃)，使得>(c)=0,這個(gè)c也是方

榭'(x)=0的根。(反之不成立)

關(guān)系：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根<=>函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)

I,

函數(shù)與方程<(1)確定區(qū)間［%辦驗(yàn)證/*(〃)?f(b)<0,給定精確度￡：

(2)求區(qū)間(%的中點(diǎn)c;

函數(shù)的應(yīng)用<

(3)計(jì)第(c)；

二分法求方程的近似解<①荷(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②茍(。)?/(c)<0,貝IJ令方=c(此時(shí)零點(diǎn),e(a,。))；

③若/(c)?/⑹<0,則令。=c(此時(shí)零點(diǎn)“€(c,。))；

(4)判斷是否達(dá)到精確度比即若a-/<￡.則得到零點(diǎn)的近似值〃(或b);否則重復(fù)2?4o

幾類不同的增長(zhǎng)函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用，用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題

建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型

m

'根式:為根指數(shù)，。為被開(kāi)方數(shù)11-----

an

分?jǐn)?shù)指數(shù)扉

rs

指數(shù)的運(yùn)算?aa=」+%>0,r,seQ)

指數(shù)函數(shù)?性質(zhì)(a〉=ars(a>0,，seQ)

(ab)r=arbs(a>0,b>0,r6Q)

‘定義一般地把函數(shù)y=aX(a>0且a工1)叫做指數(shù)函數(shù)。

指數(shù)函數(shù).

性質(zhì)見(jiàn)表1

■對(duì)數(shù)數(shù)，真

：x=logaN,a為底N為數(shù)

loga(M?N)=logaM+logaN;

基本初等函數(shù)<

,M

log,/—-=log〃M-logaN；

對(duì)數(shù)的運(yùn)算N

性質(zhì)

w

對(duì)數(shù)函數(shù).logaM"=logaM;(?>0,a。1,M>0,N>0)

log.b，

換底公式：iogba,c>0且a,c芋1.b>0)

alog,?'

定義一般地把函數(shù)y=log”x(a>。且ah1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

性質(zhì)：見(jiàn)表1

義般地函數(shù)y=叫做幕函數(shù)，x是自變量，。是常數(shù)。

事函數(shù)

質(zhì)見(jiàn)表2

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/

P為奇數(shù)[a.”

q為偶數(shù)^/a.?)

p為偶數(shù)

H,i)X

q為奇數(shù)J偶函數(shù)

(-1.1)\

"J

第一象限

減函數(shù)增函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0,1)

性質(zhì)

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高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與X軸平行或重合時(shí),

我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°Wa<180°

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。

即K二tanc。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)aw[(T,90°)時(shí),>0；當(dāng)ae(90°,180°)時(shí)，左<0：當(dāng)a=90°時(shí)，%不存在。

②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：C二打一月(項(xiàng)w/)

注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)陽(yáng)=々時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

②k與Pi、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而山直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

(3)直線方程

①點(diǎn)斜式：y-弘=%(x-X])直線斜率k,且過(guò)點(diǎn)(外,用

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因/上每一點(diǎn)

的橫坐標(biāo)都等于為，所以它的方程是X=X|。

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為％直線在y軸上的截距為6

③兩點(diǎn)式：—~~—(X|WZ，%H當(dāng))直線兩點(diǎn)(內(nèi)方)，(x,,%)

為一M迎一不

④截矩式：±+==1

ab

其中直線/與X軸交于點(diǎn)3,0),與)，軸交于點(diǎn)(0力),即/與x軸、y軸的截距分別為。力。

⑤一般式：Ax+By+C=0(A,B不全為0)

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線：y=b"為常數(shù))；平行于)，軸的直線：x=a(a為常數(shù))；

(5)直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

(-)平行直線系

平行于已知直線4犬+為>+。0=0(A。,綜是不全為0的常數(shù))的直線系：

AQX+B^y+C=0(C為常數(shù))

(-)過(guò)定點(diǎn)的直線系

(i)斜率為％的直線系：j-y0=/c(x-x0),直線過(guò)定點(diǎn)(見(jiàn),方)；

(ii)過(guò)兩條直線4:Ax+B|y+G=0，/2：42%+82>+。2=0的交點(diǎn)的直線系方程為

(A,x+Bty+C,)+A(A2X+B2y+C2)=0(/l為參數(shù))，其中直線乙不在直線系中。

(6)兩直線平行與垂直

當(dāng)乙:y=k^x+bx,l2-y=七x+%時(shí)，

1〃/2=%=k?,b\工％；1_L1=卜島—-1

注意：利用斜率如斷直線廟平行與金直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

(7)兩條直線的交點(diǎn)

乙:++=0/2:A2x+B2y+C2=0相交

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交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組AX+%，+G=°的一組解。

A2x+B2y+C2=0

方程組無(wú)解O/"〃2；方程組有無(wú)數(shù)解=與4重合

（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)為）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

貝力AB1=J（X2一%）2+（為一%）2

（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P（Xc,以）到直線/,：Ax+8丫+C=0的距離“_版+小。f

-7A2+B2

（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取--點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（％-。）2+（>一?2=/，圓心（。力），半徑為r；

（2）一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0

當(dāng)。2+七2-4/>0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為12._二），半徑為r=*+E-F

當(dāng)。2+七2一4尸=0時(shí)，表示-個(gè)點(diǎn)；當(dāng)￡）2+七2一4/<0時(shí)，方程不表示任何圖形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線/:Ax+By+C=（）,圓C:（x-a）2+（y-6）2=〃，圓心C（a,b）到I的距離為

\Aa+Bh+C\t則有4〉「0/與（7相離；d=r=/與。相切；“<r=/與C相交

互+B7

（2）設(shè)直線/:Ax+3y+C=0,圓C:（x-4+（），-4=/,先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元

二次方程之后，令其中的判別式為△,則有

△<0o/與C相離；△=0=/與。相切；△>。0/與。相交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式xxo+yyo=/去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中（%，%）

表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。

（3）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓型+竺=/，圓上一點(diǎn)為（xo,yo）,則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為xx（）+yy（）=/（課本命題）.

②圓。-力+儀6/=/,圓上一點(diǎn)為（必，y0）,則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為仇勿=J（課本命

題的推廣）.

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。

22

設(shè)圓G:>+（y-4『=/,c,:（x-iz2）+（y-匕，F(xiàn)=R

兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（2）之間的大小比較來(lái)確定。

當(dāng)d>R+r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)4=尺+r時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)火-r<d<R+r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當(dāng)4=/?-廠時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng)4<R-r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱48coE-A8C力￡或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；

平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P—ABC'DZ'

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距

離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)尸-A'BC'DE'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的?邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)

矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖(從左向右)、

俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法

斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；

②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng)，h為高，力為斜高，1為母線)

S直棱柱側(cè)面積=c〃S圓柱側(cè)=2加〃5正棱椎側(cè)面積二耳源S圓錐側(cè)面積=初

s正枝臺(tái)側(cè)面積=g(C]+c2)/fS圓臺(tái)側(cè)面積=(r+R)7d

S圓柱表=2m(r+/)S圓錐表=^r(r+/)S圓臺(tái)表=%(，+〃+&+/?“)

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

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2y1i

/柱〃廠〃2

%=5/z=S/z=Vw=-Shvm=-m-h

(4)球體的表面積和體積公式：V球;S球而=41R2

4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說(shuō)明；B.平面是無(wú)限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、6、丫表示，如平面a(通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi))；

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)4在平面a內(nèi)，記作Awa；點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，記作Aea

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線/上，記作：AG/;點(diǎn)A在直線/外，記作4句；

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi),記作/ua；直線/不在平面.a內(nèi)，記作/<Za。

(2)公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線)

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：Awl,Bel,Awa,Beanlua

(3)公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

符號(hào)：平面a和B相交，交線是a,記作aAB=a。

符號(hào)語(yǔ)言：==

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。

③它可以判斷點(diǎn)在直線匕即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。

(5)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意?點(diǎn)。，分別引直線〃〃b,則

把直線〃'和獷所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和。所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是

(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。

說(shuō)明：(1)判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理

(2)在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。

②求異面直線所成角步驟：

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A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特

殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。

（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

直線不在平面內(nèi)伸支——只有一個(gè)公共點(diǎn).

（或直線在平面外）忤行一~段有公共點(diǎn).

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：auaaAa=Aa〃a

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；a〃B

相交——有一條公共直線。aClB=匕

5、空間中的平行問(wèn)題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。

線線平行n線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行=線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行一面面平行），

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)■應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。

（線線平行一面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行一線面平行）

（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行一線線平行）

7、空間中的垂直問(wèn)題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。

②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖

形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

9、空間角問(wèn)題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線"'，b',

形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和

這個(gè)平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“?作，：證，二計(jì)弊

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在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，

在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線；(2)過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)

斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的

棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這

兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，

那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：己知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角

的平面角fA,

7、空間直角坐標(biāo)系口,//T'

(1)定義：如圖，OBCD-DABC?是單位正方體.以A為原點(diǎn),

分別以O(shè)D,OA\OB的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。J"一

這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.，------也

1)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸

正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示；空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫

做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐

標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo))

(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d=—X])2+(乃一%)2+—Z])2

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高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算法初步

O秦九韶算法：通過(guò)一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)

式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

ntlla

anx+an_}x~+...+%二+an_x)x+an_2)x+…)x+)x+\

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+l,當(dāng)x=0.4時(shí),

需要做兒次加法和乘法運(yùn)算？答案：6,6

即：(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1

?理解算法的含義：?般而言，對(duì)于一類問(wèn)題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具

有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說(shuō)明書(shū)是空調(diào)使用的

算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語(yǔ)言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言(本書(shū)指?jìng)未a).

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無(wú)休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一

個(gè)或多個(gè)。沒(méi)有輸出的算法是無(wú)意義的。

③可行性：算法的每?步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過(guò)手工或者機(jī)器在一定時(shí)

間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②控制結(jié)構(gòu):

順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

?流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說(shuō)明表示算法及程序結(jié)構(gòu)

的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫(huà)流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫(huà)，要養(yǎng)成有開(kāi)始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫(huà)出大致的流程，反過(guò)來(lái)再檢查，比如：遇到判斷框

時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫(huà)好大致流程，然后檢查這

個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問(wèn)題，這時(shí)候也就可以有幾種書(shū)寫(xiě)方法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，?定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)

到結(jié)束框。r--------------1________________

?算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

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直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán)

I.順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure)：是一種最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)

移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語(yǔ)句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure)：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書(shū)寫(xiě)時(shí)主要是注意臨

界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語(yǔ)句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中

的A,B兩語(yǔ)句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語(yǔ)句，

至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語(yǔ)句，也不執(zhí)行其它語(yǔ)句。

III.循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure)：它用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問(wèn)題，分直到型(until)和

當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見(jiàn)上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)(即不知道循環(huán)次

數(shù)時(shí))用當(dāng)型循環(huán)。

?基本算法語(yǔ)句：本書(shū)中指的是偽代碼(pseudocode),且是使用BASIC語(yǔ)言編寫(xiě)

的，是介于自然語(yǔ)言和機(jī)器語(yǔ)言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好

方法。偽代碼沒(méi)有統(tǒng)一的格式，只要書(shū)寫(xiě)清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)

要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語(yǔ)句中可以用x=y,也可以用;

表示兩變量相乘時(shí)可以用“*"，也可以用“x”

I.賦值語(yǔ)句(assignmentstatement)：用<—表示，如：x<—y,表示將y的值賦給x,

其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：”變量一表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書(shū)寫(xiě)時(shí)也可以用“x=y”，但此時(shí)

的“=”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。

注：1.賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式?！?”

具有計(jì)算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯(cuò)誤的，而a=3*5-1,a=2a+3

都是正確的。2.一個(gè)賦值語(yǔ)句一次只能給一個(gè)變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是錯(cuò)誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

px

p<—X

x<—y

x<—y同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值：