第五節(jié)無窮大與無窮小

無窮小無窮大

無窮小的性質(zhì)第五節(jié)

無窮大與無窮小

研究函數(shù)極限會(huì)涉及兩種變量變化趨勢(shì),一種是在極限過程中變量可以無限變小,而且要多么小就有多小,在數(shù)軸上表示變量越來越趨近于零的變動(dòng)過程;一種是在極限過程中變量可以無限變大,而且要多么大就有多大,在數(shù)軸上表示變量向數(shù)軸的正方向無限變動(dòng)的過程.我們分別將它們稱為無窮小量和無窮大量.一、無窮小簡(jiǎn)單地,以零為極限的變量稱為無窮小量.即定義1

如果自變量的某一個(gè)變化過程中函數(shù)f(x)的極限為零,則稱函數(shù)f(x)在此變化過程中為無窮小量,簡(jiǎn)稱無窮小.稱f(x)在時(shí)的無窮小量.例如1.無窮小量的定義注2無窮小量與自變量的變化過程有關(guān),即無窮小量是相對(duì)于自變量的某一變化過程而言的.例如,當(dāng)時(shí),是無窮小量,而當(dāng)時(shí),就不是無窮小量.注3

很小很小的非零常量不是無窮小量,但數(shù)“0”是無窮小量;而無窮小量卻不一定是數(shù)“0”,僅極限值為0的函數(shù).注1無窮小量不是很小很小的數(shù),而是在自變量的某種變化趨勢(shì)下極限為零的函數(shù).2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系證必要性充分性定理1其中是當(dāng)時(shí)的無窮小.注1任何形式的函數(shù)(包括數(shù)列)極限都可表示為此函數(shù)與極限值之差是無窮小量,反之亦然.即注2例1自變量x在何變化過程中,下列函數(shù)f(x)為無窮小.解(3)無論x趨于何值,二、無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．在自變量的某變化趨勢(shì)下,函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無限增大,則稱函數(shù)f(x)為無窮大.例注2無窮大量與自變量的變化過程有關(guān),即無窮大量是相對(duì)于自變量的某一變化過程而言的.例如,當(dāng)時(shí),是無窮大量,而當(dāng)時(shí),是正無窮大量.注1無窮大量不是很大很大的數(shù),而是在自變量的某種變化趨勢(shì)下,絕對(duì)值無限增大的函數(shù)(變量).注3

當(dāng)時(shí)為無窮大量的函數(shù)在通常意義上說極限不存在的,但是便于敘述,我們說函數(shù)的極限為無窮大.證無窮大量的性質(zhì)：兩個(gè)無窮大量的積仍是無窮大量,反之不真.注:兩個(gè)無窮大的代數(shù)和以及商不一定是無窮大.例如,但是自變量x在何變化過程中,下列變量為無窮大.解(1)當(dāng)或時(shí),(2)當(dāng)時(shí),(3)當(dāng)時(shí),(4)無論x趨于何值,sinx都不是無窮大.練一練三、無窮小的性質(zhì)定理2在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證注

無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理3

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證推論1

在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3在同一過程中,有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小.利用無窮小的性質(zhì)可以求一些函數(shù)的極限:例3解例4解練一練解練一練解練一練若時(shí),f(x)為無窮小量,g(x)為無窮大量,則()必為無窮大量.A定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證無窮小與無窮大的關(guān)系意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.例3求解例4

證明證明因?yàn)樗詭c(diǎn)注意無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.(1)無窮小(大)是變