第三章 次數(shù)分布和平均數(shù)、變異數(shù)

生物統(tǒng)計(jì)學(xué)

實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法2024/5/111問(wèn)題科學(xué)的田間試驗(yàn)設(shè)計(jì)有哪三個(gè)基本原則?各有什么作用？重復(fù)：降低實(shí)驗(yàn)誤差。隨機(jī)排列：無(wú)偏的試驗(yàn)誤差。局部控制：控制環(huán)境誤差。2024/5/112重復(fù)

隨機(jī)

局部控制無(wú)偏的試驗(yàn)誤差估計(jì)

降低試驗(yàn)誤差

p18頁(yè)2024/5/113第三章

次數(shù)分布和平均數(shù)、變異數(shù)2024/5/114本期導(dǎo)語(yǔ)

通過(guò)科學(xué)試驗(yàn)的觀察、測(cè)定和記載，可以得到大量的數(shù)據(jù)資料。對(duì)于這些資料，必須按照一定的程序進(jìn)行整理和分析，才能透過(guò)數(shù)據(jù)表現(xiàn)看到蘊(yùn)藏在數(shù)據(jù)中的客觀規(guī)律。所以，資料的整理和分析是試驗(yàn)工作的重要組成部分，也是深入認(rèn)識(shí)客觀事物的一個(gè)重要步驟。2024/5/115本章主要內(nèi)容第一節(jié)總體及其樣本第二節(jié)次數(shù)分布第三節(jié)平均數(shù)第四節(jié)變異數(shù)第五節(jié)理論總體(群體)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差2024/5/116本章主要內(nèi)容第一節(jié)總體及其樣本第二節(jié)次數(shù)分布第三節(jié)平均數(shù)第四節(jié)變異數(shù)第五節(jié)理論總體(群體)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差2024/5/117一、總體總體（population）：具有共同性質(zhì)的個(gè)體所組成的集團(tuán)。

1、無(wú)限總體（infinitepopulation）：總體所包含的個(gè)體數(shù)目有無(wú)窮多個(gè)。

2、有限總體（finitepopulation）：由有限個(gè)個(gè)體構(gòu)成的總體。

2024/5/1183、觀察值(observation)：每一個(gè)體的某一個(gè)性狀、特性的測(cè)定數(shù)值叫做觀察值。4、變數(shù)(variable)：觀察值集合起來(lái)，稱為變數(shù)。2024/5/1195、變量(variate)：變數(shù)中每一成員稱為變量。例如：測(cè)定8個(gè)人的身高，得到以下數(shù)據(jù)：160、167、175、180、158、169、173、170觀察值：變量變數(shù)2024/5/1110二、樣本（sample）樣本(sample)

：從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體的集合稱為樣本。統(tǒng)計(jì)數(shù)(statistic)：測(cè)定樣本中的各個(gè)體而得的樣本特征數(shù)，如平均數(shù)等，稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)。隨機(jī)樣本(randomsample)：從總體中隨機(jī)抽取的樣本稱為隨機(jī)樣本。樣本容量(samplesize)：樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本容量或樣本含量，用n表示。2024/5/1111“參數(shù)與統(tǒng)計(jì)數(shù)”

如：總體平均數(shù)----總體方差----μ用總體的全體觀察值計(jì)算的、描述總體的特征數(shù)稱為參數(shù)(parameter)。用希臘字母表示。2024/5/1112如：樣本平均數(shù)----樣本均方----

由樣本的全體觀察值計(jì)算的、描述樣本的特征數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)(statistics)。用英文字母表示。統(tǒng)計(jì)上，通常由樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)或推斷總體相應(yīng)參數(shù)。2024/5/1113本章主要內(nèi)容第一節(jié)總體及其樣本第二節(jié)次數(shù)分布第三節(jié)平均數(shù)第四節(jié)變異數(shù)第五節(jié)理論總體(群體)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差2024/5/1114第二節(jié)次數(shù)分布1、試驗(yàn)資料的性質(zhì)與分類2、次數(shù)分布表3、次數(shù)分布圖2024/5/1115一、試驗(yàn)資料的性質(zhì)與分類(一)數(shù)量性狀資料(二)質(zhì)量性狀資料2024/5/1116(一)數(shù)量性狀資料數(shù)量性狀(quantitativetrait)的度量有計(jì)數(shù)和量測(cè)兩種方式，其所得變數(shù)不同。1、不連續(xù)性或間斷性變數(shù)(discontinuousordiscretevariable)指用計(jì)數(shù)方法獲得的數(shù)據(jù)。2、連續(xù)性變數(shù)(continuousvariable)指稱量、度量或測(cè)量方法所得到的數(shù)據(jù)，其各個(gè)觀察值并不限于整數(shù)，在兩個(gè)數(shù)值之間可以有微量數(shù)值差異的第三個(gè)數(shù)值存在。2024/5/1117(二)質(zhì)量性狀資料

質(zhì)量性狀(qualitativetrait)指能觀察而不能量測(cè)的性狀即屬性性狀，如花藥、子粒、穎殼等器官的顏色、芒的有無(wú)、絨毛的有無(wú)等。要從這類性狀獲得數(shù)量資料，可采用下列兩種方法。2024/5/1118兩種方法1、統(tǒng)計(jì)次數(shù)法：于一定總體或樣本內(nèi)，統(tǒng)計(jì)其具有某個(gè)性狀的個(gè)體數(shù)目及具有不同性狀的個(gè)體數(shù)目，按類別計(jì)其次數(shù)或相對(duì)次數(shù)。2、給分法：給予每類性狀以相對(duì)數(shù)量的方法。2024/5/1119二、次數(shù)分布表（一）間斷性變數(shù)資料的整理（二）連續(xù)性變數(shù)資料的整理（三）屬性變數(shù)資料的整理2024/5/1120(一)間斷性變數(shù)資料的整理現(xiàn)以某小麥品種的每穗小穗數(shù)為例，隨機(jī)采取100個(gè)麥穗，計(jì)數(shù)每穗小穗數(shù)，未加整理的資料列成表3.1。2024/5/1121表3.1100個(gè)麥穗的每穗小穗數(shù)181517191615201819171718171618201917161817161719181817171718181516181818172019181719151717171617181817191917191718161817171916161717171517161819181819192017161918171820191618191716151618171817171619172024/5/1122每穗小穗數(shù)(

y

)次數(shù)(f)1561615173218251917205總次數(shù)(

n

)100表3.2100個(gè)麥穗每穗小穗數(shù)的次數(shù)分布表上述資料為間斷性變數(shù)資料，每穗小穗數(shù)在15—20的范圍內(nèi)變動(dòng)，把所有觀察值按每穗小穗數(shù)多少加以歸類，共分為6組，組與組間相差為1小穗，稱為組距。2024/5/1123(二)連續(xù)性變數(shù)資料的整理17721519797123159245119119131149152167104161214125175219118192176175951361991161652149515883137801381511871261961342061379897129143179174159165136108101141148168163176102194145173

751301491501611551111581311899114214015415216312320514915513120918397119181149187131215111186118150155197116254239160172179151198124179135184168169173181188211197175122151171166175143190213192231163159158159177147194227141169124159表3.4140行水稻產(chǎn)量（單位：克）2024/5/1124具體步驟

數(shù)據(jù)排序（sort）：首先對(duì)數(shù)據(jù)按從小到大排列（升序）或從大到小排列（降序）。

求極差（range）：所有數(shù)據(jù)中的最大觀察值和最小觀察值的差數(shù)，稱為極差，亦即整個(gè)樣本的變異幅度。從表3.4中查到最大觀察值為254g，最小觀察值為75g，極差為254－75=179g。2024/5/1125確定組數(shù)和組距（classinterval）

根據(jù)極差分為若干組，每組的距離相等，稱為組距。

在確定組數(shù)和組距時(shí)應(yīng)考慮：(1)觀察值個(gè)數(shù)的多少；(2)極差的大?。?3)便于計(jì)算；(4)能反映出資料的真實(shí)面貌等方面。2024/5/1126表3.5

樣本容量與組數(shù)多少的關(guān)系樣本內(nèi)觀察值的個(gè)數(shù)分組時(shí)的組數(shù)505—101008—1620010—2030012—2450015—30100020—40

組數(shù)確定后，還須確定組距。組距=極差/組數(shù)。以表3.4中140行水稻產(chǎn)量為例，樣本內(nèi)觀察值的個(gè)數(shù)為140，查表3.5可分為8—16組，假定分為12組，則組距為179/12=14.9g，為分組方便起見，可以15g作為組距。2024/5/11274.組中點(diǎn)值(組值，classvalue)和選定組限(classlimit)組中值是各組區(qū)間的中點(diǎn)值，它可作為各組的代表值，最好取整數(shù)或與觀察值位數(shù)一致。一般先確定第一組的組中值，通常選接近資料中最小觀察值為宜。以表3.4中140行水稻產(chǎn)量為例，選定第一組的中點(diǎn)值為75g，與最小觀察值75g相等；則第二組的中點(diǎn)值為75+15=90g，余類推。2024/5/1128各組的中點(diǎn)值選定后，就可以求得各組組限。每組有兩個(gè)組限，數(shù)值小的稱為下限（lowerlimit），數(shù)值大的稱為上限（upperlimit）。上述資料中，第一組的下限為該組中點(diǎn)值減去1/2組距，即75-(15/2)=67.5g，上限為中點(diǎn)值加1/2組距，即75+(15/2)=82.5g。故第一組的組限為67.5-82.5g。按照此法計(jì)算其余各組的組限，就可寫出分組數(shù)列。2024/5/1129

5.把原始資料的各個(gè)觀察值按分組數(shù)列的各組組限歸組

可按原始資料中各觀察值的次序，逐個(gè)把數(shù)值歸于各組。

待全部觀察值歸組后，即可求得各組的次數(shù)，制成一個(gè)次數(shù)分布表。2024/5/1130表3.6140行水稻的次數(shù)分布組

限中點(diǎn)值(

y

)次數(shù)(

f)67.5—82.575282.5—97.590797.5—112.51057112.5—127.512013127.5—142.513517142.5—157.515020157.5—172.516525172.5—187.518021187.5—202.519513202.5—217.52109217.5—232.52253232.5—247.52402247.5—262.52551合計(jì)(

n

)140就低不就高，高限（上限）放在下一組里！2024/5/11312024/5/11322024/5/11332024/5/11342024/5/11352024/5/1136（三）屬性變數(shù)資料的整理

屬性變數(shù)的料，也可以用類似次數(shù)分布的方法來(lái)整理。表3.7水稻雜種二代植株米粒性狀的分離情況屬性分組(

y

)次數(shù)(

f)紅米非糯96紅米糯稻37白米非糯31白米糯稻15合計(jì)(

n

)1792024/5/1137三、次數(shù)分布圖（一）方柱形圖（二）多邊形圖（三）條形圖（四）餅圖2024/5/1138

（一）方柱形圖（histogram）方柱形圖適用于表示連續(xù)性變數(shù)的次數(shù)分布。

現(xiàn)以表3.6的140行水稻產(chǎn)量的次數(shù)分布表為例加以說(shuō)明。即成方柱形次數(shù)分布圖3.1。圖3.1140行水稻產(chǎn)量次數(shù)分布方柱形圖f2024/5/1139（二）多邊形圖（polygom）

多邊形圖也是表示連續(xù)性變數(shù)資料的一種普通的方法，且在同一圖上可比較兩組以上的資料。圖3.2140行水稻產(chǎn)量次數(shù)分布多邊形圖f2024/5/1140（三）條形圖（bargram）

條形圖適用于間斷性變數(shù)和屬性變數(shù)資料，用以表示這些變數(shù)的次數(shù)分布狀況。一般其橫軸標(biāo)出間斷的中點(diǎn)值或分類性狀，縱軸標(biāo)出次數(shù)。圖3.3水稻F2代米粒性狀分離條形圖2024/5/1141

（四）餅圖（pie）

餅圖適用于間斷性變數(shù)和屬性變數(shù)資料，用以表示這些變數(shù)中各種屬性或各種間斷性數(shù)據(jù)觀察值在總觀察個(gè)數(shù)中的百分比。圖3.4水稻F2代米粒性狀分離的餅圖2024/5/1142本次課結(jié)束課后預(yù)習(xí)本章第三節(jié)、第四節(jié)及第五節(jié)內(nèi)容。2024/5/1143提問(wèn)3總體與樣本的概念。變數(shù)與變量的概念。參數(shù)與統(tǒng)計(jì)數(shù)2024/5/1144本章主要內(nèi)容第一節(jié)總體及其樣本第二節(jié)次數(shù)分布第三節(jié)平均數(shù)第四節(jié)變異數(shù)第五節(jié)理論總體(群體)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差2024/5/1145第三節(jié)平均數(shù)一、平均數(shù)的意義和種類二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法三、算術(shù)平均數(shù)的重要特性四、總體平均數(shù)2024/5/1146一、平均數(shù)的意義和種類1、平均數(shù)的意義:

平均數(shù)(average)是數(shù)據(jù)的代表值，表示資料中觀察值的中心位置，并且可作為資料的代表而與另一組資料相比較，借以明確二者之間相差的情況。2024/5/1147

算術(shù)平均數(shù)：

一個(gè)數(shù)量資料中各個(gè)觀察值的總和除以觀察值個(gè)數(shù)所得的商數(shù)，稱為算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)，記作。因其應(yīng)用廣泛，常簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)(mean)。均數(shù)的大小決定于樣本的各觀察值。

通常用μ表示總體平均數(shù)，

表示樣本平均數(shù)。2、平均數(shù)的種類2024/5/1148中數(shù)

將資料內(nèi)所有觀察值從大到小排序，居中間位置的觀察值稱為中數(shù)(median)，計(jì)作Md。如觀察值個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則以中間二個(gè)觀察值的算術(shù)平均數(shù)為中數(shù)。如2,

2,

3,

4,

7,

8,

9,

11,14;5,

7,

8,

9,

10,

11;2024/5/1149眾數(shù):資料中最常見的一數(shù)，或次數(shù)最多一組的中點(diǎn)值，稱為眾數(shù)(mode)，計(jì)作MO。如棉花纖維檢驗(yàn)時(shí)所用的主體長(zhǎng)度即為眾數(shù)。幾何平均數(shù):如有n個(gè)觀察值，其相乘積開n次方，即為幾何平均數(shù)(geometricmean)，用G代表。2024/5/1150二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法

若樣本較小，即資料包含的觀察值個(gè)數(shù)不多，可直接計(jì)算平均數(shù)。設(shè)一個(gè)含有n個(gè)觀察值的樣本，其各個(gè)觀察值為y1、y2、y3、…、yn，則算術(shù)平均數(shù)由下式算得：2024/5/1151

若樣本較大，且已進(jìn)行了分組（如表3.6），可采用加權(quán)法計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，即用組中點(diǎn)值代表該組出現(xiàn)的觀測(cè)值以計(jì)算平均數(shù)，其公式為其中yi為第i組中點(diǎn)值，fi為第i

組變數(shù)出現(xiàn)次數(shù)。2024/5/1152計(jì)算方法

對(duì)于(n<30)未歸組的資料可以直接利用公式：2024/5/1153【例2.2】在一水稻品種比較試驗(yàn)中，某品種的5個(gè)小區(qū)產(chǎn)量分別為20.0，19.0，21.0，17.5，18.5(kg)，求該品種的小區(qū)產(chǎn)量平均數(shù)。=(20.0+19.0+21.0+17.5+18.5)/5=19.2(kg)2024/5/1154對(duì)已歸組的資料，其計(jì)算公式為：其中:

Xi—各組組中值；k—組數(shù);

n—資料中所有觀察值的個(gè)數(shù);

fi

—各組次數(shù)；

2024/5/1155【例3.2】利用表3.6資料計(jì)算平均每行水稻產(chǎn)量。若采用直接法，=157.47。因此，兩者的結(jié)果十分相近。2024/5/1156三、算術(shù)平均數(shù)的重要特性1、樣本各觀察值與其平均數(shù)的差數(shù)(簡(jiǎn)稱離均差，deviationfrommean)的總和等于0。即：2024/5/11572、樣本各觀察值與其平均數(shù)的差數(shù)平方的總和，較各個(gè)觀察值與任意其他數(shù)值的差數(shù)平方的總和為小，亦即離均差平方的總和最小。這個(gè)問(wèn)題可作這樣的說(shuō)明，設(shè)Q為各個(gè)觀察值與任意數(shù)值a的差數(shù)平方的總和，即：對(duì)此Q求最小值，可得使Q最小的a值為平均數(shù)。2024/5/1158四、總體平均數(shù)總體平均數(shù)用來(lái)代表，它同樣具有算術(shù)平均數(shù)所具有的特性。上式y(tǒng)i代表各個(gè)觀察值，N代表有限總體所包含的個(gè)體數(shù)，表示總體內(nèi)各個(gè)觀察值的總和。2024/5/1159

因?yàn)榭傮w內(nèi)的個(gè)體數(shù)很多，總體平均數(shù)往往無(wú)從計(jì)算，所以，一般用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)μ的估計(jì)值。2024/5/1160

設(shè)有一個(gè)容量為n的樣本，其觀察值為，則該樣本的算術(shù)平均數(shù)可定義為：從總體中抽出的隨機(jī)樣本平均數(shù)是該總體平均數(shù)μ的無(wú)偏估計(jì)值。2024/5/1161本章主要內(nèi)容第一節(jié)總體及其樣本第二節(jié)次數(shù)分布第三節(jié)平均數(shù)第四節(jié)變異數(shù)第五節(jié)理論總體(群體)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差2024/5/1162每個(gè)樣本有一批觀察值，除以平均數(shù)作為樣本的平均表現(xiàn)外，還應(yīng)該考慮樣本內(nèi)各個(gè)觀察值的變異情況，才能通過(guò)樣本的觀察數(shù)據(jù)更好地描述樣本，乃至描述樣本所代表的總體，為此必須有度量變異的統(tǒng)計(jì)數(shù)。2024/5/1163第四節(jié)變異數(shù)一、極差二、方差三、標(biāo)準(zhǔn)差四、變異系數(shù)2024/5/1164一、極差

極差(range)，又稱全距，記作R，是資料中最大觀察值與最小觀察值的差數(shù)。例如調(diào)查兩個(gè)小麥品種的每穗小穗數(shù)，每品種計(jì)數(shù)10個(gè)麥穗，經(jīng)整理后的數(shù)字列于表3.8。表3.8兩個(gè)小麥品種的每穗小穗數(shù)品種名稱每穗小穗數(shù)總和平均甲1314151718181921222318018乙16161718181818192020180182024/5/1165

表3.8資料中，甲品種每穗小穗數(shù)最少為13個(gè)，最多為23個(gè)，R=23－13=10個(gè)小穗；乙品種每穗小穗數(shù)最少為16個(gè)，最多為20個(gè)，R=20－16=4個(gè)小穗。

可以看出，兩品種的平均每穗小穗數(shù)雖同為18個(gè)，但甲品種的極差較大，其變異范圍較大，平均數(shù)的代表性較差；乙品種的極差較小，其變異幅度較小，其平均數(shù)代表性較好。2024/5/1166二、方差

每一個(gè)觀察值均有一個(gè)偏離平均數(shù)的度量指標(biāo)—離均差，但各個(gè)離均差的總和為0，不能用來(lái)度量變異，那么可將各個(gè)離均差平方后加起來(lái)，求得離均差平方和（簡(jiǎn)稱平方和，SumofSquareofDeviationfrommean）SS，定義如下：樣本SS

=

總體SS

=

2024/5/1167

總體方差等于總體平方和除以總體觀察值個(gè)數(shù)N,用

表示，樣本均方是總體方差的無(wú)偏估計(jì)值，定義為：將SS除以觀察值的個(gè)數(shù)得到平均平方和，稱之為方差(variance)。樣本均方(meansquare)用s2表示，定義為：2024/5/1168三、標(biāo)準(zhǔn)差（一）標(biāo)準(zhǔn)差的定義

標(biāo)準(zhǔn)差為方差的正平方根值，用以表示資料的變異度,其單位與觀察值的度量單位相同。從樣本資料計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：總體標(biāo)準(zhǔn)差用

表示：樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。

2024/5/1169（二）自由度的意義自由度(degreeoffreedom)最早是物理學(xué)上的一個(gè)名詞，表示一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)的自由程度。統(tǒng)計(jì)學(xué)借此反應(yīng)一批變量的約束條件。2024/5/1170（二）自由度的意義

上面公式式中的(n-1)稱為自由度(degreeoffreedom)，簡(jiǎn)記為DF。自由度具體數(shù)值則常用

表示。統(tǒng)計(jì)意義：是指樣本內(nèi)獨(dú)立而能自由變動(dòng)的離均差個(gè)數(shù)。2024/5/1171【例如】一個(gè)有5個(gè)觀察值的樣本，因?yàn)槭芙y(tǒng)計(jì)數(shù)的約束，在5個(gè)離均差中，只有4個(gè)數(shù)值可以在一定范圍之內(nèi)自由變動(dòng)取值，而第五個(gè)離均差必須滿足。如一樣本為(3，4，5，6，7)，平均數(shù)為5，前４個(gè)離差為-2，-1，0和1，則第5個(gè)離均差為前4個(gè)離均差之和的變號(hào)數(shù)，即－(－2)=2。才能滿足：2024/5/1172

在估計(jì)其他統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí)，如該統(tǒng)計(jì)數(shù)受k個(gè)條件限制，則自由度等于樣本觀察值個(gè)數(shù)減去約束條件數(shù)k，即樣本自由度為n-k。表示為：2024/5/1173（三）標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法

1.直接法

可按計(jì)算，分四個(gè)步驟：(1)先求出，(2)再求出各個(gè)和各個(gè)，(3)求和得，

(4)代入算得標(biāo)準(zhǔn)差。2024/5/1174【例3.3】設(shè)某一水稻單株粒重的樣本有5個(gè)觀察值，以克為單位，其數(shù)為2、8、7、5、4（用y代表），按照上述步驟，由表3.9可算得平方和為22.80，把它代入公式：

2024/5/11752024/5/1176這就是該水稻單株粒重的標(biāo)準(zhǔn)差為2.39g。即可得到：2024/5/11772．矯正數(shù)法其中項(xiàng)稱為矯正數(shù)，記作C。經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換可得

2024/5/1178在例3.3中，于表3.9第5列寫出各觀察值的平方值，將有關(guān)數(shù)字代入(3·11)即有：其結(jié)果和直接法算得相同。2024/5/1179若樣本較大，并已獲得如表3.6的次數(shù)分布表，可采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，其公式為：3．加權(quán)法2024/5/1180組

限中點(diǎn)值(

y

)次數(shù)(

f)67.5—82.575282.5—97.590797.5—112.51057112.5—127.512013127.5—142.513517142.5—157.515020157.5—17