【數(shù)學】平面與平面平行-2023-2024學年高一數(shù)學人教A版2019必修第二冊

8.5.3平面與平面平行高一下學期1、掌握空間平面與平面平行的判定定理，并能應用定理解決問題；2、掌握空間平面與平面平行的性質(zhì)定理，并能應用定理解決問題；3、能正確使用數(shù)學符號語言、文字語言、圖形語言表述平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，進一步培養(yǎng)表達能力；4、通過本節(jié)學習培養(yǎng)直觀現(xiàn)象、邏輯推理等素養(yǎng).重點：平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理難點：定理的探究發(fā)現(xiàn)即綜合應用1、判斷直線與直線平行的方法有哪些？①平行四邊形的對邊平行、三角形的中位線、棱柱的側(cè)棱互相平行…②相似線段成比例③平行線的傳遞性④直線與平面平行的性質(zhì)定理2、如何判定直線與平面平行？②判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.①定義法：直線與平面沒有公共點直線與平面平行的性質(zhì)定理是什么？3、平面與平面的位置關(guān)系有哪些？兩個平面平行兩個平面相交：沒有公共點：有無數(shù)個公共點(在一條直線上)4、如何判定平面與平面平行？由于平面的無限延展，很難去判斷平面與平面是否有公共點，因此很難直接利用定義判斷．那么平面與平面平行的判定，是否有更簡便的方法？

平面與平面平行兩個平面沒有公共點一個平面內(nèi)任意一條直線都與另一個平面沒有公共點一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面面面平行線面平行若一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行.思考：平面內(nèi)的直線有無數(shù)多條，如何判定一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面呢？有沒有更簡便的方法？能否將“一個平面內(nèi)任意直線平行另一個平面”中的“任意直線”減少？根據(jù)基本事實的推論2，3，過兩條平行直線或兩條相交直線，有且只有一個平面．由此可以想到，如果一個平面內(nèi)有兩條平行或相交的直線都與另一個平面平行，是否就能使這兩個平面平行？

思考：兩條相交直線和兩條平行直線都可以確定一個平面.但為什么可以用兩條相交直線判定兩個平面平行，而不能利用兩條平行直線呢？你能從向量的角度解釋嗎？

平面向量基本定理表明：平面內(nèi)任意一個向量可以用平面內(nèi)兩個不共線的向量來表示.因此兩條相交直線可以看成兩個不共線向量，可以表示平面內(nèi)的任意一條直線；而兩條平行直線代表共線向量，不能表示平面上的任意直線.一、面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行.①符號語言：

圖形語言：直線與平面平行平面與平面平行直線與直線平行轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化直線的條數(shù)不是關(guān)鍵，直線相交才是關(guān)鍵.生活實例：工人師傅將水平儀在桌面上交叉放至兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的找2次線面平行m與a,b相交相矛盾假設(shè)α，β相交于m定理證明一、面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M,N,E,F分別是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中點，求證：平面AMN//平面DBEF.

如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是平行四邊形,點G和點H分別是CE和CF的中點.求證:平面BDGH∥平面AEF.ABCA1C1D1DEFMNB13、如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M,N,E,F分別是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中點，求證：平面AMN//平面DBEF.教材P182ABCA1C1D1DEFMNB1解析：在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，所以GH∥EF，又因為GH?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF.設(shè)AC∩BD=O，連接OH，在△ACF中，因為OA=OC，CH=HF，所以O(shè)H∥AF，又因為OH?平面AEF，AF?平面AEF，所以O(shè)H∥平面AEF.因為OH∩GH=H，OH，GH?平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.練習：如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是平行四邊形,點G和點H分別是CE和CF的中點.求證:平面BDGH∥平面AEF.O思考：前面我們得到了平面與平面平行的判定方法，反過來，也就是以平面與平面平行為條件，可以推出哪些結(jié)論.根據(jù)已有的研究經(jīng)驗，我們先探究兩個平行平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系.探究1：若面α//面β，則α與β內(nèi)的直線的位置關(guān)系是____________.平行或異面若面α//面β，則兩個平面內(nèi)的兩條直線什么時候平行？設(shè)面α內(nèi)的直線a與面β內(nèi)的直線b平行，即a//b.由推論知：兩條平行直線a和b可確定唯一一個平面γ,則面α∩面γ=a，面β∩面γ=b.當另一個平面γ分別與兩平行平面α，β相交時，兩條交線互相平行.

面面平行的性質(zhì)定理：文字語言：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．

圖形語言：平面與平面平行直線與直線平行探究2：若面α//面β，則α內(nèi)的直線與β的位置關(guān)系是_______.平行a

兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面

.直線與平面平行平面與平面平行（1）已知平面α，β和直線m，n，若m?α，n?β，m//β，n//α，則α//

β.（2）若一個平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一平面β，則α//β.（3）平行于同一條直線的兩個平面平行.（4）平行于同一個平面的兩個平面平行.（5）一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交.（6）如果一個平面內(nèi)無數(shù)條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.××√1.判斷下列命題是否正確，并說明理由．√√教材P142×

教材P142Ｄ例題：三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.證明：∵D，E分別是PA，PB的中點，∴DE//AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，∴DE//平面ABC，同理可得EF//平面ABC，且DE∩EF＝E，DE,EF?平面DEF，∴平面DEF//平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，∴NF//CM.法一：取BB1的中點為M，連接MC，連接MA交BE于點N，連接ND又因為E，F(xiàn)分別是A1A，C1C的中點，且ACC1A1為正方形，所以AE∥BM且AE=BM，B1M∥CF且B1M=CF即四邊形AEMB和B1MCF均是平行四邊形，所以MC∥B1F，N是AM的中點，又D是AC的中點，所以ND∥MC，所以ND∥B1F，又ND?平面BDE，B1F?平面BDE，所以B1F∥平面BDE練習：在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為棱AC，AA1，CC1的中點.求證:B1F∥平面BDE.MN練習：在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為棱AC，AA1，CC1的中點.求證:B1F∥平面BDE.法二：設(shè)A1C1的中點為D1,連接B1D1,D1D,D1F,∵D是AC的中點,∴DD1∥BB1,且DD1=BB1,∴四邊形BDD1B1是平行四邊形,∴BD∥B1D1,又B1D1?平面BDE,BD?平面BDE,∴B1D1∥平面BDE.∵E,F分別是A1A,C1C的中點,且ACC1A1為正方形,∴D1F∥ED.∵D1F?平面BDE,ED?平面BDE,∴D1F∥平面BDE,又D1F?平面B1D1F,B1D1?平面B1D1F,B1D1∩D1F=D1,∴平面B1D1F∥平面BDE,∵B1F?平面B1D1F,∴B1F∥平面BDE.二、平面與平面平行的性質(zhì)①兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.②面面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．③平行于同一平面的兩個平面平行.思考：如果直線不在兩個平行平面內(nèi)，或者第三個平面不與這兩個平面相交，以兩個平面平行為條件，你還能得出哪些結(jié)論？⑥夾在兩個平行平面間的平行線段相等.⑦兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.④若一條直線與兩平行平面中的一個平面相交，則該直線與另一平面也相交⑤過平面外一點有且只有一個平面與這個平面平行.

推論：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.

BDbACa

教材P145

教材P145

教材P145

B15、如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面五個命題:(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四邊形的面積為定值；(4)棱A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當容器傾斜如圖(3)所示時，BE·BF是定值.其中所有正確命題的序號是_____________，為什么?①②④⑤A1D1//EH.V水=S底

高,V水為定值,高為定值,則S底為定值.面AB1//面DC1,側(cè)棱平行.教材P145一、面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行.符號語言：

圖形語言：直線的條數(shù)不是關(guān)鍵，直線相交才是關(guān)鍵.二、面面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．

圖形語言：

平面與平面平行的性質(zhì)①兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.②面面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．③平行于同一平面的兩個平面平行.⑥夾在兩個平行平面間的平行線段相等.⑦兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.④若一條直線與兩平行平面中的一個平面相交，則該直線與另一平面也相交⑤過平面外一點有且只有一個平面與這個平面平行.練習：如圖所示,在四棱錐C-ABED中,四邊形ABED是正方形,點G、F分別是線段EC，BD的中點（1）求證：GF//平面ABC.（2）線段BC上是否存在一點H，使得平面GFH//平面ACD？若存在，請找出點H并證明；若不存在，請說明理由.(1)證明：連接AE交BD于點F.因為四邊形ABED為正方形可知，F(xiàn)為AE中點，故GF//AC，又GF?平面ABC，AC?平面ABC，所以GF//平面ABC.練習：如圖所示,在四棱錐C-ABED中,四邊形ABED是正方形,點G、F分別是線段EC，BD的中點（