【經(jīng)濟(jì)博弈論】兩人討價(jià)還價(jià)問題探討

合作博弈討價(jià)還價(jià)問題探討小組成員：崔清德周建棟郭思尼12合作博弈一般地，我們將允許存在有約束力協(xié)議的博弈稱為“合作博弈”合作博弈亦稱為正和博弈，是指博弈雙方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受損害，因而整個(gè)社會(huì)的利益有所增加的。22024/5/10合作博弈與非合作博弈的區(qū)別非合作博弈與合作博弈的根本區(qū)別，是前者不考慮博弈方之間可以運(yùn)用有約束力協(xié)議的情況，而后者則允許這種協(xié)議的存在。合作博弈是研究人們達(dá)成合作時(shí)如何分配合作得到的收益，即收益分配問題。而非合作博弈是研究人們在利益相互影響的局勢中如何選決策使自己的收益最大，即策略選擇問題。非合作博弈排斥有約束力的協(xié)議，就把分析對象限制在個(gè)體理性基礎(chǔ)上的個(gè)體決策上，個(gè)體理性決策是經(jīng)濟(jì)主體最基本的行為邏輯，個(gè)體理性決策相對于聯(lián)合理性基礎(chǔ)上的合作行為而言比較簡單，因而非合作博弈分析不僅有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，而且比較容易分析和標(biāo)準(zhǔn)化。32024/5/10為什么需要合作博弈理論個(gè)體理性并不是人類經(jīng)濟(jì)行為背后的唯一邏輯，其中聯(lián)合理性的集體決策行為也相當(dāng)普遍。非合作博弈理論雖然非常有效，但它無法分析現(xiàn)實(shí)中普遍存在的聯(lián)合理性行為。合作博弈理論的發(fā)展也是非合作博弈理論本身的要求。非合作博弈分析經(jīng)常會(huì)遇到無帕累托優(yōu)劣關(guān)系的多重納什均衡問題。例如兩個(gè)人分100元，作為非合作博弈，兩博弈方策略就是各自所要求的數(shù)額0≤si≤100,雙方的策略組合（s1，s2）滿足s1+s2≤100,他們得益與策略相等，否則得益為0。所有滿足0≤si≤100且s1+s2=100的（s1，s2）都是納什均衡。非合作博弈之所以無法解決上述問題，就在于忽視了博弈雙方之間可能的聯(lián)合理性行為。如果博弈方可能采用聯(lián)合理性行為，就能發(fā)現(xiàn)通過博弈方的協(xié)調(diào)行為（協(xié)調(diào)方法正是本章要討論的），完全可以解決這個(gè)非合作博弈理論無法解決的多重納什均衡問題。

42024/5/10合作博弈理論的特征和結(jié)構(gòu)“協(xié)議”產(chǎn)生的本質(zhì)原因博弈方之間既存在共同利益但利益又不完全一致。如果博弈方之間的利益完全對立或完全一致，就不能產(chǎn)生這樣一個(gè)“協(xié)議”。如果博弈方之間利益完全對立或完全一致，就沒有協(xié)調(diào)的余地或不需要協(xié)調(diào)。52024/5/10“協(xié)議”的內(nèi)容約定行為利益分配關(guān)于利益分配的討價(jià)還價(jià)（bargain），是合作博弈的共同特征?！皡f(xié)議”達(dá)成的前提通過討價(jià)還價(jià)對利益分割達(dá)成一致不管合作博弈問題來源于經(jīng)濟(jì)交易，合作還是競爭，也不管人數(shù)多少，合作博弈問題本質(zhì)上都是關(guān)于利益分割的討價(jià)還價(jià)。62024/5/10舉例說明用合作博弈的思想分析兩人分100元現(xiàn)金的問題，可以考慮博弈方用協(xié)議協(xié)調(diào)雙方的可能性。但簽訂協(xié)議的前提是雙方對分配的方案達(dá)成共識，而這種共識是通過討價(jià)還價(jià)形成，因此兩人分100元現(xiàn)金的合作博弈是關(guān)于利益分配的討價(jià)還價(jià)問題。市場交易也是利益分配的討價(jià)還價(jià)問題。設(shè)兩人對某個(gè)物品進(jìn)行交易，如果賣方的主觀價(jià)值評價(jià)是50元，買方的主觀價(jià)值評價(jià)是80元，兩人交易能夠?qū)崿F(xiàn)總共80-50=30的交易利益，也就是消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余之和。雙方對交易價(jià)格的討價(jià)還價(jià)，實(shí)際上就是對30元交易利益分配的討價(jià)還價(jià)。博弈方數(shù)量的增加也不會(huì)改變合作博弈的這種本質(zhì)特征。72024/5/10合作博弈的研究對象兩人討價(jià)還價(jià)博弈純粹討價(jià)還價(jià)的兩人合作博弈，博弈方選擇只有合作或不合作，以那個(gè)方案合作。如:兩個(gè)人分100元的問題聯(lián)盟博弈多人合作博弈，博弈方之間可以聯(lián)盟,三人分300元，分配方案按民主表決（少數(shù)服從多數(shù)）通過。博弈方1和博弈方2可以結(jié)成聯(lián)盟，強(qiáng)行通過剝奪博弈方3的利益并對他們兩人有利的分配方案。當(dāng)然博弈方3也可以通過分化瓦解博弈方1和2的聯(lián)盟，并與其中一方形成聯(lián)盟加以對抗等等。82024/5/10兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)是合作博弈理論的基本問題，也是博弈論最早研究的問題，兩人討價(jià)還價(jià)實(shí)質(zhì)上都是兩個(gè)經(jīng)濟(jì)主體之間對特定利益的分配分割。交易雙方的價(jià)格談判勞資雙方的工資爭端合作者的利潤獎(jiǎng)金分配等等92024/5/10兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)博弈的分配一般用s=(s1,s2)表示，其中s1和s2分別代表兩個(gè)博弈方的分配。分配受問題條件和基本理性要求的約束，例如在兩個(gè)人分100元的問題中，分配必須滿足雙方利益之和不超過100，其次雙方的利益分配必須都在0到100之間。滿足上述兩個(gè)要求的分配稱為本博弈的“可行分配”兩人討價(jià)還價(jià)的可行分配可以用集合，其中i=1,2,m是最大可分配利益，集合S也稱為“可行分配集”。

可行分配集：滿足問題條件和基本理性要求約束的分配構(gòu)成的集合。分配與可行分配：可行分配集102024/5/10兩人討價(jià)還價(jià)問題

效用配置與效用函數(shù)112024/5/10兩人討價(jià)還價(jià)問題談判破裂時(shí)博弈雙方的利益稱為“談判破裂點(diǎn)”或“破裂點(diǎn)”通常用d=(d1,d2)表示，其中di是博弈方i在談判破裂時(shí)可以得到的收益。談判破裂點(diǎn)也是討價(jià)還價(jià)雙方的可行選擇之一假如甲乙兩人進(jìn)行一個(gè)項(xiàng)目的合作談判，假設(shè)該項(xiàng)目的預(yù)期利潤是10000元。但甲不搞這個(gè)項(xiàng)目還有另外一個(gè)能獲利2000元的項(xiàng)目，而乙則沒有其他的獲利機(jī)會(huì)，那么如果甲和乙之間的談判破裂，甲可獲得2000元，乙則一無所有。用談判破裂點(diǎn)表示就是

d=(d1,d2)=(2000,0)

談判破裂點(diǎn)122024/5/10其中S是可行分配集，d為破裂點(diǎn)，u1，u2是兩個(gè)博弈方各自的效用函數(shù)

兩人討價(jià)還價(jià)問題定義：132024/5/10兩人討價(jià)還價(jià)問題納什解導(dǎo)出分配滿足效率和公平兩個(gè)基本要求。效率要求可以包含帕累托效率和總體利益最大化兩個(gè)層次的要求，而總體利益最大化經(jīng)常與個(gè)體理性相矛盾，因而效率要求我們采用與個(gè)體理性沒有矛盾的帕累托效率。帕累托效率公理

142024/5/10兩人討價(jià)還價(jià)問題

帕累托效率公理也可以表達(dá)為“討價(jià)還價(jià)問題的解落在帕累托邊界上”。帕累托效率公理表明雖然討價(jià)還價(jià)的結(jié)果可能與雙方的談判技巧相關(guān)，但兩個(gè)對手討價(jià)還價(jià)的結(jié)果必須落在該邊界上，雙方談判的內(nèi)容只是究竟取決該邊界上哪一點(diǎn)而已。152024/5/10對稱性公理介紹在自愿交易、合作活動(dòng)中，人們比較容易接受公平的交易或合作方案，如果人們認(rèn)為一個(gè)方案不公平，即使能夠帶來更大的利益，也常常會(huì)拒絕接受。如果雙方的情況是對稱的，雙方得到相同待遇顯然是普遍接受的公平原則。這可以歸納為如下所列的“對稱性公理”對稱性公理

圖1對稱性公理圖示

對稱線

162024/5/10有了上述帕累托效率和對稱性兩個(gè)公理，就可以找到兩人討價(jià)還價(jià)問題的解了，下面以100元現(xiàn)金討價(jià)還價(jià)問題為例進(jìn)行說明。

1）兩人分100元的討價(jià)還價(jià)問題是對稱的，即兩人均可以在[0,100]之間進(jìn)行討價(jià)還價(jià)。2)以橫、縱軸分別表示兩個(gè)博弈方得到的效用（此處等于利益）。3)同時(shí)滿足對稱性和有效性兩個(gè)公理的分配。

以圖2進(jìn)行解釋：圖2兩人分100元的合作博弈解

對稱線(100,0)(0,100)(50,50)

這樣，(50,50)同時(shí)滿足了公平與效率兩方面要求，是該種情況下的唯一分配，是雙方最能夠接受的的“合理”分配解。172024/5/10事實(shí)上，所有兩人對稱的討價(jià)還價(jià)問題，都可以用對稱性和帕累托效率兩個(gè)公理進(jìn)行求解。然而，現(xiàn)實(shí)生活中的許多種因素會(huì)造成討價(jià)雙方的處境不對稱。對于非對稱的討價(jià)還價(jià)問題，對稱行公理無法直接運(yùn)用。引起兩人討價(jià)還價(jià)博弈不對稱的原因：雙方談判破裂點(diǎn)d的差異，如圖3所示。

圖3兩人談判破裂點(diǎn)示意圖

182024/5/10非對稱討價(jià)還價(jià)博弈問題的求解

圖4談判破裂點(diǎn)非對稱問題的解決對稱線

192024/5/10

202024/5/10線性變換不變性公理介紹現(xiàn)實(shí)生活中，除了談判破裂點(diǎn)外，還有許多因素會(huì)引起討價(jià)還價(jià)問題的不對稱性，如博弈方來自物價(jià)差異較大的不同地方，同樣的收入有不同的購買力等等情況。

212024/5/10線性變換不變性公理

線性變換不變性公理表明了討價(jià)還價(jià)問題解的不變性，是指實(shí)質(zhì)性的結(jié)果，也就是利益分配不變，效用配置的結(jié)果其實(shí)還是變化的，也要做與效用函數(shù)相同的線性變換。公理應(yīng)用：

利用線性變換不變性公理，可以把許多非線性討價(jià)還價(jià)問題通過線性變化轉(zhuǎn)化為對稱問題，根據(jù)對稱性和帕累托效率公理求解以后，再得到原討價(jià)還價(jià)問題的解。下面針對果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題，對線性變換不變性公理進(jìn)行進(jìn)一步解釋。222024/5/10果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題

圖5兩人分土地問題的效用配置集8000050000

232024/5/10圖6分土地問題的線性不變性公理示意圖對稱線100100(50,50)

果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題

242024/5/10這樣，根據(jù)線性變換不變性公理，類似上述不影響偏好結(jié)構(gòu)的博弈方本身因素引起非對稱問題都可以得到解決。

但是如果存在有博弈方風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和效用偏好引起的偏好結(jié)構(gòu)差異，且理論上討價(jià)還價(jià)的效用配置集可以很不規(guī)則，無法用線性變換轉(zhuǎn)變成對稱集合的情況，就無法用線性變換不變性公理得到解決。需要用另外一種對稱化的方法進(jìn)行求解，如下所述：求解無法用線性變換對稱化的討價(jià)還價(jià)問題的方法思路：增加實(shí)際上不會(huì)被選擇的“無關(guān)”分配方案，把非對稱的效用配置集擴(kuò)展成對稱的效用配置集，從而用對稱性公理和帕累托效率公理進(jìn)行求解，如圖7所示：

圖7對稱擴(kuò)展問題和原問題的解示意圖252024/5/10獨(dú)立于無關(guān)選擇公理介紹上述對稱擴(kuò)展問題和原問題的求解實(shí)際上用到了一個(gè)普遍意義的結(jié)論，那就是如果一個(gè)具有更大選擇范圍問題的最優(yōu)解在其中的一個(gè)小范圍內(nèi)，那么這個(gè)小范圍中的最優(yōu)解就是大范圍內(nèi)的最優(yōu)解。在兩人討價(jià)還價(jià)問題中這個(gè)結(jié)論可以歸結(jié)為下列“獨(dú)立與無關(guān)選擇公理”。獨(dú)立與無關(guān)選擇公理

求解思路：1）利用獨(dú)立與無關(guān)選擇公理解決非對稱討價(jià)還價(jià)問題的關(guān)鍵，是要讓擴(kuò)展問題的解在原問題的效用配置集中。2）由于擴(kuò)展問題是對稱的，其解一定在對稱線與帕累托交點(diǎn)處，因此只有當(dāng)原問題的效用配置集與擴(kuò)展問題的效用配置集邊界在該點(diǎn)相切才符合要求，但這并不一定能夠做到，如圖7所示：

262024/5/10

圖7擴(kuò)展問題的解在原問題效用配置集外

272024/5/10圖8線性變換和無關(guān)選擇公理的結(jié)合

2)然后,用逆線性變換的到原來效用的解，從而進(jìn)一步得到分配集合的解。有了上述一系列處理方法，不管問題是對稱的還是非對稱的，也不管非對稱的原因和情況如何，理論上可以解決所有討價(jià)還價(jià)的問題。

實(shí)際上，上述在四個(gè)基本公理基礎(chǔ)上的兩人討價(jià)還價(jià)解，早已被納什總結(jié)在其著名的納什解法中了，因此并不需要根據(jù)上述公理去逐步求解。下面介紹“納什討價(jià)還價(jià)解法”：282024/5/10納什討價(jià)還價(jià)解法同時(shí)滿足帕累托效率、對稱性、線性變換不變性、獨(dú)立于無關(guān)選擇四個(gè)公理的，兩人討價(jià)還價(jià)問題的唯一解，就是下列約束最優(yōu)化問題的解：

這個(gè)最優(yōu)化問題的解被稱為討價(jià)還價(jià)問題的“納什解”，或者“納什討價(jià)還價(jià)解”，是非線性優(yōu)化問題的最優(yōu)化點(diǎn)，其目標(biāo)函數(shù)也稱為“納什積”。

因?yàn)樵摷{什積一般是凹函數(shù)，效用配置集合一般是凸緊集，因此該最優(yōu)化問題通常有唯一的解。

292024/5/10

圖9討價(jià)還價(jià)問題的納什解

302024/5/10運(yùn)用“納什解法”求解兩人分100元現(xiàn)金的問題

圖10風(fēng)險(xiǎn)偏好差異博弈方分100元的效用配置集和納什解100

312024/5/10

運(yùn)用“納什解法”求解兩人分100元現(xiàn)金的問題322024/5/10納什解法總結(jié)：從上述求解結(jié)果可以看出，討價(jià)還價(jià)雙方風(fēng)險(xiǎn)偏好的差異對討價(jià)還價(jià)的結(jié)果有明顯影響。雙方所得分配的差異取決于反映風(fēng)險(xiǎn)偏好的系數(shù)b，b越小，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度越嚴(yán)重，所得的分配就越小，所得效用更小。如b=0.5時(shí)，博弈方2所得只為博弈方1的一半。納什解法的重要性所在：滿足對稱性、帕累托效率、線性變換不變性和獨(dú)立于無關(guān)選擇四個(gè)公理，滿足公平與效率兩方面的要求。納什解優(yōu)化分析目標(biāo)函數(shù)中的聯(lián)動(dòng)效用函數(shù)，也就是納什積，也顯示了納什解對雙方的利益分配都很重視，不鼓勵(lì)一味追求自身利益而忽略對方利益等。納什解法實(shí)際上是一種尋找討價(jià)還價(jià)“合理”結(jié)果的公理化方法，其關(guān)鍵是能夠反映公平、效率和一些技術(shù)要求的公理。然而這