2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

4.4對(duì)數(shù)函數(shù)

第1課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及圖像與性質(zhì)

考點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

1.(2019?河北唐山一中高一期中)與函數(shù)尸相等的函數(shù)是()o

A.y=B.尸|尸1

式2-]

C.y=x-lD.尸-----

X+1

答案:A

解析：產(chǎn)101”"=七1(x>l),而片(范)=『1(x>l)，故選A?

2.(2019?湖北公安一中單元檢測(cè))設(shè)集合於3片Igx},代{y|片1g*},則下列關(guān)系中正確的

是()。

A.AU&=AB.AC斤0C.A=BD.AQB

答案:D

解析：由題意知集合A={x|x>0}，於{y|yGR},所以AQB.

?福建南安一中高一第二階段考試)設(shè)函數(shù)41X則『(『(的值為

3.(2019A^)={^X>1-1'10))

()。

A.IglOlB.1

C.2D.0

答案:C

解析:/■(/■(10))=f(lgl0)=f(l)=12+l=2。

4.(2019?東風(fēng)汽車一中月考)下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是(兀

A.片loga(2x)B.尸IglO'

C.尸log〃(V+x)D.y=lnx

答案:D

解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義,知D正確。

5.(2019?廈門調(diào)考)已知f(x)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則“游)=.

答案?

解析：設(shè)f(x)=log/(d>0,且aWl),貝!Jlog$=-2,?*4，即a=V2,

2

AV4)=log^2V4=log2(V4)=log223=io

6.(2019?河南中原油田一中月考)已知函數(shù)F(x)=log3X,則F(遍)二

答案名

解析：函數(shù)F(x)=log3X,則AV3)=log3V3=log332=j0

考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像

7.（2019?山西康杰中學(xué)高一期中）為了得到函數(shù)f（x）=log4的圖像，只需將函數(shù)g（x）=log[

O

的圖像（）。

A.向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B.向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

答案:A

解析：由題意得,函數(shù)g（x）=log9=log2xTog28=log2『3,所以只需將函數(shù)g（x）=log[的圖像向

上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)/"（xhlogj的圖像,故選A。

8.（2019?江西九江一中單元測(cè)試）如圖4-4-1-1所示，曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)片log.的圖像，已知

a取近卷，則相應(yīng)于G,C,G,&的a值依次為（）。

A.V2,-,-,—B.V2,-

3'5'103105

C.V2,-D.72,-

35103105

答案:C

解析:方法一:G,G的底數(shù)都大于1,當(dāng)X>1時(shí)圖像低的底數(shù)大,所以G,G對(duì)應(yīng)的a值分別為

|,V2eG,&的底數(shù)都小于1,當(dāng)XI時(shí)底數(shù)大的圖像高,Q,6對(duì)應(yīng)的a值分別為|,總。綜合以

上分析,可得G,G,G,G對(duì)應(yīng)的a值依次為|,V2,|,卷。故選C,

方法二:如圖，作直線尸1與四條曲線交于四點(diǎn)，由尸log,尸1,得產(chǎn)a（即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于底

數(shù)），所以交點(diǎn)橫坐標(biāo)小的底數(shù)小，所以G,C,G,&對(duì)應(yīng)的a值分別為右迎,|,高。故選C。

9.（2019安徽六安一中單元檢測(cè)）已知a>l,伙-1,則函數(shù)尸log.（尸6）的圖像不經(jīng)過(guò)（）。

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案:D

解析：.?.函數(shù)尸log“*的圖像如圖所示，函數(shù)片1。8“（『8）（伙-1）的圖像就是把函數(shù)

尸log/的圖像向左平移％I（|引>1）個(gè)單位長(zhǎng)度,如圖。

由圖可知函數(shù)片log.（尸6）的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限。

r.v=log“(x?6)

10.(2019?安徽宣城郎溪中學(xué)高一月考)函數(shù)Ax)二xlnlxl的大致圖像是()。

okyx\y\0

AB

CD

圖4-4-1-2

答案:A

解析:根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知，片x是奇函數(shù)，片ln|M是偶函數(shù)。因?yàn)閒(x)表示的為奇函數(shù)與

偶函數(shù)之積,所以得到的函數(shù)是奇函數(shù),因此排除選項(xiàng)C,D;當(dāng)X-+8時(shí),fj)f+8,所以選

項(xiàng)B錯(cuò)誤。故選A。

11.(2019?廣東清遠(yuǎn)一中月考)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(8,-3),則

f②⑦=。

答案：-|

解析：設(shè)f(x)=log“x(d>0,a聲1),則-3=log?8,

a±；.Hx)=]og”,A2V2)=logi2V2=--0

2222

12.(2019,廣東陽(yáng)東廣雅學(xué)校高一期中)函數(shù)片log,(『3)-2的圖像過(guò)的定點(diǎn)是。

答案：(4,-2)

解析：當(dāng)尸4時(shí),尸log.(4-3)-2=-2,即圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(4,-2)。

考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

13.(2019?鄭州二中單元測(cè)試)函數(shù)片2+log2X(x21)的值域?yàn)?)。

A.(2,+8)B.(-8,2)

C.[2,+0O)D.[3,+8)

答案:C

解析：設(shè)片2+。Alog2X(x》l)。：i=log2X在[1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，二t2log21=0。

產(chǎn)2+logzx的值域?yàn)閇2,+8)。

14.(2019?廣東仲元中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(A)=jlgx|,0<a<A且f(a)〉F(9,則()。

A.ab>lB.0<aZKl

C.ab=\D.(a-1)(6-1)>0

答案:B

解析：由題意得0<水伙1或0<a<KAo當(dāng)0〈a〈伙I時(shí)，顯然(Ka伙1;當(dāng)0<a<l<b時(shí)，有-lga>lgb,

.?.Iga+lg爐Iga慶0,.,.0<a6<l。綜上可知，0〈a從1,故選B。

15.(2019?濟(jì)南一中月考)已知a=log23.4,為log,3.6,<-log30.3,則()。

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

答案:A

解析：因?yàn)閍=log23.4>1,0<￡^log(3.6<1,c=log;iO.3<0,所以a>b>c,故選A。

16.(2019?河北衡水高一期中)已知函數(shù)/U)=log/x|在(0,+8)上單調(diào)遞增，則()。

A.A3XA-2)<f(l)

B.A1XA-2XA3)

C.f(-2)<F(1)"(3)

D.A3XA1XA-2)

答案:B

解析：畫出函數(shù)Ax)=10g?|A-I的圖像(圖略)，可知該函數(shù)是偶函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+8)上單

調(diào)遞增,所以f⑴<F(2)=f(-2)〈f⑶，故選Bo

17.(2019?山東聊城高一上期中考試)若log“"l(a>0,且aWl),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()。

A《'l)

13?&+8)

c.(0,i)u(1,+8)

D

-(6加&+8)

答案:C

解析：log*l=log,?a,當(dāng)0<水1時(shí)，即0<水：；當(dāng)a>\時(shí)，雇，即a>lo綜上，d￡(0，)LJ

(1,+°°)?

18.(2018?四川涼山州?？?函數(shù)片lg(f-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(兀

A.[1,+8)B.(2,+8)

C(-8,1]D.(-8,0)

答案:B

解析：由已知,得歲-2.>0,解得x>2或%<0?因?yàn)楫a(chǎn)產(chǎn)-2%在[1,+8)上是增函數(shù)，在(-8,1]

上是減函數(shù),而尸1g"在(0,+8)上是增函數(shù),所以尸lg(f-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),

故選B。

19.(2018?湖南衡陽(yáng)調(diào)考)1〃式1+3+1)與logA的大小關(guān)系為()。

224

3

A.Iogi(a2+a4-1)>logi-

224

B.logi(52+a+l)>logi-

224

C.logi(a2+a+l)^logi-

224

D.logi(a2+a+l)<logi-

224

答案:c

2

解析：'.?產(chǎn)］og”在(0,+8)上是減函數(shù),而a+a+l=(a+工)+-5：-,logi(a2+</+l)^logi-o

22/442萬(wàn)4

20.(2019?江西井岡山一中單元測(cè)試)若片log“(3a-l)恒為正值，則a的取值范圍為(晨

A.&+8)

C.(1,+8)

D.(L+8)

答案:D

解析：?.?尸log.(3a-l)恒為正值，

?I：<3a-l<1<X1>1,解得或血。故選及

21.(2019武漢外校月考)已知logo*(戶2)>log0.45(l-x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

答案:92,

解析：由10g0.45?2）>10go.45（l-x）,得0（戶2<l-x,解得-2（矛<-|。

22.(2019?西安調(diào)考)函數(shù)片2'-log±(編1)在區(qū)間［0,1］上的最大值與最小值之和

2

為。

答案：4

解析：因?yàn)槠?,在［0,1］上單調(diào)遞增，j-logl(行1)在［0,1］上單調(diào)遞減,所以

2

*/V)=2'Tog±(內(nèi)1)在［0,1］上單調(diào)遞增,所以y的最大值為f(1)=21Tog"=2-(-1)=3,最小

22

值為f(0)-20-logil=l-0=l,所以最大值與最小值之和為4。

2

考點(diǎn)4與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問(wèn)題

23.(2019?河北衡水高一月考)函數(shù)Hx)=ln(f-x)的定義域?yàn)?)。

A.(0,1)

B.［0,1］

C.(-8,0)U(1,+8)

D.(-8,0］U［1,+8)

答案:C

解析：由x-x>0,解得X0或x>l,則定義域?yàn)?-8,0)U(1,+8),故選c?

24.(2019?江西南昌一中高一期中)函數(shù)尸的定義域?yàn)?)?

l-X2~3x+4

A.(-4,-1)B.(-1,1］

C.(-4,1)D.(-1,1)

答案:D

解析:要使函數(shù)有意義,需滿足0解得T<x<l，故函數(shù)的定義域?yàn)?T，1)，故

選Do

25.(2019?湖南邊城一中單元測(cè)試)函數(shù)尸lg(l+32-，z)的值域?yàn)?)。

A.(-?>,1)B.(0,1]

C.[0,+°°)D.(l,+8)

答案:B

解析：?.?2-VW2,.,.0〈32...1〈1+32*W1O,.?.0<lg(l+32.)Wl,.?.尸lg(l+32/)的值

域?yàn)?0,1]?

26.(2019?天津南開中學(xué)月考)函數(shù)/?(x)=log2(-x：;-2戶3)的值域?yàn)椤?/p>

2

答案：[-2,+8)

解析：設(shè)u=-x2-2x+3,則u=-(x+l)2+4^4,Vu>0,A0<u^4o又y=logau在(0,4]上是減函

2

數(shù)，，log：2log工4,即f(x)2-2,?,?函數(shù)f(x)=logz(-x2-2x+3)的值域?yàn)閇-2,+8)。

222

考點(diǎn)5對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的基本應(yīng)用

27.(2019?黃岡中學(xué)月考)函數(shù)產(chǎn)log,(戶4)(00,且aWl)的圖像恒過(guò)點(diǎn)(0,0),則函數(shù)

j^logi(尸女)的圖像恒過(guò)點(diǎn)O

a

答案：(2,0)

解析：由題意，得log.*=0,???片logj,(尸公=logz(xl)的圖像恒過(guò)點(diǎn)⑵0)o

aa

2(n,

28.(2019?深圳中學(xué)期中)已知a=2016°-,2log如O2016,c=logo.MlliO.2014,則a,b,c的大

小關(guān)系是(用”>”連接)。

答案：c>a>6

解析：?.?產(chǎn)2016'在R上是增函數(shù)，

<,2014

.,.0<2016-<2016°=1O

I,尸10g20Mx在(0,+8)上是增函數(shù),

l.Og20L40.2016*(1Og20il1~0O

?尸log0,20l6X在(0,+8)上是減函數(shù)，

；?log。,2016。?2014>1,0go,20160.2016=1o

-02014

Alog0.20160.2014>2016->log2oll0.2016,即c>a>b.

29.(2018?濟(jì)南調(diào)考)已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1],則函數(shù)>log2(3-，]的定義域

2

為。

答案:[2,|]

解析:在/'(x)中，xG[0,1],所以0Wlog±(3-x)Wl,所以：W3rWl,解得所以函數(shù)

222

/[log式3-X)]的定義域?yàn)樽?|]?

30.(2019?北京大學(xué)附中單元檢測(cè))已知函數(shù)/Xx)=lg|x|。

(1)判斷函數(shù)/1(*)的奇偶性；

答案:解:要使函數(shù)有意義,X的取值需滿足x|>0,解得xWO,即函數(shù)的定義域是(-8,0)U

(0,+8)。/?(-x)=lg|-x|=lg|x|=F(x),.?.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。

(2)畫出函數(shù)『(")的草圖；

答案:解：由于函數(shù)/tr)是偶函數(shù),則其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,將函數(shù)片Igx的圖像對(duì)稱到y(tǒng)軸

的左側(cè)與函數(shù)尸Igx的圖像合起來(lái)得到函數(shù)f(x)的圖像,如圖所示。

(3)利用定義證明函數(shù)/■(.)在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)。

答案：證明：設(shè)Xi,x2e(-8,0),且Xi<X2,則f(xj-f(x2)=lgl小|Tg|x2|=lgT~=lgp「

(-8,0),且為<及，.\|布|〉|至|>0。.?.圖>1。/.lg|il|>OQ/.f(xi)>f(x2)o

???函數(shù)fix)在(-8,0)上是減函數(shù)。

第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用

考點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的變換及應(yīng)用

1.(2019?西安中學(xué)單元測(cè)試)函數(shù)片log?(l-x)的圖像是()。

圖4-4-2-1

答案:C

解析：函數(shù)尸log2(l-x)的定義域?yàn)榕懦鼳,B;由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)為減函

數(shù)，排除D。故選C。

2.(2019南昌一中月考)若當(dāng)xGR時(shí),函數(shù)F(x)=a*(a>0,且aWl),滿足0〈f(x)W1,則函數(shù)

晨

D

圖4-4-2-2

答案:A

解析：由題意得0〈水1,所以尸log」平TogJ引=[T°gaX'%>0，且0〈水1,故選A。

3.(2019河北衡水中學(xué)高一期中)函數(shù)/'(x)=lg(|x|T)的大致圖像是圖4-4-2-3中的()。

圖4-4-2-3

答案:B

解析:依題意,函數(shù)Hx)=lg(|*|T)中，當(dāng)|x|勺>0時(shí)，函數(shù)有意義,即x>l或解T,...定義域

是(一,-1)U(1,+8),且是x)為偶函數(shù),排除C,D?當(dāng)x>l時(shí)，是x)=lg(k1)是增函數(shù),排除

A。綜上所述，選項(xiàng)B正確。

4.(2019?清華附中單元測(cè)評(píng))函數(shù)f(x)=log2|2『4|的圖像為()。

CD

圖4-4-2-4

答案:A

解析：函數(shù)/'(x)=log2|2『4|的圖像可以看作是將函數(shù)片log>2x|的圖像向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)

度得到的，故選A。

5.(2018,杭州調(diào)考)函數(shù)『lg"l1的圖像是()。

圖4-4-2-5

答案:A

解析:將函數(shù)尸Igx的圖像沿y軸翻折后與尸Igx的圖像共同組成尸lg|x|的圖像，再向右平

移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到片lg1尸1的圖像，故A正確。

6.(2018?武漢二月調(diào)考)函數(shù)—=運(yùn)(京-1)的圖像的對(duì)稱性為()o

A.關(guān)于直線片x對(duì)稱

B.關(guān)于x軸對(duì)稱

C.關(guān)于y軸對(duì)稱

D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

答案:D

解析：f(x)=lg(京-l)=lg3,所以F(-x)=lg凳=-lg3=-y(x)。又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域

為(T,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)為奇函數(shù),故函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

7.(2018?鄭州調(diào)考)函數(shù)/"(x)=log.產(chǎn)執(zhí)a>0,且a#l)的圖像不經(jīng)過(guò)第一象限，則a,6的取值

范圍分別為,。

答案：(0,1)ST]

解析:依題意，函數(shù)必須是減函數(shù),且尸log"的圖像至少向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，故。〈水1,5

WT。

8.(2019?華中師大一附中單元檢測(cè))已知函數(shù)尸log”(方1)(a>0,aWl)的圖像過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)

力也在函數(shù)/"(xWZ'+b的圖像上，則/Uog23)=o

答案：T

解析：易知點(diǎn)4(2,0),又因?yàn)辄c(diǎn)/在函數(shù)/1(xAZ"+b的圖像上,所以2、^。,所以b=-4,所以

f(x)=2"-4,所以F(log23)=2iogz3-4=3-4=-l。

考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

9.(2019?安慶一中單元測(cè)評(píng))下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()。

A.f(x)=lg&+*)

B.f(x)=|lg*|

C.f(x)=lg|x|

D.f(x)=lg日

答案:D

解析:對(duì)于選項(xiàng)A中的函數(shù)f(x)=lg&x+斜，函數(shù)定義域?yàn)镽,f(-x)=ig(2-x+9=聞表+

2，卜『(x),故選項(xiàng)A中的函數(shù)為偶函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)B中的函數(shù)f(x)=|lgx|,由于函數(shù)定義域?yàn)?/p>

(0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故選項(xiàng)B中的函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)C中的

函數(shù)F(M=lg|x|,定義域?yàn)?-8,(J)u(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，F(xiàn)(-力=lg|-*|=lg|x|=f(x),

故選項(xiàng)C中的函數(shù)為偶函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)D中的函數(shù)Ax)=lgW，由于函數(shù)的定義域?yàn)?T,1),

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=lg出=TgU=-f(x),故選項(xiàng)D中的函數(shù)為奇函數(shù)。故選D?

1-x1+X

10.(2019?福建漳州一中期中考試)關(guān)于函數(shù)f(x)=log式1-2X)的單調(diào)性的敘述正確的是

2

()。

A.f(x)在+8)上是增函數(shù)

B.f(x)在g,+8)上是減函數(shù)

C.f(x)在98,》上是增函數(shù)

D.f(x)在98,§上是減函數(shù)

答案:C

解析：由l-2x>0,得嗎所以f(x)=log式l-2x)的定義域?yàn)?8,J由于底數(shù)羅(0,1),所以

函數(shù)f(x)=logL(l-2x)的單調(diào)性與尸1-2才的單調(diào)性相反。因?yàn)槭琹-2x在(-8,+8)上是減

2

函數(shù)，所以f(x)在(-8,勺上是增函數(shù),故選C。

11.(2019黑龍江雙鴨山第一中學(xué)高一期中)已知/Xx)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xe[o,+8)

時(shí)，/U)=2"-2,則不等式/'(log/)》。的解集為()。

A.(0,0

B.(i,l)u(2,+8)

C.⑵+8)

D.(0,|)U(2,+8)

答案:D

解析：由題知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)xe[0,+8)時(shí),/U)=2'-2,則f(l)=2'-2=0,且當(dāng)

e[0,+8)時(shí)，函數(shù)/U)單調(diào)遞增,則由不等式f(log2x)>0得

f(logzx).,"(Ilogzxl)>/1⑴，工|logzxl>1,解之得0<水]或x>2。故選D。

12.(2019?東北三校聯(lián)考)設(shè)a6,c均為正數(shù)，且2"=logza,G)b=logW，G)c=log2c,則

()。

A.a<KcB.

C.c<水力D.Ka<c

答案:A

解析:在同一坐標(biāo)系中分別畫出尸2*,尸(J：片log.片log?的圖像，如圖所示。

y=2x與y=log《x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,y=C)與y=log^x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b,y=C)與

y=log2x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為G從圖像可以看出水欣c。

13.(2019?江蘇徐州第一中學(xué)高一期中)函數(shù)j^logi(x2-2x-3)的單調(diào)減區(qū)間為

3

_______o

答案：(3,+8)

解析:要求尸尸3)=logJ(尸1)2-4］的單調(diào)遞減區(qū)間，則{；2：±一3>o解得入>3。

14.(2019?廣東佛山一中高一期中)已知函數(shù)FC0=log式3+2『的，則丹力的值域

2

是O

答案：［-2,+8)

解析:令仁3+2『_?=_(『1)2+4,則0<;(在4。因?yàn)槠琹og&t在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以產(chǎn)2

2

logi4=-2,所以函數(shù)/'(x)=logz(3+2『x2)的值域是-2,+8)。

22

15.(2019?甘肅天水一中高一第二次考試)己知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在［0,+8)上是增

函數(shù),且《5=0,則不等式Alog,a)>0的解集是o

答案：(0,0U(2,+oo)

解析:偶函數(shù)［(*)在［0,+8)上是增函數(shù),則在(-8,0］上是減函數(shù),/({)=/(-3=0,；?當(dāng)xW

(-TO,-|)u(|>+8)時(shí)，f(x)>0,即+8),.?.“，(()，0U(2,+8)。

16.(2018?南京模擬)關(guān)于函數(shù)/*(x)=lg島有下列結(jié)論：

①函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8)；②函數(shù)f(x)是奇函數(shù);③函數(shù)Ax)的最小值為Tg2;④當(dāng)

0<x<l時(shí)，函數(shù)/Xx)是增函數(shù)；當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)Ax)是減函數(shù)。其中正確結(jié)論的序號(hào)

是________

答案:①④

解析：由日>。知函數(shù)｛)的定義域是(。,+2,則函數(shù)上)是非奇非偶函數(shù),所以①正

確,②錯(cuò)誤;F(x)=lg島=Tg(x+]<Tg2,即函數(shù)f(x)的最大值為Tg2,所以③錯(cuò)誤;令

片產(chǎn)*當(dāng)0<Xl時(shí)，該函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)x>\時(shí),該函數(shù)是增函數(shù)。而函數(shù)%Igx在(0,+8)

上單調(diào)遞增,所以④正確。

考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)應(yīng)用的綜合問(wèn)題

-X24-1,%<1,

17.(2019,陜西咸陽(yáng)高一聯(lián)考)己知函數(shù)A%)-

Ilogi%|,X>lo

-2

(1)在如圖4-4-2-6所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出該函數(shù)的圖像的草圖;

答案：函數(shù)圖像的草圖如圖所示。

(2)根據(jù)函數(shù)圖像的草圖，求函數(shù)尸/Xx)的值域、單調(diào)遞增區(qū)間。

答案：由⑴中草圖得:函數(shù)尸/Xx)的值域?yàn)镽,單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0],[1,+8)。

18.(2019?廣東廣雅中學(xué)單元檢測(cè))已知函數(shù)/,(A)=loga(^l)-loga(l-^)(a>0且aWl)。

(1)求/"(X)的定義域；

答案:要使函數(shù)/1(x)=log“(戶l)Tog“(lr)有意義，則J：+'解得

ll-X>0,

故函數(shù)/1(x)的定義域?yàn)椋鹸|T〈Kl)。

(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明。

答案:f(x)為奇函數(shù)。證明：由(1)知/Xx)的定義域?yàn)?%1-KXl｝,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且

f(-x)=log.(-/l)Tog“(l+x)=-[logKx+l)TogKl-x)]=-f(x),故f(x)為奇函數(shù)。

第3課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的綜合問(wèn)題

考點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

1.(2019北京西城區(qū)高一檢測(cè))函數(shù)尸弓)、與片log-x互為反函數(shù)，則a與6的關(guān)系是()。

A.ab=lB.鋁?少1

C.a=bD.a-b=l

答案:A

解析:尸logbX的反函數(shù)為尸6；所以函數(shù)尸Z/與函數(shù)片(J”是同一個(gè)函數(shù),所以此,即ab：l。

2.(2019?安徽滁州一中高一檢測(cè))點(diǎn)⑵4)在函數(shù)f(x)=log.x的反函數(shù)的圖像上,則/(》等

于()。

A.-2B.2C.-lD.1

答案:C

解析：因?yàn)辄c(diǎn)⑵4)在函數(shù)f(x)=log〃x的反函數(shù)的圖像上,所以點(diǎn)(4,2)在函數(shù)f(x)=log.x的

圖像上,所以2=log,,4,即才=4。又因?yàn)?>0,所以行2,所以/g)=log^-lo

3.(2019?廣西南寧一中高一檢測(cè))已知a>0,且aWl,函數(shù)尸H與片log”(-x)的圖像只能是

圖4-4-3-1

答案:B

解析：函數(shù)尸log..(-x)的定義域是51K0},圖像在y軸左側(cè)，故排除A,C。再看單調(diào)性，尸H

的單調(diào)性與尸log.(-x)的單調(diào)性正好相反,又排除Do

4.(2019湖南長(zhǎng)培中學(xué)單元測(cè)試)已知產(chǎn)O的反函數(shù)為尸/U),若丹而)冶則x°=()。

A.-2B.-1C.2D.i

2

答案:C

解析：丁尸G)的反函數(shù)是A^)=logi^,.\f(^0)=logiAb=-1,(I)2=2。

5.(2019?上海建平中學(xué)單元訓(xùn)I測(cè))/數(shù)尸3、的反函次是()。

A.片3rB.y=3x

C.7=log3XD.尸log”

3

答案:c

解析：由片3,得其反函數(shù)是尸Iog3”,故選C。

6.(2019?沈陽(yáng)一中期中檢測(cè))已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log,,x(a>0,aWl),且圖像過(guò)點(diǎn)(9,2),F(x)

的反函數(shù)記為尸g(x),則g(x)的解析式是()。

A.g(x)=4'B.g(x)=2"

C.g(x)=9'I).g(x)=3"

答案:D

解析：由題意得log“9=2,；.a2=9。又.?.a=3°.,.F(x)=log3X,.,./■(X)的反函數(shù)為g(x)=3"。

考點(diǎn)2比較大小

7.(2019?山東濟(jì)寧任城高一期中)已知433,b=logG，c=log33/U()。

322

A.a>b>cB.B>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

答案:A

解析:Va=33>l,ZFlogi-log32^(0,l),c=logi3<0,*.a>b>co

322

8.(2019?山西太原五中高一月考)設(shè)a=logiI，Z^logiI，c=log；A則a,8,c的大小關(guān)系是

3W33

()。

A.a<b<cB.c<b<a

C.Z?<a<cD.Kc<a

答案:B

解析：LlogB^logzI，又g|〈*且函數(shù)戶logy在其定義域上為減函數(shù),所以

1ogi->1ogi->1ogi即a>t)>cQ

323334

9.(2019?安徽黃山高一月考)給出三個(gè)數(shù)a=3：尻g)：廠.熱則它們的大小順序?yàn)?)。

A.b<c<aB.灰水c

C.c〈水bD.c^b^a

答案:D

解析：小33>1,0<左?)<1，Llogg〈0,所以^>b>co

3

10.(2019?安徽阜陽(yáng)臨泉一中高一月考)已知年0.3,於3°；Llog：。3,^logo.33,將&b,c,d

四個(gè)數(shù)從小到大排列為o

答案：?！椿鹚産

解析：??,尸0.3、>0,尸3〉0,???疥0.33>0,ZF303>0O?尸0.3,是減函數(shù)，尸3、是增函

數(shù),工。.33<0.3°=1,3°：'>3°=1,，力於。。:?尸log3X是增函數(shù),產(chǎn)logo.3*是減函

/.log30.3<log3l=0,logo.s3<logo,31=0,Ac<0,cK0°

*/^>0.3,***3<^,Iog30.3<log3-=-l,logo.33>logo.3^=-l,c<-l<(7<0,.\c<cKa<bo

考點(diǎn)3解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)型不等式

11.(2019?湖南株洲醴陵一中高一期中)定義在R上的函數(shù)F(x)=ln(l+f)+|x|,滿足

F(2尸1)>F(戶1),則x的取值范圍是()。

A.(2,+8)u(-co,-1)

B.(2,+oo)u(-oo,1)

C.(-°°,1)U(3,+8)

D.(2,+8)u(-8,0)

答案:D

解析:,:/V)=ln(1+/)+|%|,/./(-A)=ln(l+x)+|-^|=ln(l+f)+|x|=F(x),工f(x)是偶函數(shù)，

當(dāng)x20時(shí)，/'(xWlnQ+^+x為增函數(shù)，則不等式汽2『1)>￡(戶1)等價(jià)于

f(12尸11)〉「(|附11),即12尸11>產(chǎn)11,平方得(2尸I)”(肝1)2,x-2x>0,結(jié)合圖像得x>2或

點(diǎn)0(圖像略)。

12.(2019?江蘇錫山高中單元測(cè)評(píng))已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)F(x)在[0,+8)上是增函數(shù)，且

[3=0,則不等式f(log㈤<0的解集是o

答案:{%||<x<2)

解析：由題意可知，由Alogi^r)<0得-glogix?即logi4-2<logiXlogi42,得

考點(diǎn)4與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的求參問(wèn)題

13.(2019?河北石家莊第一中學(xué)高一期中)若函數(shù)f(x)=1(3al)*+4a,"<1,對(duì)任意用w

QogaX,%>1

法都有幺處但1<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()。

物』

A.(0,1)B.(0,0

,戰(zhàn)1]D.卜0

答案:D

(3a~l<0,

解析：由條件知，分段函數(shù)Ax)在R上單調(diào)遞減,貝"0<a<l,所以

1(3QT)x1+4a>logal,

I

<0<a<1,

g，

所以,<a0,故選D。

14.(2019?河北安平中學(xué)高一實(shí)驗(yàn)部月考)若*G(0,三時(shí)，恒有4yog,,x,則a的取值范圍是

()。

A.”)B*)

C.(1,V2)D.(V2,2)

答案:B

解析：若xG(0,卵寸,4x<logax恒成立，則0<a<l?在x=：處也需滿足4Iloga：,得a>號(hào)或

a.當(dāng)綜上,?<a<l。故選B。

15.(2019?武漢二月調(diào)考)函數(shù)f(x)=log“(6-ax)在[0,2]上為減函數(shù),則a的取值范圍是

()。

A.(0,1)B.(1,3)

C.(1,3]D.[3,+8)

答案:B

解析:若函數(shù)〃才)=1強(qiáng)(6-而在[0,2]上為減函數(shù),則仁:I八解得(1,3),故選B。

l6-2a>0,

Px4-尤2%>0

;若f(-a)+f?W

(ex+x2,x<0,

2f(1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()。

A.(-°0,-1]U[1,+8)

B.[-1,0]

C.[0,1]

D.[-1,1]

答案:D

十XX-U,滿足f(_x)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則

ex+x2,x<0

f(-a)+F(a)=2f(a),所以由f(-a)+f(a)這2/U),可得f(a)Wf(l)。又函數(shù)

e"+x2Y>?o

:'在[0,+8)上單調(diào)遞增，所以即-IWaWl,故選D。

{e*+xz,%<0

17.(2019?濟(jì)南調(diào)考)已知函數(shù)片log,W(0<a<l)在區(qū)間(a,1)上的值域是(1,+8),則實(shí)數(shù)a

的值為。

答案:企T

解析：由題意，易得*log,若在區(qū)間(a,1)上是增函數(shù)。

???函數(shù)在區(qū)間(a,1)上的值域是(1,+8),.?.logj[=l,.?.上甘當(dāng).?.才+2a-l=0。

a+1a+1

V0<a<l,.\a=V2-l?

18.(2019?黃岡調(diào)考)已知函數(shù)f(x)=flog同如果方程f(尸D+2-0無(wú)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是。

答案：⑵+8)

解析：方程f(尸1)+2A=0化為(log4a)x2-2(logja~l)A+logia=0,依題意知

J=4(1ogi^1)2-4(1ogia)2<0,所以logia>|,解得a>2。

考點(diǎn)5對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題

19.(2019?山東濟(jì)南第一中學(xué)高一期中)已知函數(shù)f(x)=l+lo&x(lWxW4),函數(shù)

g(X)="(*)]2+f(*2)。

(1)求函數(shù)g(x)的定義域;

答案:由。廿2號(hào)；解得KW2,

所以函數(shù)g(x)的定義域是[1,2]。

(2)求函數(shù)g(x)的值域。

答

案:g(x)=[f(x)]'+f(f)=(1+1Og2X)'+(1+1Og2*2)=1+21Og2戶(1Og2X)°+1+21Og2A=(1Og2X)'+410g2

A+2=(log2jH-2)2-2(,

由lWx<2,得OWlogzxWl,所以2Wlog2A+2W3,

所以4W(log田2)M9,

所以2W(logz戶2)J2W7。

所以函數(shù)g(x)的值域是[2,7]。

20.(2019?河南鄭州七校高一期中聯(lián)考)已知A^=logax,g(x)=21og“(2Kt-2)(a>0,aWl,C

GR)o

(1)當(dāng)i=4,x&[1,2]時(shí),AxhgJAHx)有最小值2,求a的值；

答案:當(dāng)片4時(shí),尸(x)=g(x)-f(x)=log>，：”,xG[1,2],設(shè)力(x)=4,=1)=4(x+：+2),xC

[1,2],

由于尸檔在xW[1,2]上單調(diào)遞增，

??"(x)在[1,2]上是增函數(shù)，

.,./?(^)mi?=/?(l)=16,A(x)mBX=A(2)=18,

當(dāng)0<a<l時(shí)，尸(x)”M=log,18=2,則a=3近>1(舍)；

當(dāng)a>\時(shí),A^)?in=logi,16=2,貝!|a=4。

綜上，a=4o

(2)當(dāng)0<a<l,xG[1,2]時(shí),有f(x)》g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。(提示：函數(shù)尸x+：在

區(qū)間(0,D上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增)

答案：當(dāng)0<a<l,x6[1,2]時(shí)，f(x)》g(x)恒成立,即log”xN210g“(2A+L2)在0<a<l,x6[1,2]

時(shí)恒成立，即V^W2A+L2在xG[1,2]時(shí)恒成立，.

設(shè)u{x)--2x+\/x+2--2(Vx)2+y/x+2--2(Vx-+*

V%G[1(2],.,.^￡[1,72],

u(x)1Mx=u(l)=l,

...實(shí)數(shù)力的取值范圍是[1,+8)。

第4課時(shí)不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異

考點(diǎn)1幾種函數(shù)增長(zhǎng)的差異

1.(2019?黑龍江雙鴨山第一中學(xué)高一期中)下列函數(shù)增長(zhǎng)速度最快的是()。

A.7=3'B.片log3X

C.y=xD.y=3x

答案:A

解析:結(jié)合函數(shù)尸3,,尸logs*,y=x,片3x的圖像可知，隨著x的增大，函數(shù)片3”的增長(zhǎng)速度越

來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于尸f的增長(zhǎng)速度,而尸log3X的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢,片3x的增

長(zhǎng)速度不變,故本題選A。

2.四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向前運(yùn)動(dòng),其路程f(x)(，=l,2,3,4)關(guān)于時(shí)間內(nèi)彳>1)的函數(shù)關(guān)

系是fl(X)=X,￡(x)=2x,/3(jr)=log2^,g(x)=2",如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去,最終在最前面的物體

具有的函數(shù)關(guān)系是()。

A.fi(,x)-xB.fz(x)=2x

C.ft,(x)=log2XD.(x)=2"

答案:D

解析：由增長(zhǎng)速度可知，當(dāng)自變量充分大時(shí),指數(shù)函數(shù)的值最大，故選D?

3.(2019,河南豫西南部分示范性高中高一期中)下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)模

型片衣a,^eR,a〉0且aWl)的是()。

A.豎直向上發(fā)射的信號(hào)彈,從發(fā)射到落回地面,信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系(不計(jì)空氣阻力)

B.我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率為1%,這樣我國(guó)人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系

C.如果某人飴內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么此人騎車的平均速度/與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系

D.信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系

答案:B

解析:A.豎直向上發(fā)射的信號(hào)彈,從發(fā)射到落回地面，信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系是二次函數(shù)

關(guān)系;B.我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率為1%,這樣我國(guó)人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系是指數(shù)型函數(shù)關(guān)

系;C.如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么此人騎車的平均速度r與時(shí)間￡的函數(shù)關(guān)系是反

比例函數(shù)關(guān)系;D.信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系。故選B。

4.（2019?貴州遵義第四中學(xué)高一期中）下表顯示出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由

此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（）?

X-2-10123

1

y0.261.113.9616.0563.98

16

A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型

C.對(duì)數(shù)函數(shù)模型D.指數(shù)函數(shù)模型

答案:D

解析：由題表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)值都大于0,并且近似『（0）=1,函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),而且函數(shù)增

加的速度越來(lái)越快,符合指數(shù)函數(shù)的模型,近似于尸4；選D。

5.（2019?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模塊考試）隨著x越來(lái)越大,下列函數(shù)中,增長(zhǎng)速度最快的是（）。

A.尸10xB.尸Igx

C.產(chǎn)/D.7=10'

答案:D

解析：由幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)特性可知，尸10,呈指數(shù)“爆炸式”增長(zhǎng),速度最快。

6.（2019?廣西南寧一中高一檢測(cè)）以下四種說(shuō)法中，正確的是（）o

A.基函數(shù)增長(zhǎng)的速度比一次函數(shù)增長(zhǎng)的速度快

B.對(duì)任意的%>0,x">log?x

C.對(duì)任意的x>0,a">log“x

D.不一定存在x<i,當(dāng)x>xo時(shí)，總有a">x">log"X

答案:D

解析:對(duì)于A,幕函數(shù)與一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度受幕指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響,基指數(shù)與一次項(xiàng)

系數(shù)不確定,增長(zhǎng)幅度不能比較;對(duì)于B,C,當(dāng)0<a<l時(shí)，顯然不成立。當(dāng)a>\,n>0時(shí),一定存

在的使得當(dāng)時(shí)，總有a">x">log.x,但若去掉限制條件“a>l,〃〉0"，則結(jié)論不成立。

7.（原創(chuàng)題）四個(gè)變量外必必,防隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表所示。

X051015202530

51305051130200531304505

578

%594.4781785.2337336.73X101.2X102.28X10

%5305580105130155

52.31071.42951.14071.04611.01511.005

關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是。

答案:先

解析:指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)呈“爆炸式”增長(zhǎng)，由表中數(shù)據(jù)可知呈指數(shù)型變化的變量為外。

8.函數(shù)y^x與函數(shù)產(chǎn)xlnx在區(qū)間（0,+8）上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是。

答案:尸?

解析:當(dāng)x變大時(shí),x比Inx增長(zhǎng)要快，要比xlnx增長(zhǎng)得要快。

考點(diǎn)2根據(jù)增長(zhǎng)差異確定圖像并比較

9.(2019?河北張家口高一檢測(cè))如圖4-4-4-1所示,能使不等式1曲內(nèi)小2,成立的自變量x

的取值范圍是()o

A.x>0B.x>2

C.X2D.0<K2

答案:D

解析：由函數(shù)圖像可知，當(dāng)0<X2時(shí)圖像由上到下依次為指數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像。

10.(2019?貴州遵義一中高一月考)函數(shù)/1(x)=lgx,g(x)=0.3尸1的圖像如圖4-4-4-2所示。

(1)試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線G,G分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；

答案:G對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3『l,G對(duì)應(yīng)的函數(shù)為F(x)=lgx。

⑵比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖像交點(diǎn)為分界點(diǎn),對(duì)/U),g(x)的大小進(jìn)行比較)。

答案：當(dāng)時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)時(shí)，f(x}>g(x)；當(dāng)X>X2時(shí),g(x)>f(x)。當(dāng)X=X\或X=Xi

時(shí),f(x)=g(x)。

11(2019?河北邢臺(tái)二中高一月考)己知函數(shù)/1(x)=2、和g(x)=x;在同一坐標(biāo)系下作出它們的

圖像,結(jié)合圖像比較f⑻,g⑻,A2018),5-(2018)的大小。

⑴=1,/W=2,g(2)=8,/'(2)=4,以9)=729,/(9)=512,^(10)=1000,/'(10)=1024,

.?"⑴>g⑴,f⑵<g(2),f(9)<g(9),f(10)〉g(10),

Al<jn<2,9<A2<10,.\X1<8<X2<2018?

從圖像上知，當(dāng)xKK及時(shí)，f{x)<g{x),

當(dāng)x>至?xí)r，f