新人教版高一數(shù)學(xué)必修5教案　全冊(cè)

新人教版高一數(shù)學(xué)必修5精品教案全冊(cè)

高二數(shù)學(xué)備課組教學(xué)教研工作計(jì)劃

一、基本思路

本學(xué)期，我們將針對(duì)學(xué)生實(shí)際，研究學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，不斷鉆研數(shù)學(xué)教材，研究數(shù)

學(xué)教學(xué)，改進(jìn)課堂教法，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，奠定立足社會(huì)所需要的必備的基礎(chǔ)知識(shí)、基木

技能和基本能力，著力于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，奠定他們終身學(xué)習(xí)

的基礎(chǔ)。我們將嚴(yán)格遵守學(xué)校的各項(xiàng)規(guī)章制度、服從高二年級(jí)安排，盡自己最大努力，力爭(zhēng)

建設(shè)愉悅課堂，完成教學(xué)工作。

二、教學(xué)方面

1、以備課組為單位，根據(jù)學(xué)校教學(xué)常規(guī)的要求，搞好本備課組常規(guī)工作。

2、結(jié)合本組的實(shí)際，對(duì)備課、上課、作業(yè)布置與信業(yè)批改落實(shí)好具體的要求。

3、認(rèn)真搞好一課一練，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

三、教研方面

1、每周一在備課組內(nèi)開(kāi)展一次教研活動(dòng)，集體研討，并每次要有明確的主題，求實(shí)效并有

簽名和記載。

2、加強(qiáng)備課組的集體備課，制訂月工作計(jì)劃，每周一次集體備課，并要有中心發(fā)言等有記

錄，期初交

計(jì)劃，期末交集體備課記錄本檢查。

3、組織參加學(xué)校的公開(kāi)課比賽，組織組內(nèi)公開(kāi)課以及各備課組內(nèi)的公開(kāi)課（每人拿出一堂）,

以促進(jìn)

老師之間的相互學(xué)習(xí)與交流。

4、團(tuán)結(jié)老師們加強(qiáng)教育教學(xué)理論的學(xué)習(xí)和研究，并積極撰寫教育教學(xué)論文。

四、工作要點(diǎn)

1、本期以備課活動(dòng)為主，每周一次集體備課，加強(qiáng)組內(nèi)的老師的相互聽(tīng)、評(píng)課及交流。

2、本期將對(duì)內(nèi)對(duì)外學(xué)習(xí)交流，改進(jìn)課堂教學(xué)模式。

3、落實(shí)并開(kāi)展各備課組內(nèi)的課本、課題、校本資料的開(kāi)發(fā)與研究。

4、組織好一次組內(nèi)的學(xué)術(shù)講座。

5、積極搞好奧賽講座及培訓(xùn)工作。

五、工作安排

八月

1、備課組制訂工作計(jì)劃。

2、制訂必修5的資料編寫計(jì)劃并實(shí)施。

九月

1、組織全體教師進(jìn)行聽(tīng)評(píng)課活動(dòng)。

2、進(jìn)行第一次月考命題、制卷、試卷分析等相關(guān)活動(dòng)。

3、完成必修5的教學(xué)。

十月

1、制訂選修2-1資料編寫計(jì)劃。

2、實(shí)施選修2-1教學(xué)。

十一月

1、制訂選修2-2資料編寫計(jì)劃。

2、實(shí)施選修2-2教學(xué)。

十二月及以后

1、期末復(fù)習(xí)資料準(zhǔn)備。

2、期末考試模擬。

六、具體安排：

完成情

周次具體內(nèi)容

況

§1.1.1正弦定理和余弦定理（1）

第周

§1.1.2正弦定理和余弦定理（2）§1.1.3《學(xué)海導(dǎo)航》

第二周§1.2.1應(yīng)用舉例（1）§1.2.2應(yīng)用舉例（2）§1.2.3《學(xué)海導(dǎo)航》

第三周§1.3.1實(shí)習(xí)作業(yè)§1.4.1小結(jié)與復(fù)習(xí)§1.3.3《學(xué)海導(dǎo)航》

§2.1.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法§2.2.1等差數(shù)列§2.3.1等差數(shù)列

第四周

的前n項(xiàng)和§2.3.3《學(xué)海導(dǎo)航》

§2.4.1等比數(shù)列§2.5.1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和§2.6.1小結(jié)與復(fù)習(xí)

第五周

§2.6.2《學(xué)海導(dǎo)航》

§3.1.1不等關(guān)系與不等式§3.2.1一元二次不等式及其解法（1）

第六周

§3.2』一元二次不等式及其解法（2）§3.2.1《學(xué)海導(dǎo)航》

§3.3.1二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（1）（2）

第七周

§3.4.1基本不等式§3.5小結(jié)

第八周必修（5）復(fù)習(xí)月考（-）

§1.1.1命題及其關(guān)系（1）§1.1.1命題及其關(guān)系（2）§1.2.2充分條

第九周件與必要條件（2）§1.2.2充分條件與必要條件（2）§1.2《學(xué)海導(dǎo)

航》

第十周

§1.3.1簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

§1.4.1全稱量詞與存在量詞§1.5小結(jié)與復(fù)習(xí)

第十一

期中考試

周

§2.1.1曲線與方程§2.2.1橢圓（1）§2.2.1橢圓（2）

第十二

周

第卜三§2.3.1雙曲線（1）§2.3.3雙曲線（2）§2.4.1拋物線（1）

周§2.4.1拋物線（2）§2.5小結(jié)與復(fù)習(xí)

第十四§3.2.1古典概型⑴⑵§3.2.2隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

周§3.3.1幾何概型⑴⑵

第十五

周

§3.1.1空間向量及其運(yùn)算（1）§3.1.2空間向量及其運(yùn)算（2）

§3.2.1立體幾何中的向量方法（1）

第十六§3.2.2立體幾何中的向量方法（2）§3.4小結(jié)與復(fù)習(xí)

周選修2-1復(fù)習(xí)月考（二）

§1.1.1變化率與導(dǎo)數(shù)§1.2.1導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

§1.3.1導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

第十七

周

第卜八§1.4.1生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例§1.5.1定積分的概念（2）§1.6.1微積

周分基本定理§1.7.1定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）§1.8小結(jié)與復(fù)習(xí)

第十九§2.1.1合情推理與演繹推理§2.2直接證明與間接證明

周§2.3.1數(shù)學(xué)歸納法§2.4小結(jié)與復(fù)習(xí)

第二十

周

§3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念§3.1.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算

§3.4小結(jié)與復(fù)習(xí)選修2-2復(fù)習(xí)月考（三）

第二十

期末考試

一周

第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

§1.1.2余弦定理

§1.1.3正弦定理和余弦定理

§1.2.1應(yīng)用舉例（一）

§1.2.2應(yīng)用舉例（二）

§1.2.3應(yīng)用舉例（三）

§1.2.4應(yīng)用舉例（四）

§1.3.1單元小結(jié)

第二章數(shù)列

§2.1.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（一）

§2.1.2數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（二）

§2.2.1等差數(shù)列（一）

§2.2.2等差數(shù)列（二）

§2.3.1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）

§2.3.2等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和（二）

§2.4.1等比數(shù)列（一）

§2.4.2等比數(shù)列（二）

§2.5.1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）

§2.5.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）

§2.6.1小結(jié)與復(fù)習(xí)

第三章不等式

§3.1.1不等關(guān)系與不等式（一）

§3.1.2不等關(guān)系與不等式（二）

§3.2.1一元二次不等式及其解法（一）

§3.2.2?元二次不等式及其解法（二）

§3.2.3一元二次不等式及其及解法（三）

§3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（一）

§3.3.2二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（二）

§3.4.1簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（一）

§3.4.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（二）

§3.4.3簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（三）

§3.5.1基本不等式（一）

§3.5.2基本不等式（二）

§3.5.3基本不等式（三）

§3.2.1小結(jié)與復(fù)習(xí)

第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

?教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能:通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法;

會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。

過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的兒何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，山特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)

踐操作。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合

情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)

間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

?教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

?教學(xué)過(guò)程

I.課題導(dǎo)入

如圖1.1-1,固定AABC的邊CB及NB,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。/A

思考：NC的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角/C的大小的增大而增大。能否\

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？C，'B

H.講授新課

［探索研究］（圖1.1-1）

在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等

式關(guān)系。如圖1.1-2,在RtAABC中,設(shè)矢=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

的定義，有—=sin>4，—=sinB，又sinC=l=￡

ccc

A

rnubc

則----=-----=-----=cbc

sin力sin8sinC

從而在直角三角形ABC中，一，=—、=」7TCaB

sin力sin/>sine

（圖1.1-2）

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的

ab

定義，有CD=asin8=6sin力，貝ij

sin/sin6

b

同理可得

sinCsin8

b

從而

sinlsinSsinC

（圖1.1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究

這個(gè)問(wèn)題。

（證法二）：過(guò)點(diǎn)A作7，萬(wàn)，

由向量的加法可得AB=JC+CB

貝ijJ-AB=J-（AC+CB）

：.J-AB=J-AC+j-CB

|）||AB|cos（90,,-A）=0+|j||Cfi|cos（900-C）

csinA=asinC，即a-=/

sinAsine

同理，過(guò)點(diǎn)C作］，就，可得

sinesine

IIHabc

sinJsinBsin。

類似可推出，當(dāng)AABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過(guò)程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a_b_c

sin/Jsinsin。

［理解定理］

（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，目上匕例系數(shù)為同一正數(shù)，即

存在正數(shù)k使a=Asin4,b=ksix\B,c=ksinC；

(2)3=上='等價(jià)于3=上，—=上，」一=一

sinAsinBsinCsin】sinBsinCsinZ?sin力sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a=空萼：

smB

②已知三角形的任意兩邊與其中?邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sin/f=?sin6。

b

一般地，己知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在AABC中，已知4=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-(A+B)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°；

根據(jù)正弦定理，

.asinB42.9sin81.8°..、

b=~—--------?—?80O.A1(c/n)：

sinAsin32.0°

根據(jù)正弦定理，

“sinC42.9sin66.2',0

Jsin4-sin32.0°-?74.l(cm).

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2.在A48C中，已知a=20cm,b=2Scm,4=40°,解三角形(角度精確到1°,邊

長(zhǎng)精確到1cm)。

解：根據(jù)正弦定理，

sinB=^A=28sin401

?0.8999.

因?yàn)?°<B<180°,所以?！?4°,或BN16°.

⑴當(dāng)8~640時(shí)，

C=18Oo-(A+B)?18Oo-(4Oo+64o)=76o,

osinC_20sin76°

sinA-sin40°

(2)當(dāng)8B116°時(shí),

C=18Oo-(A+B)?18Oo-(4O°+116o)=24o，

_asinC_20sin24°

?13(cw).

sinAsin40°

評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

in.課堂練習(xí)

第4頁(yè)練習(xí)第1(1)、2(1)題。

［補(bǔ)充練習(xí)］已知△ABC中,sin4:sin8:sinl=l:2:3,求a:6:c

(答案：1：2：3)

W.課時(shí)小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié))

(1)定理的表示形式：$=/3=-7；=.."=山〉0);

sin/isin6sinesin月+sin3+sinC''

a=Asin.4,b=ksinB,c=ksinC{k>0)

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中?邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

V.課后作業(yè)

第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第1(1)、2(1)題。

教學(xué)后記：

§L1.2余弦定理

(-)教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題，

3.情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、

余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯

證統(tǒng)一。

(二)教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。

(三)教學(xué)設(shè)想

復(fù)習(xí)舊知

運(yùn)用正弦定理能解怎樣的三角形？

①已知三角形的任意兩角及其一邊，

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，

［創(chuàng)設(shè)情景］

問(wèn)題1:如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大

小、形狀完全確定的三角形。

從量化的角度來(lái)看，如何從已知的兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊和兩個(gè)角？

問(wèn)題2：如何從已知兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊？

即:如圖1.1-4,在AABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求邊c?

［探索研究］

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。A

一一一/

如圖1.1-5,沒(méi)CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a-Z,貝ij/c

印=鐮干叫「叫/

=a-a+b-b-2a-bCaB

=a+限2占工

從而c2=a2+b2-2abcosC(圖1.1-5)

同理可證a2=b2+c2-2bccosAb1=a2+c2-2accosB

余弦定理：

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積

的兩倍。

即：a2=Z72+c2-2bccosAb2-a2+c2-2accosBc2-a2+b2-2abcosC

思考1：你還有其它方法證明余弦定理嗎？（兩點(diǎn)間距離公式，三角形方法）

思考2：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否

由三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2+c2-a2

cosA=cosc=y-Y

-2bc-2ha

思考3：余弦定理及其推論的基本作用是什么？

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考4：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若△ABC中，C=90°,則cosC=0,這時(shí)/=/+/

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在△ABC中，已知a=26，C=V6+V2,8=60°,求b及A

⑴解：vb2=a2+c2-2accosB=(2y/3)2+(y[6+y/2)2-2-2y/3-(y/6+y/2)cos45°

=12+(V6+V2)2-4V3(V3+1)=8:.b=2瓜

求4可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

222222

A_b+c-a(2V2)+(V6+V2)-(2>/3)_1

⑵解法一:C°S次=—2x2V2x(V6+V2)—=2二A=60°.

VsinA=-7-sinB=^5--sin45<1,

解法：:又：V6+V2>2.4+1.4=3.8,

b2V2

2V3<2x1.8=3.6,：.a<c,即0°VA<90°,A=60°

評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

思考5、在解三角形的過(guò)程中，求某一個(gè)角時(shí)既可用正弦定理也可用余弦定理，兩種方法有

什么利弊呢？

例2.在AABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cs,解三角形

解：由余弦定理的推論得：

h2+c2-a287.82+161.72-134.62

cosA=PO.5543,Ay5602(T；

-2bc-2x87.8x161.7

134.62+161.72-87.82

cosB=々0.8398,B?32°53,；

2ca2x134.6x161.7

C=180°-(A+B)B180°-(56°20'+32°53')=90°47'.

［課堂小結(jié)］

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

課后作業(yè):

教學(xué)后記:

§1.2.1解三角形應(yīng)用舉例(一)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，

了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)

2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)

符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：由實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際

問(wèn)題的解

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖

三、教學(xué)設(shè)想

1、復(fù)習(xí)舊知

復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、設(shè)置情境

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題,

“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)

估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距

離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的

方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些

方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些

方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)

正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。

3、新課講授

解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條

件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解

例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所

在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是55m,ZBAC=51°,NACB=75。。求A、B兩點(diǎn)

的距離（精確到0.Im）

提問(wèn)1：AABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用

哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)

學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一

個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴

了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)己知角算出AC的對(duì)角，

應(yīng)用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得一四=一4c

sinZACBsin/ABC

AB=ACsinZACB-55s\nZACB-55sin75°55.75°%65.7(m)

sinZABCsinZABCsin(18(F-51o-75o)sin540

答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30°,

燈塔B在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：V2akm

例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)）,設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到

達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角

形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中

已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另

圖1.2-2

兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測(cè)得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得NBCA=a,

ZACD=p,ZCDB=z,ZBDA=S,在AADC和ABDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC=〃sin(y+b)二asin(/+b)

sin[18(F-(尸+y+b)]sin伊+7+6)

BC=osiny二asiny

sin[18(F-(?+/?+/)]sin(cr+/7+/)

計(jì)算出AC和BC后，再在AABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離

AB=VAC2+BC2-2ACXBCcosa

分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得NBCA=60°,ZACD=30°,ZCDB=45°,

ZBDA=60

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20而

評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些

過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選

擇最佳的計(jì)算方式。

4、了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

5、歸納總結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建

立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解

課后作業(yè):

教學(xué)后記:

§1.2.2解三角形應(yīng)用舉例(二)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量

的問(wèn)題

2、鞏固深化解三角形實(shí)際問(wèn)題的一般方法，養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。

3、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題

難點(diǎn)：能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件

三、教學(xué)過(guò)程

I.課題導(dǎo)入

提問(wèn)：現(xiàn)實(shí)生活中，人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的

飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就?lái)共同探討這方面的問(wèn)題

n.講授新課

［范例講解］

例1、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高

度AB的方法。

分析:求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE,在AACE中,如能

求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA,再測(cè)出由C點(diǎn)

觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。

解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一

條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的

仰角分別是a、J3,CD=a,測(cè)角儀器的高是h,

那么，在AACD中，根據(jù)正弦定理可得

AC=asin-AB=AE

sin(a-/7)

+h=ACsina+h=asinasin/7+h

sin(a-P)

例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角a=54°40',在塔底C處測(cè)得A處

的俯角B=50°V。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？

若在AABD中求CD,則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)NBAD=a求得。

解:在AABC中，ZBCA=90°+/7,ZABC=90°-<z,

ZBAC=a-p,Z.BAD=a.

根據(jù)正弦定理，=———

sinG-?sin(90+/)

8Csin(90°+(3)BCco^3

所以AB在RtAABD中，得BD

sin(a-p)sin(z-/?)

An./nAnBCcosGsina

二ABsinZBAD=-----------

sin(a-/7)

27.3cos5tfrsin54°4(y

將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得BD=---------------七177

singdM-5Ch');

CD=BD-BC^177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米.

思考：有沒(méi)有別的解法呢？若在AACD中求CD,可先求出AC。思考如何求出AC?

例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正

東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在

東偏南15°的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)＞一

得此山頂在東偏南25°的方向上,仰角為8°,求

此山的高度CD.

思考1：欲求出CD,大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？(在ABCD中)

思考2：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件，易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？(BC

邊)

解:在AABC中，NA=15°,ZC=25°-15°=10°,根據(jù)正弦定理，

BCABBC曬/?7.4524(km)CD=BCxtanZDBC?BCxtan8°??

sin4siifsinC

1047(m)

答：山的高度約為1047米

n.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的

背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。

課后作業(yè):

教學(xué)后記:

§1.2.3解三角形應(yīng)用舉例（三）

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題

2、通過(guò)綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力，讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問(wèn)題的過(guò)

程中來(lái)，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

3、培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，并激發(fā)學(xué)生的探索精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系

難點(diǎn)：靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題

三、教學(xué)過(guò)程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］

提問(wèn)：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角

求其余邊的問(wèn)題。然而在實(shí)際的航海生活中，人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，在浩瀚無(wú)垠的海

面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面

的測(cè)量問(wèn)題。

II.講授新課

［范例講解］

例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然

后從B出發(fā),沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出

發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少

距離？（角度精確到0.1°,距離精確到0.Olnmile）

學(xué)生看圖思考并講述解題思路

分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所

對(duì)的角NABC,即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正

弦定理算出AC邊和AB邊的夾角/CAB。

解：在AABC中,ZABC=180°-75°+32°=137°,

根據(jù)余弦定理,

AC=ylAB2+BC2-2ABxBCxcosZABC=V67.52+54.02-2x67.5x54.0xcos137°

3113.15

根據(jù)正弦定理，BC=ACsinNCAB=BCsinZABC=54.Osin137"4

sinZCABsinNABCAC113.15

0.3255,

所以ZCAB=19.0°,75°-ZCAB=56.0

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1°的方向航行,需要航行

113.15nmile

例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為0,

沿BE方向前進(jìn)30nl，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為20,

再繼續(xù)前進(jìn)10百m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4。，

求。的大小和建筑物AE的高。

解法一：(用正弦定理求解)由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,AD=DC=106,ZADC=180°-46>,

.10后=30

sin2,sin(180-40)

因?yàn)閟in4(9=2sin26?cos26?

r.cos26=①，得2e=30°0=15,

在RtAADE中，

2

AE=ADsin60°=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE=X,AE=h

在RtAACE中，（10百+x）2+h2=302在RtAADE中,x?+1?=（10后）2

兩式相減，Wx=5V3,h=15.,.在Rt△ACE中,tan2O=——2---=—

10V33

.?.26=30°,8=15°

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8,由題意，得

NBAC=6,ZCAD=26?,AC=BC=30m,AD=CD=1073m

y4

在RtAACE中，sin2(9=-------①在RtAADE中，sin4g=-——②

3010V3

cos29=^-

②+①得2。=30°,6=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45。相距9海里的C處有一艘走私船,

正沿南偏東75°的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)

的速度沿著直線方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私

船？

師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。

解:如圖,設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在B處追上走私船,則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=750+45°=120°

(14x)2=92+(lOx)2-2x9x10xcosl20°

?9

「?化簡(jiǎn)得32x?-30x-27=0,即x=一，或x二-一(舍去)

216

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

▽田山?zoArSCsin120°1565g

乂因?yàn)閟inZBAG=----------=?—x——=----

AB21214

ZBAC=38°13',或NBAC=141°47'(鈍角不合題意,舍去)，

.?.38°13'+45。=83°13'

答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83°13'方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船.

評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的

應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解

in.課時(shí)小結(jié)

解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：

(1)已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研

究，再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解。

課后作業(yè):

教學(xué)后記:

§1.2.4解三角形應(yīng)用舉例（四）

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題，掌握三角形

的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用

2、本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特

點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生

動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理

的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開(kāi)闊思

維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。

3、讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)

生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目

難點(diǎn)：利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題

三、教學(xué)過(guò)程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］

師：以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另i個(gè)表達(dá)公式。

△ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h“、hb.hc,那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜?/p>

生：ha=bsinC=csinBhfe=csinA=asinChc=asinB=bsinaA

師：根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式S=gah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h“=bsinC代

入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=labsinC,大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？

2

生：同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB

22

n.講授新課

［范例講解］

例1、在AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.Icm2)

(1)已知a=14cm,c=24cm,B=150";

(2)已知B=60°,C=45°,b=4cm;

(3)己知三邊的長(zhǎng)分別為a=3cm,b=4cm,c=6cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，

我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察一知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求

出三角形的面積。

解：略

例2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量

得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？(精確

到0.1cm2)?

思考：你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。

解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，

c2+a2-b21272+682-882八

cosnB=-----------=---------------七0.7532

2ca2x127x68

sinB=Vl-0.75322?0.6578應(yīng)用S=-acsinB

2

S-x68x127x0.6578?=2840.38(m2)

2

答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38/。

變式練習(xí)1：已知在AABC中，/B=30°,b=6,c=6VL求a及AABC的面積S

提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。

答案：a=6,S=9百；a=12,S=18石

例3、在AABC中，求證：

/八a2+b2sin2A+sin2B

(1)—―=----；

csinC

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：這是?道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，用正弦

定理來(lái)證明

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

顯然kwO,所以

sinAsinBsinC

a~+b2/sin2A+&2sin28sin2A+sin28

左邊二------：~5-------=-------5------二右邊

c2/sin2csin2C

(2)根據(jù)余弦定理的推論，

a2+b2-c2)

右邊二2(be+ab

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a?+b2+c2=左邊

變式練習(xí)2：判斷滿足sinC=s】n4+sin5條件的三角形形狀

cosA+cosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”(解略)直角

三角形

m.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后

化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用

余弦定理甚至可以兩者混用。

課后作業(yè)：

教學(xué)后記：

§1.3.1小結(jié)與復(fù)習(xí)

一、選擇題:

1、AABC中，a=l,b=Q,NA=30°,則NB等于()

A.60°B.60°或120°C.30°或150°D.120°

2、符合下列條件的三角形有且只有一個(gè)的是()

A.a=l,b=2,c=3B.a=l,b=V2,ZA=30°

C.a=l,b=2,ZA=100°C.b=c=l,ZB=45°

3、在銳角三角形ABC中，有

A.cosA>sinB且cosB>sinAB.cosA<sinB且cosB<sinA

C.cosA>sinB且cosB<sinAD.cosA<sinB且cosB>sinA

4、若(a+b+c)(b+c—a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么AABC是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

5、設(shè)A、B、C為三角形的三內(nèi)角，且方程(sinB-sinA)x?+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=O

有等根，那么角B()

A.B>60°B.B》60°C.B<60°D.BW60°

6、滿足A=45,c=V^,a=2的AABC的個(gè)數(shù)記為m,則a"的值為