三湘名校2024屆高三下學期一?？荚嚁?shù)學試題含解析

三湘名校2024屆高三下學期一?？荚嚁?shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在內(nèi)的概率為（）附：若，則，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95442．已知函數(shù)，且)，則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．運行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．20174．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關指數(shù)的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．16．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3207．地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電，近10年來，全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發(fā)電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計結論是（）A．截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B．10年來全球新增裝機容量連年攀升C．10年來中國新增裝機容量平均超過D．截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過8．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，，成等差數(shù)列，則的離心率為（）A． B． C． D．9．已知橢圓的右焦點為F，左頂點為A，點P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，均存在以，，為邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示.則（）A． B．C． D．12．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數(shù)，若在上的最大值為，則________.14．已知，且，則__________．15．雙曲線的左右頂點為，以為直徑作圓，為雙曲線右支上不同于頂點的任一點，連接交圓于點，設直線的斜率分別為，若，則_____.16．已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點、，設為直線上一點，且直線、的斜率的積為．證明：點在軸上．18．（12分）設函數(shù).(Ⅰ)當時，求不等式的解集；(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.19．（12分）設函數(shù)．（1）當時，解不等式；（2）設，且當時，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)（，），且對任意，都有.（Ⅰ）用含的表達式表示；（Ⅱ）若存在兩個極值點，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點的個數(shù)，并說明理由.21．（12分）在三角形中，角，，的對邊分別為，，，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求.22．（10分）設為拋物線的焦點，，為拋物線上的兩個動點，為坐標原點.（Ⅰ）若點在線段上，求的最小值；（Ⅱ）當時，求點縱坐標的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得，，將所求概率轉化為，結合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結果.【詳解】由題意，，，則，，所以，.故果實直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選：C【點睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題，考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎題.2、C【解析】

先求出復合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和的包含關系，利用集合間包含關系與充要條件之間的關系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域為或，（且）令，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為即.故選：C.【點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.3、D【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環(huán)．輸出1．選D．4、C【解析】分析：從兩個方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當三角形是鈍角三角形時，也推不出成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結果.詳解：由題意可得，在中，因為，所以，因為，所以，，結合三角形內(nèi)角的條件，故A,B同為銳角，因為，所以，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點睛：該題考查的是有關充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價轉化，余弦的和角公式，誘導公式等，需要明確對應此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對應的特征.5、C【解析】

①根據(jù)線性相關性與r的關系進行判斷,

②根據(jù)相關指數(shù)的值的性質(zhì)進行判斷,

③根據(jù)方差關系進行判斷,

④根據(jù)點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，可進行判斷.【詳解】①若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)r的絕對值越接近于1,故①正確;

②用相關指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;

③若統(tǒng)計數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當，時，點必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【點睛】本題考查兩個隨機變量的相關性，擬合性檢驗，兩個線性相關的變量間的方差的關系，以及兩個變量的線性回歸方程，注意理解每一個量的定義，屬于基礎題.6、C【解析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù)，掌握二項展開式的通項是解題的關鍵，屬于基礎題.7、D【解析】

先列表分析近10年全球風力發(fā)電新增裝機容量，再結合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；經(jīng)計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.8、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設出，，，利用勾股定理列方程，結合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，，成等差數(shù)列，設，，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.9、C【解析】

不妨設在第一象限，故，根據(jù)得到，解得答案.【詳解】不妨設在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力.10、D【解析】

利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，均存在以，，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.11、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意，，即,解得；因為所以，當時，.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應用,難度一般.12、B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數(shù)圖象；對于選項，與函數(shù)圖象不一致；選項符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：定義域為，在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎題.14、【解析】試題分析：因,故,所以，,應填.考點：三角變換及運用．15、【解析】

根據(jù)雙曲線上的點的坐標關系得，交圓于點，所以，建立等式，兩式作商即可得解.【詳解】設，交圓于點，所以易知:即.故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點的坐標關系求解斜率關系，涉及雙曲線中的部分定值結論，若能熟記常見二級結論，此題可以簡化計算.16、【解析】

由題意得，分類討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價于，當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查了對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉化與化歸的思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設點，可得，且，，求出直線的斜率，進而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點的坐標，即可證得結論.【詳解】（1）由題設，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設，則，，．所以直線的斜率為，因為直線、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，解得點的縱坐標為．因為點在橢圓上，所以，則，所以點在軸上．【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.18、（1）（2）【解析】

(Ⅰ)當時，不等式為.若，則，解得或，結合得或.若，則，不等式恒成立，結合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令，得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡得，解得，結合，得的取值范圍為.點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．19、（1）；（2）.【解析】

（1）通過分類討論去掉絕對值符號，進而解不等式組求得結果；（2）將不等式整理為，根據(jù)能成立思想可知，由此構造不等式求得結果.【詳解】（1）當時，可化為，由，解得；由，解得；由，解得．綜上所述：所以原不等式的解集為．（2），，，，有解，，即，又，，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題；關鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分離變量的方式將問題轉化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.20、（1）（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：利用賦值法求出關系，求函數(shù)導數(shù)，要求函數(shù)有兩個極值點，只需在內(nèi)有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù).試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意：令，可得，所以，經(jīng)驗證，可得當時，對任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個極值點，，則須有有兩個不相等的正數(shù)根，所以或解得或無解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以即時，．（Ⅲ）因為，．令得，．由（Ⅱ）知時，的對稱軸，，，所以.又，可得，此時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)